КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Издание четвертое, исправленное
Под редакцией Л.П. Питаееского
Рекомендовано Министерством
образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
У ДК 530.1(075.8)
Л22
Б Б К 22.31
Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Д ля вузов. В 10 т. Т. IV /B . Б. Б е р е с т е ц к и й ,
Е. М. Л и ф ш и ц, Л. П. П и т а е в с к и й . Квантовая электроди
намика. —4-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. —720 с .—ISBN
5-9221-0058-0 (Т. IV).
Четвертое издание четвертого тома курса «Теоретическая ф изи
ка», заслужившего широкую известность в нашей стране и за рубе
жом. Том включает в себя релятивистскую теорию свободных частиц
во внешнем поле, теорию испускания и рассеяния света, релятивист
скую теорию возмущений и ее применение к электродинамическим
процессам, теорию радиационных поправок, асимптотическую теорию
процессов при высоких энергиях.
3-е изд. — 1989 г.
Д ля студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ
альностей.
Ил. 27.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. П и т а е в с к и й
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему и зд а н и ю ...........................................................
Предисловие ко второму издани ю ...........................................................
Из предисловия к первому и з д а н и ю .....................................................
Некоторые обозначения ............................................................................
9
9
10
12
Введение
1. Соотношения неопределенности в релятивистской области
15
Г л а в а I. Ф отон
2. Квантование свободного электромагнитного поля ................
3. Ф о т о н ы ...................................................................................................
4. Калибровочная инвариантность
.................................................
5. Электромагнитное поле в квантовой теории
..........................
6. Момент и четность фотона ...........................................................
7. Сферические волны фотонов ........................................................
8. Поляризация ф о т о н а .........................................................................
9. Система двух фотонов .....................................................................
19
24
27
30
32
35
41
47
Г л а
10.
11.
12.
13.
14.
15.
в а II. Б о з о н ы
Волновое уравнение для частиц со спином 0 ..........................
Частицы и античастицы ...............................................................
Истинно нейтральные частицы
.................................................
Преобразования С, Р , Т ...............................................................
Волновое уравнение для частицы со спином 1 .......................
Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спина
ми ..........................................................................................................
16. Спиральные состояния частицы
..............................................
50
55
60
63
70
74
76
Г л а в а III. Ф е р м и о н ы
17. Четырехмерные с п и н о р ы ............................................................... 83
18. Связь спиноров с 4 -в е к т о р а м и .....................................................
86
19. Инверсия спиноров ......................................................................... 90
20. Уравнение Дирака в спинорном п р е д с т а в л е н и и ....................
95
21. Симметричная форма уравнения Дирака .............................. 98
22. Алгебра матриц Дирака
...............................................................103
23. Плоские в о л н ы .................................................................................. 107
24. Сферические волны .........................................................................110
25. Связь спина со статистикой ........................................................ 114
26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени
118
27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц ....................... 122
28. Билинейные ф о р м ы .........................................................................125
29. Поляризационная матрица плотности
.................................... 130
30. Двухкомпонентные ф е р м и о н ы .....................................................135
31. Волновое уравнение для частицы со спином 3/ 2 ....................140
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а IV. Ч а с т и ц а во в н е ш н е м п о л е
32. Уравнение Д ирака для электрона во внешнем п о л е ............. 143
33. Разложение по степеням 1/с ........................................................ 148
34. Тонкая структура уровней атома водорода
.......................... 152
35. Движение в центрально-симметричном п о л е .......................... 154
36. Движение в кулоновом поле ........................................................ 159
37. Рассеяние в центрально-симметричном п о л е .......................... 166
38. Рассеяние в ультрарелятивистском с л у ч а е ..............................169
39. Система волновых функций непрерывного спектра для рас
сеяния в кулоновом поле ...............................................................171
40. Электрон в поле плоской электромагнитной в о л н ы ............. 175
41. Движение спина во внешнем п о л е .............................................. 178
42. Рассеяние нейтронов в электрическом поле .......................... 185
Г л а в а V. И з л у ч е н и е
43. Оператор электромагнитного в за и м о д е й с т в и я ....................... 187
44. Испускание и п о гл о щ ен и е...............................................................190
45. Дипольное излучение ..................................................................... 192
46. Электрическое мультипольное излучение ..............................195
47. Магнитное мультипольное и з л у ч е н и е ........................................200
48. Угловое распределение и поляризация и з л у ч е н и я ................ 202
49. Излучение атомов. Электрический тип
................................. 211
50. Излучение атомов. Магнитный т и п ...........................................216
51. Излучение атомов. Э ф фекты Зеемана и Ш тарка ................ 219
52. Излучение атомов. Атом водорода
...........................................223
53. Излучение двухатомных молекул. Электронные спектры . 229
54. Излучение двухатомных молекул. Колебательный и вращ а
тельный с п е к т р ы ............................................................................... 236
55. Излучение ядер
............................................................................... 237
56. Фотоэффект. Нерелятивистский случай ................................. 240
57. Фотоэффект. Релятивистский с л у ч а й ........................................245
58. Фоторасщепление дейтрона
........................................................ 249
Г л а в а VI. Р а с с е я н и е св ета
59. Тензор рассеяния ............................................................................254
60. Рассеяние свободно ориентирующимися с и с т е м а м и ............. 265
61. Рассеяние на м о л е к у л а х ..................................................................272
62. Естественная ширина спектральных линий .......................... 276
63. Резонансная флуоресценция ........................................................ 281
Г л а в а VII. М а т р и ц а р а с с е я н и я
64. Амплитуда р а с с е я н и я ..................................................................... 284
65. Реакции с поляризованными частицами .................................290
66. Кинематические и н в а р и а н т ы ........................................................ 293
67. Физические о б л а с т и .........................................................................296
68. Разложение по парциальным амплитудам ..............................302
69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния ....................... 305
70. Инвариантные амплитуды ........................................................... 312
71. Условие унитарности ..................................................................... 316
Г л а в а VIII. И н в а р и а н т н а я т е о р и я в о зм у щ е н и й
72. Хронологическое произведение
................................................. 321
ОГЛАВЛЕНИЕ
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
7
Диаграммы Фейнмана для рассеяния э л е к т р о н о в ................ 325
Диаграммы Фейнмана для рассеяния ф о т о н а ....................... 332
Электронный п р о п а г а т о р ...............................................................335
Фотонный п р о п а г а т о р ..................................................................... 340
Общие правила диаграммной техники .................................... 345
Перекрестная и н в а р и а н т н о с т ь .....................................................353
Виртуальные ч а с т и ц ы ..................................................................... 354
Г л а в а IX. В за и м о д е й с т в и е э л е к т р о н о в
80. Рассеяние электрона во внешнем поле .................................... 360
81. Рассеяние электронов и позитронов на э л е к т р о н е ................ 364
82. Ионизационные потери быстрых частиц ................................. 374
83. Уравнение Б р е й т а ............................................................................381
84. П о з и т р о н и й ......................................................................................... 388
85. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях ................ 393
Г л а в а Х . В за и м о д е й с т в и е э л е к т р о н о в с ф о т о н а м и
86. Рассеяние фотона электроном ................................................. 400
87. Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эф ф ек
ты ..........................................................................................................405
88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары ................ 415
89. Аннигиляция позитрония ........................................................... 418
90. Магнитотормозное и з л у ч е н и е .....................................................423
91. Образование пар фотоном в магнитном п о л е ....................... 433
92. Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивист
ский случай ......................................................................................436
93. Тормозное излучение электрона на ядре. Релятивистский
случай ................................................................................................449
94. Образование пар фотоном в поле ядра ................................. 459
95. Точная теория рождения парв ультрарелятивистском слу
чае ...................................................................................................... 463
96. Точная теория тормозного излученияв ультрарелятивист
ском случае ......................................................................................470
97. Тормозное излучение электрона на электронев ультраре
лятивистском с л у ч а е ..................................................................... 477
98. Излучение мягких фотонов при столкновениях ................ 482
99. Метод эквивалентных ф о т о н о в ................................................. 489
100. Образование пар при столкновениях частиц ....................... 496
101. Излучение фотона электрономв поле интенсивной элек
тромагнитной в о л н ы ..................................................................... 501
Г л а в а XI. Т о ч н ы е п р о п а г а т о р ы и в е р ш и н н ы е ч а с т и
102. Операторы полей в гейзенберговском представлении . . . 508
103. Точный фотонный пропагатор ................................................. 511
104. Собственно-энергетическая функция ф о т о н а ....................... 518
105. Точный электронный п р о п а г а т о р .............................................. 522
106. Вершинный оператор ..................................................................526
107. Уравнения Дайсона ..................................................................... 530
108. Тождество У о р д а ............................................................................533
109. Электронный пропагатор во внешнем п о л е .......................... 536
110. Физические условия перенормировки .................................... 543
111. Аналитические свойства фотонного пропагатора ............. 549
112. Регуляризация интегралов Фейнмана .................................... 553
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а XII. Р а д и а ц и о н н ы е п о п р а в к и
113. Вычисление поляризационного о п е р а т о р а ..............................558
114. Радиационные поправки к закону Кулона .......................... 562
115. Вычисление мнимой частиполяризационного оператора по
интегралу Ф е й н м а н а ..................................................................... 565
116. Электромагнитные формфакторы э л е к т р о н а ....................... 570
117. Вычисление формфакторов электрона
................................. 574
118. Аномальный магнитный момент э л е к т р о н а .......................... 579
119. Вычисление массового оператора
...........................................581
120. Испускание мягких фотонов с ненулевой м а с с о й ................ 587
121. Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении .........................................................................592
122. Радиационные поправки к рассеянию электрона во внеш
нем поле ............................................................................................ 598
123. Радиационное смещение атомных уровней .......................... 602
124. Радиационное смещение уровней м е зо а т о м о в ....................... 610
125. Релятивистское уравнение для связанных состояний . . . 612
126. Двойное дисперсионное соотношение .................................... 619
127. Рассеяние фотона на фотоне .....................................................627
128. Когерентное рассеяние фотона в поле я д р а .......................... 635
129. Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного
поля ...................................................................................................637
130. Расщепление фотона в магнитном п о л е ................................. 648
131. Вычисление интегралов по четырехмерным областям . . . 656
Г л а в а XIII. А с и м п т о т и ч е с к и е ф о р м у л ы к в а н т о в о й э л е к
тродинам ики
132. Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при
больших импульсах
..................................................................... 661
133. Связь между «затравочным» и истинным зарядами . . . 665
134. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при вы
соких энергиях ............................................................................... 669
135. Выделение дваж ды логарифмических членов в вершин
ном о п е р а т о р е .................................................................................. 674
136. Д важ ды логарифмическая асимптотика вершинного опе
ратора ................................................................................................680
137. Д важ ды логарифмическая асимптотика амплитуды рассе
яния электрона на мюоне ........................................................... 683
Г л а в а XIV. Э л е к т р о д и н а м и к а а д р о н о в
138. Электромагнитные формфакторы а д р о н о в .......................... 690
139. Рассеяние электронов адронами .............................................. 696
140. Низкоэнергетическая теорема для тормозного излучения
699
141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на
адроне ................................................................................................703
142. Мультипольные моменты адронов ...........................................706
143. Неупругое рассеяние электронов а д р о н а м и .......................... 712
144. Превращение электрон-позитронной пары в адроны
. . . 715
Предметный у к а з а т е л ь ............................................................................... 717
П РЕ Д И С Л О В И Е К Т РЕ Т Ь Е М У И ЗД А Н И Ю
В настоящем издании «Квантовой электродинамики» исправ
лены ошибки и неточности, обнаруженные после выхода второго
издания, и внесено несколько уточняющих текст добавлений.
Я признателен читателям книги, сообщившим мне свои заме
чания. В особенности я благодарен В. И. Когану, А. И. Никишову
и В. И. Ритусу.
Сентябрь 1988 г.
Л. П. Питаевский
П Р Е Д И С Л О В И Е КО В Т О Р О М У И З Д А Н И Ю
Первое издание предлагаемого тома Курса теоретической ф и
зики было опубликовано в двух частях в 1968 и 1971 гг. под на
званием «Релятивистская квантовая теория». Кроме основного —
квантовоэлектродинамического — материала это издание содер
жало также главы, посвященные слабым взаимодействиям и
некоторым вопросам теории сильных взаимодействий. Сейчас
включение этих глав представляется нам несвоевременным. Тео
рия сильных и слабых взаимодействий бурно развивается на
основе новых физических идей, и ситуация в этой области ме
няется очень быстро, так что момент для последовательного из
ложения теории заведомо еще не наступил. Ввиду этого в насто
ящем издании мы ограничились квантовой электродинамикой,
что отражено в изменении заглавия книги.
Наряду со значительным числом исправлений и мелких изме
нений, в настоящем издании сделан также и ряд более крупных
добавлений. Из них отметим операторный метод вычисления се
чения тормозного излучения, вычисление вероятности рождения
пар фотоном и вероятности распада фотона в магнитном поле,
исследование асимптотического поведения амплитуд рассеяния
при высоких энергиях, обсуждение процессов неупругого рассея
ния электронов адронами и превращения электрон-позитронных
пар в адроны.
10
ИЗ П РЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМ У ИЗДАНИЮ
Несколько слов об обозначениях. Мы вернулись в этой кни
ге к обозначению операторов буквами со «шляпкой» — единооб
разно с остальными томами этого курса. Д ля произведения же
4-вектора с матричным вектором 7 ^ (которое обозначалось бу
квой со шляпкой в первом издании книги) специальных обозна
чений не вводится. Такие произведения выписываются явно.
К сожалению, нам пришлось готовить это издание без уча
стия Владимира Борисовича Берестецкого, скончавшегося в
1977 г. Но часть из указанных выше добавлений была состав
лена ранее всеми тремя авторами совместно.
Мы искренне благодарны всем нашим читателям, сообщив
шим нам свои замечания по первому изданию книги. В особен
ности мы благодарим В. П. Крайнова, Л. Б. Окуня, В. И. Ритуса,
М. И. Рязанова и И. С. Шапиро.
Июль 1979 г.
Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
И З П РЕ Д И С Л О В И Я К П ЕРВО М У И ЗД А Н И Ю
В соответствии с общим планом этого курса настоящий том
посвящен релятивистской квантовой теорий в широком смысле
этого слова: теории всех явлений, связанных с конечностью ско
рости света, в том числе всей теории излучения.
Как известно, эта часть теоретической физики в настоящее
время еще далека от своего завершения даже в отношении ле
жащих в ее основе физических принципов. Это относится в осо
бенности к теории сильных и слабых взаимодействий. Но даже
квантовая электродинамика, несмотря на достигнутые в ней за
последние 2 0 лет блестящие успехи, все еще не удовлетворитель
на по своей логической структуре.
При отборе материала для этой книги мы ограничивались те
ми результатами, которые представляются, с разумной степенью
уверенности, достаточно надежно установленными. Естественно,
что при таком подходе большую часть книги занимает квантовая
электродинамика. Мы стремились вести изложение с реалисти
ческой точки зрения, подчеркивая делаемые в теории физиче
ские предположения, но не вдаваясь в обоснования, которые при
современном состоянии теории все равно имеют чисто формаль
ный характер.
При рассмотрении конкретных применений теории мы не ста
вили своей целью охватить все огромное число относящихся сюда
эффектов и ограничивались лишь основными из них, дав допол
нительно некоторые ссылки на оригинальные работы, содержа
щие более детальные исследования. При проведении вычислений,
отличающихся здесь обычно значительной громоздкостью, мы
часто опускали некоторые промежуточные формулы, но всегда
ИЗ П РЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМ У ИЗДАНИЮ
11
старались указать все используемые нетривиальные методиче
ские моменты.
По сравнению с другими томами этого курса изложение в
этой книге предполагает более высокий уровень подготовки чи
тателя. Мы исходили из того, что читатель, который в процессе
изучения теоретической физики достиг квантовой теории поля,
уже не нуждается в излишнем «разжевывании» материала.
Эта книга написана без непосредственного участия нашего
учителя Л. Д. Ландау. Но мы стремились руководствоваться тем
духом и отношением к теоретической физике, которому он все
гда учил нас и которое он проводил в других томах этого кур
са. Мы часто спрашивали себя, как бы отнесся Дау к тому или
иному вопросу, и старались ответить так, как подсказывало нам
многолетнее общение с ним.
Мы благодарны В. Н. Байеру, оказавшему нам большую по
мощь в составлении § 90 и 97, В. И. Ритусу за большую помощь
в написании § 101, Б. Э. Мейеровичу за помощь в некоторых вы
числениях. Мы благодарны также А. С. Компанейцу, предоста
вившему нам свои записи лекций по квантовой электродинамике,
прочитанных Л. Д. Ландау в МГУ в 1959/60 учебном году.
Июнь 1967 г.
В. Б. Берестецкий ;
Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
Н ЕК О ТО РЫ Е О БО ЗН А Ч ЕН И Я
Четырехмерные обозначения
Четырехмерные тензорные индексы обозначаются гречески
ми буквами A, /i, z^, ... , пробегающими значения 0, 1, 2 , 3.
Принята 4-метрика с сигнатурой (Н--------). Метрический тензор g/xuig00 = 1, gll = ►0) воз
можно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности
измерения.
Есть основания считать, что претерпевает изменения также
и вопрос об измеримости координаты электрона самой по себе. В
СООТНОШ ЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
17
математическом формализме теории это проявляется в несовме
стимости точного измерения координаты с утверждением о поло
жительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальней
шем, что полная система собственных функций релятивистского
волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наря
ду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) так
же решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут,
в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего
электрону, локализованному в небольшом участке пространства.
Волновые функции «отрицательной частоты» связаны, как
будет показано, с существованием античастиц - позитронов. По
явление этих функций в разложении волнового пакета выра
жает собой неизбежное в общем случае образование электронпозитронных пар в процессе измерения координат электрона.
Неконтролируемое самим процессом возникновение новых ча
стиц лишает смысла измерения координат электрона.
В системе покоя электрона минимальная погрешность изме
рения его координат
A q ~ Н/тс.
(1.3)
Этому значению (единственно допустимому уже из соображе
ний размерности) отвечает неопределенность импульса А р ~ т с ,
которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой
энергии образования пары.
В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией
£, вместо (1.3) имеем
A q ~ ch/e.
(1.4)
В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энер
гия связана с импульсом соотношением е ~ ср, и тогда
A q ~ П/р,
(1.5)
т. е. погрешность A q совпадает с дебройлевской длиной волны
частицы 1) .
Д ля фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский слу
чай, так что справедливо выражение (1.5). Это значит, что о
координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случа
ях, когда характерные размеры велики по сравнению с длиной
волны. Но это есть не что иное, как «классический» предель
ный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой
1) Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта мож
но сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от из
мерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения
результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта отклонения
частицы в таком случае можно сделать заключение о местоположении элек
трона, из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких выводов.
18
ВВЕДЕНИЕ
можно говорить о распространении света вдоль определенных
траекторий — лучей. В квантовом же случае, когда длина волны
не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона
становится беспредметным. Мы увидим в дальнейшем (см. § 4),
что в математическом формализме теории неизмеримость коор
динат фотона проявляется уже в невозможности составить из
его волновой функции величину, которая могла бы играть роль
плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требо
ваниям релятивистской инвариантности.
На основании всего сказанного естественно думать, что буду
щая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода
процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих про
цессах не существует точно определяемых характеристик (да
же в пределах обычной квантовомеханической точности), так
что описание процесса во времени окажется столь же иллюзор
ным, какими оказались классические траектории в нереляти
вистской квантовой механике. Единственными наблюдаемыми
величинами будут являться характеристики (импульсы, поля
ризации) свободных частиц - начальных частиц, вступающих
во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результа
те процесса (JI. Д. Ландау, R. Peierls, 1930).
Характерная постановка вопроса в релятивистской кванто
вой теории состоит в определении амплитуд вероятности пере
ходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при
t —>►=Fоо) состояния системы частиц. Совокупность амплитуд пе
реходов между всеми возможными состояниями составляет ма
трицу рассеяния, или S -матрицу. Эта матрица будет носителем
всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей
наблюдаемый физический смысл ( W . Heisenberg, 1938).
В настоящее время полной, логически замкнутой релятивист
ской квантовой теории еще нет. Мы увидим, что существующая
теория вносит новые физические аспекты в характер описания
состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории по
ля (см. § 10). Она строится, однако, в значительной мере по об
разцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое
построение теории привело к успеху в области квантовой элек
тродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой
теории проявляется в существовании расходящихся выражений
при прямом применении ее математического аппарата, но для
устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные
способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохра
няют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность
в правильности получающихся таким путем результатов основа
на в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на
внутренней согласованности и логической стройности основных
принципов теории.
ГЛАВА
I
Ф О ТО Н
§ 2. К вантование свободного электром агнитного поля
Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле
как квантовый объект, удобно исходить из такого классического
описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконеч
ным, но дискретным рядом переменных; такое описание позво
лит непосредственно применить обычный аппарат квантовой ме
ханики. Представление же поля с помощью потенциалов, задава
емых в каждой точке пространства, есть по существу описание
с помощью непрерывного множества переменных.
Пусть А (г, t) —векторный потенциал свободного электромаг
нитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»
d iv A = 0 .
(2 . 1 )
При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н:
Е = —А,
Н = rot А.
(2.2)
Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:
Я2 д
А А - — = 0.
(2.3)
dt 2
Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике
переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных
осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом,
но конечном объеме пространства V 1) . Напомним, как это де
лается, опустив детали вычислений.
Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие
плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида
А = J > ke*kr + a£e-*kr),
(2.4)
к
где коэффициенты ак зависят от времени по закону
ak ~ e ~ lujt,
ио = |к |.
(2.5)
В силу условия (2.1) комплексные векторы ак ортогональны
соответствующим волновым векторам: akk = 0 .
1) Во избежании загромождения формул лишними множителями будем
полагать V = 1.
20
ФОТОН
ГЛ. I
Суммирование в (2.4) производится по бесконечному дискрет
ному набору значений волнового вектора (его трех компонент кХ1
ку, kz). Переход к интегрированию по непрерывному распреде
лению можно произвести с помощью выражения
d3k/(2ir)3
для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объ
ема к-пространства d3k = dkxdkydkz .
Заданием векторов ак полностью определяется поле в данном
объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как
дискретный набор классических «переменных поля». Д ля вы
яснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует
произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в
результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогич
ный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) клас
сической механики. Канонические переменные поля определяют
ся посредством
Qk = “Тр (a k + a k)>
( 2 .6 )
P k =
7 f= (a k — a k) = Q k
л/47Г
(они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражает
ся через канонические переменные согласно
А = дДтг
^Qk cos k r — —P k sin k r j .
k
(2.7)
ш
Д ля нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить
полную энергию поля
i - J ( E 2 + Н 2)d3x,
выразив ее через величины Qk, Pk- Представив А в виде разло
жения (2.7), вычислив Е и н согласно (2.2) и произведя инте
грирование, получим
f f = i E ( p k + " 2Qk)к
К аж д ы й из векторов P k и Q k перпендикулярен волновом у
в е к т о р у к, т . е . и м е е т п о д в е н е з а в и с и м ы е к о м п о н е н т ы . Н а п р а в
ление эти х векторов о п ред еляет н ап равлен и е п оляри зац и и соот
ветству ю щ ей волны . О б озн ачи в две ком п он ен ты векто р о в Q k,
P k ( в ПЛОСКОСТИ, п е р п е н д и к у л я р н о й к) П О СредСТВО М Q k c n Рка
(а = 1 ,2 ), перепишем функцию Гамильтона в виде
H = ^ \ ( PL + ^ Q D ка
(2 -8 )
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМ АГНИТНОГО ПОЛЯ
21
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму
независимых членов, каждый из которых содержит только по
одной паре величин Qkcn Рка- Каждый такой член соответству
ет бегущей волне с определенными волновым вектором и поля
ризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного
гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложе
нии говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнит
ного поля. Изложенный способ классического описания поля де
лает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны
рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные
координаты Qka и обобщенные импульсы Р\^а — как операторы
с правилом коммутации
PkaQka
Qha^ha =
^
(операторы же с разными к а все коммутативны друг с другом).
Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также по
тенциал А и, согласно (2.2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует
вычисления интеграла
Н = — /(Ё
8 тг J
2
+ Н 2)d3x,
(2 . 1 0 )
в котором Е и Н выражены через операторы Pkcn Qka• Факти
чески, однако, некоммутативность последних при этом не про
является, так как произведения QkaPka входят с множителем
cos k r • sin k r, обращающимся в нуль при интегрировании по все
му объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается
выражение
Я = Е К ^ « + ш2^ ) ка
(2 -1 1 )
в точности соответствующее классической функции Гамильтона,
что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не
требует особых вычислений, так как сводится к известной зада
че об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23).
Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
Е = £Л ( ^ а + -1 ) ^
ка
(2 . 1 2 )
где TVka — целые числа.
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем па
раграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qka;
22
ФОТОН
ГЛ. I
что можно сделать непосредственно с помощью известных фор
мул для матричных элементов координат осциллятора (см. III,
§ 23). Отличные от нуля матричные элементы равны
(Nka\Qka\Nka - 1} = (N ka - l\Qka\Nka) =
(2.13)
Матричные элементы величин Р\^а = Q отличаются от матрич
ных элементов Qka лишь множителем =Ьгио.
В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользо
ваться вместо величин Qkcn Рка их линейными комбинациями
uQka =Ь iPka, которые имеют матричные элементы только для
переходов N\^a —>►N\^a =Ь 1 . Соответственно этому вводим опера
торы
ска = Vгг—
(шQ ka Н” iP k a )i
ска = Vпт~
i^ Q k a ~ ^Рка)
(2-14)
2cj
2cj
(классические величины С ка,
совпадают с точностью до мно
жителя у/2тт/и с коэффициентами а\^а , а^а в разложении (2.4))
Матричные элементы этих операторов равны
(Nka ~ l|Cka|Mca) = (-^ka|Cka |iVka - 1) = у /N ka.
Правило коммутации между Cka и с£
определения (2.14) и правила (2.9):
(2.15)
получается с помощью
а д £ а - £ к Л а = 1(2-16)
Д ля векторного потенциала мы возвращаемся к разложению
вида (2.4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь
операторами. Напишем его в виде
A = ^ ( c kaA ka + c+a A L ),
(2.17)
кa
где
()
A kQ = V i ^ _ = e lkr.
V 2cj
(2.18)
Мы ввели обозначение е ^ для единичных векторов, указываю
щих направление поляризации осцилляторов; векторы е ^ пер
пендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к име
ются две независимые поляризации.
Аналогично для операторов Е и н напишем
E = ^ ( c kQE kQ + c+QE L ), H = ^ ( c kQH ka + c+QH L ),
ка
(2.19)
ка
причем
® к а = ^ А к ач
Н-ко; =
[п Е к а ]
(^ = k /c j).
( 2 .2 0 )
23
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМ АГНИТНОГО ПОЛЯ
Векторы Aka взаимно ортогональны в том смысле, что
J АкаА *k W d3x
=
2-^8аа,8кк,.
( 2 . 21 )
Действительно, если А\^а и А£,а, различаются волновыми векто
рами, то их произведение содержит множитель ег(к-к )г, дающий
нуль при интегрировании по объему; если же они различаются
лишь поляризациями, то
= 0 , так как два независимых
направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные
соотношения справедливы для векторов Eka, Н ка . Их нормиров
ку удобно записать в виде
j - j (EkaE£,a, + Н kaH*k,a,)d3x = ш8кк,8аа1.
(2.22)
Подставив операторы (2.19) в (2.10) и произведя интегрирова
ние с помощью (2 .2 2 ), получим гамильтониан поля, выраженный
через операторы с,
:
Н = ^
- ш(скас^а + списка).
(2.23)
ка
Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные
элементы операторов с, с^~ из (2.15)) диагоналей, и его собствен
ные значения совпадают, конечно, с (2 . 1 2 ).
В классической теории импульс поля определяется как инте
грал:
Р = — [ [EHld3i .
4тг J
При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами
(2.19) и без труда находим
Р = Е ^ к 2а + ^ к а ) п
(2‘24)
ка
— в соответствии с известным классическим соотношением меж
ду энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения
этого оператора
Р = 5 > ( i V ka + i ) .
(2.25)
ka
Представление операторов, осуществляемое матричными эле
ментами (2.15), есть «представление чисел заполнения»,—оно
отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания
квантовых чисел TVka {числа заполнения). В этом представле
нии операторы поля (2.19) (а с ними и гамильтониан (2.11)) дей
ствуют на волновую функцию системы, выраженную в функции
24
ФОТОН
ГЛ. I
чисел iVkcn обозначим ее Ф(Л/ка ,£). Операторы поля (2.19) не за
висят явно от времени. Это соответствует обычному в нереляти
вистской квантовой механике шредингеровскому представлению
операторов. Зависящим же от времени является при этом состо
яние системы Ф ^ко,,^), причем эта зависимость определяется
уравнением Ш редингера
Такое описание поля по существу релятивистски инвариант
но, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Мак
свелла. Но эта инвариантность не выявлена явно, — прежде все
го потому, что пространственные координаты и время входят в
описание крайне несимметричным образом.
В релятивистской теории целесообразно придать описанию
внешне более инвариантный вид. Д ля этой цели надо восполь
зоваться так называемым гейзенберговским представлением, в
котором явная временная зависимость перенесена на сами опе
раторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равно
правным образом входить в выражения для операторов поля, а
состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения.
^
Д ля оператора А переход к гейзенберговскому представле
нию сводится к замене в каждом члене суммы в (2.17), (2.18)
множителя егкг на е г(к г - ^ ) 5 т< е. к тому, чтобы под А\^а пони
мать зависящие от времени функции
A ka = V ^ ^ e - ^ - krK
(2.26)
л/2со
В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гей
зенберговского оператора для перехода г
/ должен содержать
множитель exp{—i(Ei — E f)t} , где Е\ и E f — энергии начального
и конечного состояний (см. III, § 13). Д ля перехода с уменьше
нием или увеличением N к на 1 этот множитель сводится соот
ветственно к e~lujt или elujt. Это требование будет соблюдено в
результате указанной замены.
В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного по
ля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзен
берговское представление операторов.
§ 3. Ф отоны
Обратимся к обсуждению полученных формул квантования
поля.
Прежде всего, формула (2.12) для энергии поля обнаружи
вает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии
25
ФОТОНЫ
поля соответствует равенство нулю квантовых чисел N\^a всех ос
цилляторов (это состояние называют состоянием вакуума элек
тромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осцил
лятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» ио/2. При
суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы
получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваем
ся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие
полной логической замкнутости существующей теории.
Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля,
можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энер
гии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса
поля
e
=
р = Е
N
ка
N ^
k -
(з л )
ка
Эти формулы позволяют ввести основное для всей кванто
вой электродинамики понятие о световых квантах, или фото
нах 2) . Именно, мы можем рассматривать свободное электромаг
нитное поле как совокупность частиц, каж дая из которых имеет
энергию ио(= Нио) и импульс к (= пНоо/с). Соотношение между
энергией и импульсом фотона — такое, каким оно должно быть
в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой
покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения N\^a
приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и
поляризациями е^а\ Свойство поляризации фотона аналогично
понятию спина у других частиц (специфические особенности фо
тона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6 ).
Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе мате
матический формализм находится в полном соответствии с пред
ставлением об электромагнитном поле как о совокупности фото
нов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторич
ного квантования в применении к системе фотонов 3) . В этом
методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют чис
ла заполнения состояний, а операторы действуют на функции
этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уни
1) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым
образом, условившись понимать произведения операторов в (2.10) как «нор
мальные», т. е. такие, в которых операторы
располагаются всегда левее
операторов с. Формула (2.23) примет тогда вид
Н=
И ^Зса)
■
ка
2) Представление о фотонах было впервые введено Эйнштейном (А . Ein
stein, 1905).
3) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был
развит Дираком (Р. А. М. Dirac, 1927).
26
ФОТОН
ГЛ. I
чтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие
или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно таки
ми операторами и являются ci^, с^а : оператор
уничтожает
фотон в состоянии к а, а с^а — рождает фотон в этом состоянии.
Правило коммутации (2.16) соответствует случаю частиц,
подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны явля
ются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допу
стимое число фотонов в любом состоянии может быть произ
вольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства).
Плоские волны А\^а (2.26), фигурирующие в операторе А
(2.17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтоже
ния фотонов, можно трактовать как волновые функции фото
нов, обладающих определенными импульсами к и поляризация
ми е^а\ Такая трактовка соответствует разложению ^-операто
ра в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний
частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования
(в отличие от последнего, однако, в разложение (2.17) входят
как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц;
смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. § 1 2 ).
Волновая функция (2.26) нормирована условием
(3.2)
Это есть нормировка на один фотон в объеме V = 1. Действи
тельно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой
квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состо
янии с данной волновой функцией :) . В правой же стороне ра
венства (3.2) стоит энергия одного фотона.
Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравне
ния Максвелла. В данном случае (для потенциала А (г,£), удо
влетворяющего условию (2 . 1 )) это — волновое уравнение
«Волновые функции» фотона в общем случае произвольных ста
ционарных состояний представляют собой комплексные решения
этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя
е~ш .
Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз,
что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности
1) Обратим внимание на то, что коэффициент 1/(4тг) в интеграле (3.2)
в два раза больше обычного коэффициента 1/(87г) в (2.10). Эта разница
связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ека, Нка, в отличие
от эрмитовых операторов поля Е, Н.
§4
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
27
пространственной локализации фотона — в противоположность
основному смыслу волновой функции в нерелятивистской кван
товой механике. Это связано с тем, что (как было указано в § 1 )
понятие координат фотона вообще не имеет физического смы
сла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще
в конце следующего параграфа.
Компоненты разложения Фурье функции А(г,£) по коорди
натам образуют волновую функцию фотона в импульсном пред
ставлении; обозначим ее A(k, t) = А ( к )е ~ шг. Так, для состоя
ния с определенным импульсом к и поляризацией е ^ волновая
функция импульсного представления дается просто коэффици
ентом при экспоненциальном множителе в (2.26):
A kQ(k',c/) = Vi7r-^=£k'k = f e ( A).
(7.15)
Л
Сферические компоненты шаровых векторов выражаются с по
мощью З^’-символов через шаровые функции следующими фор
мулами:
( - i y +m+^ ( Y % ) x = - J ] ( l +
+\
+ V i + 1 (ii + A
\
J m ) Y , +1>m+x +
-A
-m )
(- 1)J+m+A+i ( Y t )) A = - V / 2 i T T ( m J+ A - A
( _ i y + m + A+l ( Y ^ ) a = y / j + 1
+ д
- L ) Y^
(7-16)
_ Jm ) *i+l,m +A +
+ y / j ( TO _|_ д -A —to)
Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из
трех шаровых векторов имеет вид Y j m — &Yjmi где а — один из
трех векторов (7.3). Поэтому
Y jm = ^ ^(lm \a\jm)Yimi,
1т'
и задача сводится к нахождению матричных элементов векто
ров а относительно собственных функций орбитального момен
та. Согласно (107.6) (см. III) имеем
(lm'\ax \ j r n ) = i ( - i y ™ - m'
\
^
(l\\a\\j),
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
41
гДе Jmax — большее из чисел I и j . Поэтому достаточно знать от
личные от нуля приведенные матричные элементы (/||a||j). Д ля
них имеются формулы:
(I - 1\\п\\1) = (1\\п\\1 - 1)* = {уД,
(i\\vn \ \ i - i ) = i ( i - i ) V i ,
( i - i \ \ v n \\i) = i(i + i ) V l ,
< *||[nV „]||0 = W l ( l + l ) ( 2 l + l ) .
§ 8. П оляризация ф отон а
Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой ча
сти» волновой функции (с теми оговорками, которые были вы
сказаны в § 6 по поводу понятия спина фотона).
Различные случаи, которые могут иметь место для поляри
зации фотона,ничем не отличаются от возможных типов поля
ризации классической электромагнитной волны (см. II, § 48).
Произвольную поляризацию е можно представить в виде на
ложения двух выбранных каким-либо определенным образом
взаимно ортогональных поляризаций е^1) и е^2) ( e ^ W 2)* = 0 ).
В разложении
е = e i e ^ + в2 е ^
(8.1)
квадраты модулей коэффициентов е\ и б2 определяют вероят
ность того, что фотон имеет поляризацию е^1) или е^2).
В качестве последних можно выбрать две взаимно перпенди
кулярные линейные поляризации. Можно также разлагать про
извольную поляризацию на две круговые с противоположными
направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой по
ляризации обозначим соответственно е^+1) и
в системе ко
ординат
с осью ( вдоль направления фотона n = k/a;
е^+1) = —-^= (е^ + г е ^ ) ,
= -^= (е^ —г е ^ ) .
(8 .2 )
Возможность двух различных поляризаций фотона (при за
данном импульсе) означает, другими словами, что каждое соб
ственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоя
тельство тесно связано с равенством массы фотона нулю.
Д ля свободно движущейся частицы с ненулевой массой все
гда существует система покоя. Очевидно, что именно в этой си
стеме отсчета выявляются собственные свойства симметрии ча
стицы как таковой. При этом должна рассматриваться симмет
рия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра
42
ФОТОН
ГЛ. I
(т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Ха
рактеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой
группе является ее спин s, определяющий кратность вырожде
ния (число 25 + 1 преобразующихся друг через друга различных
волновых функций). В частности, частице с векторной (три ком
поненты) волновой функцией отвечает спин 1 .
Д ля частицы же с равной нулю массой не существует систе
мы покоя — в любой системе отсчета она движется со скоростью
света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное
направление в пространстве — направление вектора импульса к
(ось (). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по отно
шению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить
лишь об аксиальной симметрии относительно выделенной оси.
При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиралъностъ
частицы — проекция момента на ось £; обозначим ее А 1) . Ес
ли потребовать также симметрии по отношению к отражениям
в плоскостях, проходящих через ось £, то состояния, различа
ющиеся знаком А, будут взаимно вырождены; при А / 0 мы
будем иметь, следовательно, двукратное вырождение 2) . Состо
яние фотона с определенным импульсом и соответствует одному
из типов таких двукратно вырожденных состояний. Оно описы
вается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой
вектор е в плоскости £77; две компоненты этого вектора преобра
зуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси ( и при
отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось.
Различные случаи поляризации фотона находятся в опреде
ленном соответствии с возможными значениями его спиральности. Это соответствие можно установить по формулам III, (57,9),
связывающим компоненты векторной волновой функции с ком
понентами эквивалентного ей спинора второго ранга 3) . Проек
циям А = +1 или —1 соответствуют векторы е с отличной от
нуля лишь компонентой
—ге^ или е^ + ге^, т. е. соответственно
е = е (+1) или е = е (-1 ). Другими словами, значения А= + 1 и —1
соответствуют правой и левой круговой поляризации фотона (в
§16 этот же результат будет получен путем прямого вычисления
собственных функций оператора проекции спина). Таким обра
зом, проекция момента фотона на направление его движения мо
жет иметь лишь два значения ( ± 1 ); значение 0 не возможно.
1) В отличие от проекции т момента на заданное направление (ось z) в
пространстве, о которой шла речь в предыдущем параграфе.
2) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы
двухатомной молекулы (см. III, § 78).
3) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам веро
ятности различных значений проекции момента частицы (о которых здесь
и идет речь) отвечают контравариантные компоненты спинора.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
43
Состояние фотона с определенными импульсом и поляриза
цией есть чистое состояние (в смысле, разъясненном в III, § 14);
оно описывается волновой функцией и соответствует полному
квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона).
Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответ
ствующие менее полному описанию, осуществляемому не волно
вой функцией, а лишь матрицей плотности.
Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляриза
ции, но соответствующее определенному значению импульса к.
В таком состоянии (его называют состоянием частичной поля
ризации существует «координатная» волновая функция.
Поляризационная матрица плотности фотона представляет
собой тензор второго ранга рар в плоскости, перпендикулярной
вектору п (плоскость £г/; индексы а, /3 пробегают всего два зна
чения). Этот тензор эрмитов:
Ра/З = Рра ,
(8-3)
и нормирован условием
Раа = Pll + 922 = 1.
(8.4)
В силу (8.3) диагональные компоненты р ц и р 22 вещественны,
причем определяются одна по другой условием (8.4). Компонента
же р \ 2 комплексна, а р 2 \ = р\2- Всего, следовательно, матрица
плотности характеризуется тремя вещественными параметрами.
Если известна поляризационная матрица плотности, то мож
но найти вероятность того, что фотон имеет любую определен
ную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией»
тензора р а р на направление вектора е, т. е. величиной
Ра/Зеае/3•
(8-5)
Так, компоненты р ц и р 22 представляют собой вероятности ли
нейных поляризаций вдоль осей £ и г/. Проецирование на векторы
(8 .2 ) дает вероятности двух круговых поляризаций:
± [1
±i(pi2~p2l)\.
( 8 .6 )
Свойства тензора рар по форме и по существу совпадают со
свойствами тензора Jap, описывающего частично поляризован
ный свет в классической теории (см. II, § 50). Напомним здесь
некоторые из этих свойств.
В случае чистого состояния с определенной поляризацией е
тензор р а р сводится к произведениям компонент вектора е:
Рар = еае}.
(8.7)
При этом определитель \рар = 0|. В обратном случае неполяризованного фотона все направления поляризации равновероят-
44
ФОТОН
ГЛ. I
В общем случае частичную поляризацию удобно описывать
с помощью трех вещественных параметров Стокса £i, £2, £3 1) ,
через которые матрица плотности выражается в виде
п q — - ( ^
£1i _—^£2 ^) ■
(О п \
Ра/3
- 2
+ ^ф
(8-9)
Все три параметра пробегают значения между —1 и + 1. В неполяризованном состоянии £1 = £2 — £з — 0; для полностью поля
ризованного фотона Ci + й + Сз = 1Параметр £3 характеризует линейную поляризацию вдоль
осей £ или г/; вероятность линейной поляризации фотона вдоль
этих осей равна соответственно (1 + £з)/2 или (1 — £з)/2. Зна
чения Сз = +1 или —1 отвечают поэтому полной поляризации в
этих направлениях.
Параметр £1 характеризует линейную поляризацию вдоль на
правлений, составляющих угол (р = 7г/4 или ip = —7г/ 4 с осью £.
Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях
равна соответственно ( l + £ i ) / 2 или (1 —£i)/2; в этом легко убе
диться, спроецировав тензор р ар на направления е = (1, ± 1 ) / д / 2 .
Наконец, параметр £2 есть степень круговой поляризации;
согласно (8.6) вероятность того, что фотон имеет правую или
левую круговую поляризацию, равна (1 + £2)/2 или (1 — £2)/2.
Поскольку две поляризации отвечают спиральностям А = ± 1, то
ясно, что в общем случае £2 есть среднее значение спиральности фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с
поляризацией е
£2 = г[ее*]п.
(8.10)
Напомним (см. II, § 50), что по отношению к преобразованиям
Лоренца инвариантными величинами являются £2 и
+ £3 •
Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении
параметров Стокса по отношению к операции обращения време
ни. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому
преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от приро
ды поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться
в нем хотя бы в случае чистого состояния. Обращению време
ни отвечает в квантовой механике замена волновой функции ее
комплексно-сопряженной (см. III, § 18). Д ля плоскополяризованной волны это означает замену 2)
k->-k,
е —)►—е*.
(8.11)
х) Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси £!
2) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение време
ни меняет знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный
же потенциал не меняет знака; поэтому для 4-вектора е обращение времени
есть преобразование
. *
.
(е0, е) — (во, —е ).
(8.11а)
45
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
При таком преобразовании симметричная часть матрицы плот
ности ( 1 / 2 ) (еа е*р + е^е*), а тем самым и параметры £i и £3 не
меняются. Неизменность же параметра £2 ПРИ том ж е преобразо
вании видна из (8 . 1 0 ); она очевидна также уже из смысла £2 как
среднего значения спиральности. Действительно, спиральность
есть проекция момента j на направление п, т. е. произведение
jn ; обращение же времени меняет знак обоих этих векторов.
В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плот
ности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде
некоторого 4-тензора р
Д ля поляризованного фотона, описы
ваемого 4-вектором е^, этот тензор естественно определить как
Рцр —
(8.12)
При трехмерно поперечной калибровке е = (0,е), если одна из
пространственных осей координат выбрана вдоль п, отличные от
нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8.7).
Д ля неполяризованного фотона трехмерно поперечной кали
бровке отвечает тензор р ^ с компонентами
Pik = ~{$ik
^г^/с)?
POi = PiO = Р00 = 0
(8.13)
(если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся
к (8 .8 )). Непосредственно использовать тензор р ^ в таком трех
мерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться
калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это
есть преобразование вида
Р/цу
Рцу + Хцку + Хукц,
(8.14)
где Хц — произвольные функции. Положив
Хо = —1 /(4u>),
Xi = h / { 4ш2)
получим вместо (8.13) простое четырехмерное выражение
/ V = - ё ц и / 2(8-15)
Четырехмерное представление матрицы плотности частично
поляризованного фотона легко получить, переписав предвари
тельно двумерный тензор (8.9) в трехмерном виде:
Pik = И /гХ е Г Ч 1’ + * Р 4 2)) + К . / а д ^ Ч 21 + ее«) - (* 6 /2 )(е га Ц 2) - e i ]e ^ ]) + (Сз/2) (ej1}е£1) - e f }ej;2)),
где
е ^ —единичные векторы, орты осей £ и г/. Требуемое
обобщение достигается заменой этих 3-векторов пространствен
но-подобными единичными вещественными 4-векторами е^1), е^2\
ортогональными друг другу и 4-импульсу фотона к:
e(i )2 = е (2)2 = - 1 ,
еМе ( i V p + N P).
(11.6)
Р
Если бы мы приняли вместо (11.4) перестановочные соотно
шения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то по
лучили бы
^
^ ^
Н = 'У ^ z(ap ар ~ bpbp + 1)
р
и вместо формулы (11.5)—физически бессмысленное выраже
ние
— Np) . Это выражение не является положительно
1) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный
оператор ф+ слева от ф. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка
ф+ и ф привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ар и Ьр .
Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться
одного правила.
ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ
59
определенным и поэтому не может представлять собой энергию
системы свободных частиц.
Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами.
Далее, рассмотрим интеграл Q (10.19). Заменив в j° функ
ций ф и ф* операторами ф и ф+ и произведя интегрирование,
получим
Q = ^ ( й + а р - ЬрЬ+) = J ] ( a + a p - b+bp - 1 ).
(11.7)
Р
Р
Собственные значения этого оператора (за вычетом несуществен
ной аддитивной постоянной ^ 1 ):
Q=Е ^ р -^ р )’
р
(п -8)
т. е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц.
До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, от
влекаясь от всякого взаимодействия между ними, смысл зако
на сохранения величины Q (как, впрочем, и законов сохранения
полных энергии и импульса (11.5, 11.6)) остается, разумеется, в
значительной степени условным: сохраняется в действительно
сти не только эта сумма, но и каждое из чисел 7Vp , N p в от
дельности. Будет ли сохраняться величина Q в результате вза
имодействия, зависит от характера взаимодействия. Если Q со
храняется (т. е. если оператор Q коммутирует с гамильтонианом
взаимодействия), то выражение ( 1 1 .8 ) показывает, какое этот за
кон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц:
могут возникать и исчезать лишь пары «частица+античастица».
Если частица электрически заряжена, то ее античастица
должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и дру
гая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничто
жение их пары противоречило бы строгому закону природы —
сохранению полного электрического заряда. Мы увидим ниже
(§ 32), каким образом эта противоположность зарядов (при вза
имодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в те
ории автоматически.
Величину Q иногда называют зарядом поля данных частиц.
Д ля электрически заряженных частиц Q определяет, в частно
сти, полный электрический заряд системы (в единицах элемен
тарного заряда е). Подчеркнем, однако, что частицы и антича
стицы могут быть электрически нейтральны.
Таким образом, мы видим, как характер релятивистской за
висимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения
е1 = р 2 + га2) совместно с требованиями релятивистской инва
риантности приводит в квантовой теории к появлению нового
классификационного принципа для частиц—возможности суще
ствования пар различных частиц («частица + античастица»),
60
БОЗОНЫ
Г Л . II
находящихся в описанном выше соответствии друг с другом. Это
замечательное предсказание было впервые сделано (для частиц
со спином У2 ) Дираком в 1930 г., еще до фактического открытия
первой античастицы — позитрона 1) .
§
12
. И стинно нейтральны е частицы
При проведении вторичного квантования ^-функции (11.1)
коэффициенты ар+^ и ар ^ рассматривались как операторы, от
носящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязатель
но: как частный случай входящие в ф операторы уничтожения и
рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это
было для фотонов — ср. (2.17)). Обозначив в этом случае указан
ные операторы как ср п ^ , напишем ^-оператор в виде
(12Л)
Р
Описываемое таким оператором поле соответствует системе оди
наковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают
со своими античастицами».
Оператор ( 1 2 . 1 ) эрмитов (ф+ = ф); в этом смысле такое поле
имеет вдвое меньше «степеней свободы», чем комплексное поле,
для которого операторы ф и ф+ не совпадают.
В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов
оператор ф, должен содержать лишний (по сравнению с (10.9))
множитель 1 / 2 2)
L = (1 /2 )( ^ ^ • д^ф — т^ф2).
(12.2)
Соответствующий тензор энергии-импульса
= д^ф • д„ф - L g ^ ,
так что оператор плотности энергии
) 2
+ (V ^
)2
(12.3)
+ т 2ф2
(12.4)
1) На бозоны понятие античастиц было распространено Вайскопфом и Па
ули ( V. Weisskopf,, W. Pauli, 1934).
2) Подобно лишнему множителю 1/2 в операторе (2.10) плотности энергии
электромагнитного поля (выраженного через эрмитовы операторы Е и Н),
по сравнению с плотностью энергии фотона (3.2), выраженной через его
комплексную волновую функцию; ср. примеч. на с. 26.
ИСТИННО НЕЙТРАЛЬНЫ Е ЧАСТИЦЫ
61
Подставив (12.1) в интеграл f Too d3x , получим гамильтониан
поля
й = \ Е е№ > + ^ ) -
(12-5)
р
Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе:
(12.6)
и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной
постоянной)
Я = £ * р* р -
(12.7)
Р
При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмысленный
результат — не зависящее от N p значение Е.
«Заряд» Q рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже
из того, что заряд Q должен менять знак при замене частиц ан
тичастицами, а в данном случае те и другие совпадают. В связи с
этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно,
выражение
Зц =
- (д^ ф ^ ф ]
(12.8)
для оператора сохраняющегося 4-вектора j при ф = ф+ обраща
ется в нуль (вектор же фдцф сам по себе не сохраняется). Это
в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого зако
на сохранения, который бы ограничивал возможные изменения
числа частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае,
электрически нейтральны.
Частицы такого рода называют истинно нейтральными, в
отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих антича
стицу. В то время как последние могут аннигилировать (превра
щаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы
могут аннигилировать поодиночке.
Структура ^-оператора ( 1 2 . 1 ) — такая же, как структура опе
раторов (2.17)—(2.20) электромагнитного поля. В этом смысле
можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные ча
стицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операто
ров была связана с вещественностью напряженностей поля как
измеримых (в классическом пределе) физических величин. В
случае же ^-операторов частиц такой связи не существует, по
скольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредствен
но измеримые величины.
Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свой
ство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю
спином (так, оно имеет место и для фотонов). Физически оно
62
БОЗОНЫ
Г Л . II
выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения
числа частиц. С формальной же точки зрения существует пря
мая связь между отсутствием сохраняющегося тока и веществен
ностью поля — эрмитовостью оператора ф.
Лагранжиан комплексного поля
L = д^ф^ • д^ф — т 2ф^ф
(12.9)
инвариантен по отношению к умножению ^-оператора на произ
вольный фазовый множитель, т. е. по отношению к преобразо
ваниям
^
^
^
^
ф
егаф,
ф+
е~гаф+
( 12 .10)
(их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не ме
няется при бесконечно малом калибровочном преобразовании
ф —)►ф + iSa • ф,
ф+
ф+ — iSa • ф+.
( 1 2 .1 1 )
При бесконечно малом изменении «обобщенных координат»
q лагранжиан испытывает изменение
дЬ с
dq
,
дЬ
dq, t
/ dL
\ dq
d
dL
\
,
,
d
(
dL
' ^ —
rinrM \V
rin A
.. 5Q
дх» dq:^ J Sq + Y
dx»
\ —
dq:
(суммирование по всем q). Первый член обращается в нуль в си
лу «уравнений движения» (уравнений Лагранжа). Понимая под
«координатами» q операторы ф и ф+ и положив
5ф = iSa • ф,
Легко убедиться, что для лагранжиана (12.9) эта формула при
водит к току ( 1 2 .8 ).
Таким образом, в математическом формализме теории суще
ствование сохраняющегося тока оказывается связанным с ин
вариантностью лагранжиана по отношению к калибровочным
преобразованиям ( W . Pauli, 1941). Лагранжиан же истинно ней
трального поля ( 1 2 .2 ) этой симметрией не обладает.
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я С, Р, Т
§ 13. П реобразования С, Р,
63
Т
В противополож ность 4-инверсии трехм ерная (простран
ственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-систе
мы координат: определитель этого преобразования равен не +
+ 1 , а —1 . Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии
(P -преобразование) не предопределяются поэтому соображения
ми релятивистской инвариантности : ) .
В применении к скалярной волновой функции операция ин
версии заключается в преобразовании
Рф(г,г) =
г),
(13.1)
где знак «+» или « —» в правой стороне отвечает соответственно
истинному скаляру или псевдоскаляру.
Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения
волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимо
стью волновой функции от координат. В нерелятивистской кван
товой механике рассматривался только этот вопрос, — он приво
дит к понятию четности состояния (которую мы будем назы
вать теперь орбитальной четностью), характеризующей свойс
тва симметрии движения частицы. Если состояние обладает
определенной орбитальной четностью ( + 1 или —1 ), то это зна
чит, что
ip(t, -г ) = ± 1 p ( t , r ) .
Другой аспект — поведение (при инверсии координатны х
осей) волновой функции в данной точке (которую удобно пред
ставлять себе как начало координат). Оно приводит к понятию
внутренней четности частицы. Внутренней четности +1 или —
—1 отвечают (для частицы со спином 0 ) два знака в определении
(13.1). Полная четность системы частиц дается произведением
их внутренних четностей и орбитальной четности относительно
го движения.
«Внутренние» свойства симметрии различных частиц прояв
ляются, разумеется, лишь в процессах их взаимных превраще
ний. Аналогом внутренней четности в нерелятивистской кван
товой механике является четность связанного состояния слож
ной системы (например, ядра). С точки зрения релятивистской
теории, не делающей принципиального различия между состав
ными и элементарными частицами, такая внутренняя четность
не отличается от внутренней четности частиц, фигурирующих в
1) Группу Лоренца, дополненную пространственной инверсией, называют
расширенной группой Лоренца (в отличие от исходной группы, не содержа
щей Р , которую в этой связи называют собственной). Расширенная группа
содержит все преобразования, не выводящие ось t из соответствующих по
лостей светового конуса.
64
БОЗОНЫ
Г Л . II
нерелятивистской теории в качестве элементарных. В нереляти
вистской области, где последние ведут себя как неизменяемые,
их внутренние свойства симметрии не наблюдаемы, и поэтому
их рассмотрение было бы лишено физического смысла.
В аппарате вторичного квантования внутренняя четность вы
ражается поведением ^-операторов при инверсии. Скалярному и
псевдоскалярному полям отвечают законы преобразования
р ■
-»•
-г).
(13.2)
Самый же смысл воздействия инверсии на ^-оператор должен
быть сформулирован в виде определенного преобразования опе
раторов уничтожения и рождения частиц — такого, чтобы в его
результате возникало изменение (13.2). Легко видеть, что тако
вым является
Р I ftp —У dzfl_p,
Ьр —У dz6 _p
(13.3)
(и то же самое для сопряженных операторов). Действительно,
произведя эту замену в операторе:
ф ^т ) = Е
^
(йРе - ^ +грг + 6+e^-*Pr)
(13.4)
Р
и переобозначив затем переменную суммирования (р —>►—р), мы
приведем его к виду ± ,0 (t, —г). Таким образом, если обозначить
через *pp (t, г) оператор, в котором произведено преобразование
(13.3), то можно написать равенство
г) = ± ^ (t, - г ) .
(13.5)
Отметим, что преобразование (13.3) имеет вполне естественный
вид: инверсия меняет знак полярного вектора р, так что частицы
с импульсом р заменяются частицами с импульсом —р.
В (13.3) операторы а р и Ьр преобразуются либо оба с верхни
ми, либо оба с нижними знаками. В аппарате вторичного кванто
вания это является выражением одинаковости внутренних чет
ностей частицы и античастицы (со спином 0). Сама же по себе эта
одинаковость очевидна уже из того, что частицы и античастицы
(со спином 0 ) описываются одними и теми же (скалярными или
псевдоскалярными) волновыми функциями.
В релятивистской теории возникает также симметрия по от
ношению к преобразованию, не имеющему аналога в нереляти
вистской теории; его называют зарядовым сопряжением (С-пре
образование). Если взаимно переставить все операторы а р и Ьр :
С . Ар у
,
6р
у dp
(13.б)
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я С, Р, Т
65
(т. е. взаимно заменить частицы античастицами), то ф перейдет
в «зарядово-сопряженный» оператор фс с, причем
Фс (г,г) = Ф+(г,г)
(13.7)
Это равенство выражает симметрию, с которой входят в теорию
понятия частиц и античастиц.
Отметим, что в определении преобразования зарядового со
пряжения содержится некоторый несущественный формальный
произвол. Смысл преобразования не изменится, если ввести в
определение (13.6) произвольный фазовый множитель:
ар -> eiob p ,
Ър -> e~iaap .
Тогда было бы
ф
е1аф+, ф+
е~‘1аф,
а двукратное повторение этого преобразования по-прежнему
приводило бы к тождеству (ф —>►ф). Все такие определения, од
нако, эквивалентны друг другу. Поскольку свойства ^-операто
ров не меняются при умножении на фазовый множитель (ср. ко
нец предыдущего параграфа), можно просто переобозначить ф
на фега/ 2, после чего вернуться к определению зарядового сопря
жения в виде (13.6),(13.7).
Поскольку зарядовое сопряжение заменяет частицу нетожде
ственной ей античастицей, оно не приводит в общем случае к
возникновению какой-либо новой характеристики частицы или
системы частиц как таковых.
Исключение в этом смысле составляют системы, состоящие
из равного числа частиц и античастиц. Оператор С переводит
такую систему саму в себя, и потому в этом случае у нее суще
ствуют собственные состояния, отвечающие собственным значе
ниям С — ~L1 (последние следуют из того, что С 2 = 1). Д ля опи
сания зарядовой симметрии можно при этом рассматривать ча
стицу и античастицу как два различных «зарядовых состояния»
одной и той же частицы, отличающихся значением зарядового
квантового числа Q = ±1. Волновая функция системы предста
вится как произведение орбитальной и «зарядовой» функции и
должна быть симметричной по отношению к одновременной пе
рестановке всех переменных (координатных и зарядовых) любой
пары частиц. Симметрия же «зарядовой» функции определит
зарядовую четность системы (см. задачу) 1) .
Понятие зарядовой четности, естественным образом возника
ющее для «истинно нейтральных» систем, должно относиться и
1) В этих рассуждениях мы имеем в виду частицы со спином 0. Описанный
способ рассмотрения непосредственно обобщается и на другие случаи — см.,
например, задачу к § 27.
3 JI. Д . Л ан д ау и Е.М . Л и ф ш и ц , том IY
66
БОЗОНЫ
Г Л . II
к истинно нейтральным «элементарным» частицам. В аппарате
вторичного квантования это понятие описывается равенством
фс = ±ф]
(13.8)
знаки «+» и « —» отвечают зарядово-четным и зарядово-нечет
ным частицам.
В § 11 было указано, что релятивистская инвариантность дол
ж на означать также и инвариантность по отношению к 4-инвер
сии. По отношению к оператору скалярного (в смысле 4-пово
ротов) поля это значит, что при таком преобразовании должно
быть:
^
^
Ф(г,г) = Ф ( - г , - г)
всегда с одинаковым знаком «+» в правой стороне. В терми
нах преобразования операторов а р , Ьр превращение ?/>(£, г)
в
—г) достигается перестановкой в (13.4) коэффициентов
при е~грх и егрх, т. е. заменой
ар - > 6 +
6Р
—» йр
(13.9)
Заменяя a-операторы 6-операторами, это преобразование вклю
чает в себя взаимную замену частиц античастицами. Мы видим,
что в релятивистской теории естественным образом возникает
требование инвариантности по отношению к преобразованию, в
котором одновременно с пространственной инверсией (Р) и обра
щением времени (Т) производится также зарядовое сопряжение
('С ); это утверждение называют СРТ-теоремой :) .
В этой связи, однако, уместно подчеркнуть, что хотя изло
женные здесь и в § 1 1 , 12 рассуждения и представляются есте
ственным развитием понятий обычной квантовой механики и
классической теории относительности, но полученные таким пу
тем результаты выходят за их рамки как по форме (^-операторы,
содержащие одновременно операторы рождения и уничтожения
частиц), так и по существу (частицы и античастицы). Эти ре
зультаты нельзя поэтому рассматривать как чисто логическую
необходимость. Они содержат в себе новые физические принци
пы, критерием правильности которых может быть лишь опыт.
Если обозначить через i/jCFT(t, г) оператор (13.4), в котором
произведено преобразование (13.9), то можно записать:
ф СРГ(t, г) = $ ( - t , - г ) .
(13.10)
Сформулировав, таким образом, 4-инверсию как преобразо
вание (13.9), мы тем самым устанавливаем для ^-оператора так
же и формулировку преобразования обращения времени: вместе
х) Оно было сформулировано Людерсом ( G. Liiders, 1954) и Паули
( W. Pauli, 1955).
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я С, Р, Т
67
с преобразованием С Р (его называют комбинированной инвер
сией) оно должно давать (13.9) . Учитывая определения (13.3) и
(13.6), находим поэтому
Г : а р —> ± а 1 р ,
Ьр -> ±Ъ±р
(13.11)
(знаки «=Ь» отвечают таким же знакам в (13.3)). Смысл этого
преобразования вполне естествен: обращение времени не только
переводит движение с импульсом р в движение с импульсом —
—р, но также и переставляет начальные и конечные состояния в
матричных элементах; поэтому операторы уничтожения частиц
с импульсами р заменяются операторами рождения частиц с им
пульсами —р. Произведя в (13.4) замену (13.11) и переобозначив
переменную суммирования (р —>►—р), найдем, что :)
г) = ± ф +(- г , г).
(13.12)
Это равенство аналогично обычному правилу обращения вре
мени в квантовой механике: если некоторое состояние описыва
ется волновой функцией ?/>(£, г), то «обращенное по времени» со
стояние описывается функцией ?/>*(—£, г); переход к комплексно
сопряженной функции связан с необходимостью восстановить
нарушенный изменением знака t «правильный» характер зави
симости от времени (Е . P. Wigner, 1932).
Поскольку преобразование Т (а с ним и С Р Т ) переставляют
начальные и конечные состояния, то для них понятия собствен
ных состояний и собственных значений не имеют смысла. Они
не приводят поэтому к новым характеристикам частиц как тако
вых. О следствиях же, к которым они приводят в применении к
процессам рассеяния, будет идти речь в § 69, 71.
Рассмотрим, как меняется при преобразованиях (7, Р и Т опе
раторный 4-вектор тока
(12.8). Преобразование (13.2) вместе
с заменой (do,di)
(do, ~di) дает
Р : ( Л Tkr ^ ( j V l k - r ,
(13.13)
как и должно быть для истинного 4-вектора. Преобразование
(13.7) дало бы просто
(13.14)
если бы операторы ф и ф+ были коммутативны. Некоммутативность этих операторов возникает, однако, только от некоммутативности а р и а+ (или Ьр и 6 + с одинаковыми р; но в силу правил
1) Если определять операцию Т безотносительно к другим преобразовани
ям, то возникнет тот же произвол в выборе фазового множителя, который
имеется для операции С. Требование же симметрии С Р Т оставляет произ
вольным выбор фазового множителя лишь в одном из преобразований, С
или Т.
3*
68
БОЗОНЫ
Г Л . II
коммутации (11.4) перестановка этих операторов приводит лишь
к появлению членов, не зависящих от чисел заполнения, т. е. от
состояния поля. Отбрасывая (как и в (11.5),(11.6 )) эти члены,
как несущественные, мы вернемся к правилу (13.14), имеющему
естественный смысл: заменяя частицы античастицами, зарядо
вое сопряжение меняет знак всех компонент 4-тока.
Поскольку операция обращения времени связана с транспо
нированием начальных и конечных состояний, при применении к
произведению операторов она меняет порядок множителей. Так,
( ф+дц,ф)
= (дцф)
(ф+)
.
В данном случае, однако, это обстоятельство несущественно: в
силу коммутативности ^-операторов (в указанном выше смы
сле) возвращение к исходному порядку множителей не отража
ется на результате. Заметив также, что при обращении времени
(до,дг)
(—до, с?*), найдем правило преобразования тока:
т : ( A j)*,r ^ ( j V T U r .
(13.15)
Трехмерный вектор j меняет знак в соответствии с классическим
смыслом этой величины.
Наконец, при преобразовании С Р Т имеем
С Р Т : i f , j ) t>P ^ ( - j o ,
(13.16)
в соответствии со смыслом этой операции как 4-инверсии. Под
черкнем в этой связи, что поскольку 4-инверсия сводится к пово
роту 4-системы координат, по отношению к ней вообще не суще
ствует двух типов (истинных и псевдо) 4-тензоров любого ранга.
До сих пор мы подразумевали частицы свободными. Но ре
альный смысл квантовые числа четности приобретают лишь при
рассмотрении взаимодействующих частиц, когда с ними связы
ваются определенные правила отбора, разрешающие или запре
щающие те или другие процессы. Такой смысл, однако, могут
иметь только сохраняющиеся характеристики — собственные зна
чения операторов, коммутирующих с гамильтонианом взаимо
действующих частиц.
В силу релятивистской инвариантности коммутативным с га
мильтонианом должен во всяком случае быть оператор СРТ-иреобразования. Что же касается преобразований С и Т (а с ними и
Т) по отдельности, то опыт показывает, что электромагнитные и
сильные взаимодействия инвариантны по отношению к ним, так
что соответствующие квантовые числа четности в этих взаимо
действиях сохраняются. В слабом же взаимодействии эти законы
сохранения нарушаются 1) .
1) Идея о возможном несохранении четности в слабых взаимодействиях
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я С, Р, Т
69
Забегая несколько вперед, укажем, что оператор взаимодей
ствия заряженных частиц с электромагнитным полем дается про
изведением операторных 4-векторов Аж j. Поскольку зарядовое
сопряжение меняет знак j, то инвариантность электромагнитно
го взаимодействия по отношению к этому преобразованию озна
чает, что должен изменяться также и знак А. Другими словами,
фотоны — зарядово-нечетные частицы.
Указанное поведение операторов А находится в соответствии
со свойствами 4-потенциала в классической теории. Действитель
но, из преобразований
С:
Р :
СРТ :
следует:
Т : (Л0, А) — (Л 0 , —A )_ tjr,
что и отвечает классическому правилу преобразования потенци
алов электромагнитного поля при обращении времени.
Требование СРТ-инвариантности не накладывает каких-ли
бо ограничений на свойства частиц самих по себе. Оно приводит,
однако, к определенной связи между свойствами частиц и ан
тичастиц. Сюда относится, прежде всего, равенство масс тех и
других, — это ясно уже из изложенной в § 11 связи между 4-инверсией и самим происхождением понятия о частицах и антича
стицах.
Далее, из С Р Т -инвариантности следует, что коэффициенты
пропорциональности между векторами электрического и магнит
ного моментов и вектором спина различаются у частицы и ан
тичастицы лишь знаком. Действительно, магнитный момент ме
няет знак при С- и Т-преобразованиях и (будучи аксиальным
вектором) Р -инвариантен. Поэтому преобразование С Р Т , пре
вращая частицу в античастицу, в то же время не меняет знак
магнитного момента; вектор же спина меняет знак. То же самое
относится к электрическому моменту, остающемуся неизменным
при обращении времени и меняющему знак при (7-преобразова
нии и (по свойствам полярного вектора) при пространственной
инверсии.
Требования же Р- или Т-инвариантности (если таковые со
блюдаются) ограничивают свойства уже каждой из частиц: они
была впервые высказана Ли и Янгом (Т. D. Lee,С. N. Yang, 1956). Еще
раньше общая мысль о необязательности Р- и Т -инвариантности физиче
ских законов была высказана Дираком (1949).
70
БОЗОНЫ
Г Л . II
запрещают существование у частицы электрического дипольного
момента. Действительно, единственный вектор, который можно
построить для покоящейся элементарной частицы из ее ^-опера
торов,— это вектор оператора ее спина. Этот вектор P -четен и
Т -нечетен; он может поэтому определять только магнитный, но
не электрический момент. Подчеркнем, что для этого запрета до
статочно требования уже лишь одной Р - или Т -инвариантности.
Задача
Определить зарядовую и пространственную четности системы, состоя
щей из частицы со спином 0 и ее античастицы, с орбитальным моментом I
относительного движения.
Р е ш е н и е . Перестановка координат частиц эквивалентна инверсии
(относительно центра инерции) и поэтому умножает орбитальную функцию
на (—I) 1; перестановка зарядовых переменных эквивалентна зарядовому со
пряжению и умножает «зарядовый» множитель в волновой функции на ис
комое С. Из условия С ( —I) 1 = 1 имеем
С = ( - 1 ) г.
Пространственная четность системы Р есть произведение орбитальной чет
ности и внутренних четностей обеих частиц. Поскольку внутренние четно
сти частицы и античастицы одинаковы, то в данном случае Р совпадает с
орбитальной четностью: Р = ( - 1 ) 1.
§ 14. В олновое уравнение дл я частицы со спином
1
Частица со спином 1 описывается в ее системе покоя трехком
понентной волновой функцией — трехмерным вектором (о такой
частице часто говорят как о векторной). По своему четырех
мерному происхождению это могут быть три пространственные
компоненты 4-вектора ф^ (пространственноподобного) или же
смешанные компоненты антисимметричного 4-тензора второго
ранга ф^и, у которых в системе покоя обращается в нуль времен
ная (ф°) и пространственные (фгк) компоненты 1) .
Волновое уравнение — дифференциальная связь между вели
чинами ф^, ф^и — устанавливается соотношениями, которые мы
запишем в виде
гф^и = РцФи ~ %фц,
= р"Ф^1
(14.1)
(14.2)
1) Забегая вперед, укажем, что совокупности 4-вектора фц, и 4-тензора
отвечает совокупность четырехмерных спиноров второго ранга
причем
и
— симметричные спиноры, переходящие друг в друга при
инверсии (см. § 19).
В О Л Н О В О Е У РА В Н ЕН И Е Д Л Я Ч А С Т И Ц Ы СО СП ИН О М 1
71
где р = id (А. Ргоса, 1936). Применив к обеим сторонам урав
нения (14.2) операцию
получим (ввиду антисимметрично
сти фпр)
Г Ф » = 0.
(14.3)
Из (14.1, 14.2) можно исключить ф ^ , подставив первое урав
нение во второе. Учитывая (14.3), получаем
(р2 - т 2) ^ = 0,
(14.4)
откуда снова (ср. § 10) видно, что т — масса частицы. Таким
образом, свободную частицу со спином 1 можно описывать все
го одним 4-вектором ф^, компоненты которого удовлетворяют
уравнению второго порядка (14.4), а также и дополнительно
му условию (14.3), исключающему из ф^ часть, принадлежащую
спину 0 .
В системе покоя, где ф^ не зависит от пространственных ко
ординат, найдем, что р®фо — 0. Поскольку в то же время р®фо —
= тфо, мы видим, что в системе покоя
= 0 , как и должно
быть. Вместе с
обращаются в нуль также и ф^.
Частица со спином 1 может обладать различной внутренней
четностью — в зависимости от того, является ли ф^ истинным
вектором или псевдовектором. В первом случае
Рф» = (^°,
,
а во втором
РГ = {-Ф°,Ф1)Уравнения (14.1),(14.2) могут быть получены из вариацион
ного принципа с лагранжианом:
L = ( 1 / 2 ) ф ^ ф ^ - ( 1 / 2 ) ф ^ ( д ^ ф „ - д„ф^) -
- (1/2) ^ ( ^ С - дрф1) + т 2ф ^ * . (14.5)
Роль независимых обобщенных координат играют в нем фц, ?/>*,
Д ля нахождения тензора энергии импульса формула (10.11)
в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к
несимметричному тензору, который нуждался бы еще в допол
нительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться
формулой
1 гр
/—- _
д дл/ ^ g L
дл/ ^ g L
(лла\
1) Если бы мы производили варьирование только по ф^ (предполагая зара
нее
выраженными через ф^ согласно (14.1)), то уравнение (14.3) должно
было бы вводиться как дополнительное условие, не связанное с вариацион
ным принципом.
72
БОЗОНЫ
Г Л . II
в которой предполагается, что L выражено в виде, относящемся
к произвольным криволинейным координатам (см. II, § 94). Если
L содержит только компоненты самого метрического тензора g^v
(но не их производные по координатам), то формула упрощается:
гп _
2 длУ—g L _0 d L
j
^ - y=g dg„ - z dg„
(напомним, что d ln g = —g^ydg^y).
Поскольку дифференцирование в формуле (14.6) производит
ся не по величинам ф^, ф
при ее применении необязательно
считать эти величины независимыми; можно сразу воспользо
ваться связью (14.1) и переписать лагранжиан (14.5) в виде
L = ( - 1/ 2 )
•
(14.7)
Тогда
Т^и =
Ф»Х* -
+ т2
+ Ф1Фц) +
+ gfU/ ( ( 1 / 2 ) фХрфхР* - т 2ф*хфх) .
(14.8)
В частности, плотность энергии дается существенно положитель
ным выражением
Too = ( 1 / 2 ) Фгк44 + Ф0гФ*01 + ГП2 (ф0Ф*0 + ФгФ*) ■
(14.9)
Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением
f = i (ф^*фу - ф ^ф 1) .
(14.10)
Его можно найти согласно формуле (12.12) дифференцировани
ем лагранжиана (14.5) по производным д^фу. В частности,
3° = г ( ф 0к*фк - ф 0кф1)
(14-11)
и не является существенно положительной величиной.
Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме
V = l:
Ф» = ~ ^ u^ e iPXi и^ * = _ 1>
(14.12)
где
—единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в
силу (14.3)) условию четырехмерной поперечности
= 0.
(14.13)
Действительно, подставив функцию (14.12) в (14.9) и (14.11), по
лучим
Too = ~2е2ф ^ * = £}
j° = 1 .
В противоположность фотону векторная частица с ненуле
вой массой имеет три независимых направления поляризации.
Соответствующие им амплитуды см. (16.21).
В О Л Н О В О Е У РА В Н ЕН И Е Д Л Я Ч А С Т И Ц Ы СО СП ИН О М 1
73
Поляризационная матрица плотности для частично поляри
зованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы
в чистом состоянии она сводилась к произведению
Р/ll/ =
(аналогично выражению (8.7) для фотонов). Согласно (14.12),
(14.13) она удовлетворяет условиям
= 0.
р» = - ! •
(14-14)
Д ля неполяризованных частиц матрица р ^ должна иметь вид
аёци + bpypv. Определив коэффициенты а и b из (14.14), найдем
в результате
■
(14.15)
Квантование поля векторных частиц производится аналогич
но скалярному случаю, и нет необходимости повторять заново
все рассуждения, ^-операторы векторного поля имеют вид
а* = Е ^
ра
= Е
(ар«“!?,е " '“
+ Ч Л а>' е'р г]
(14.16)
- ж { 4 A a,‘ ^ + к А ° )е~',а )
•
%/2е
ра
где индекс а нумерует три независимые поляризации.
Положительная определенность выражения (14.9) для Too и
неопределенность j° (14.11) приводят, как и в скалярном случае,
к необходимости квантования по Бозе.
Существует тесная связь м еж ду свойствами истинно ней
трального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное
векторное поле описывается эрмитовым ^-оператором:
А* = Е ^ (гр«Ч“1е""“ +
РСК
Лагранжиан этого поля
^ = \
■
- \ v u(дцфи - дуфц) + ^ т 2фцф1'1.
(14.17)
(14.18)
Электромагнитному полю отвечает случай т = 0. При этом
4-вектор ф^ становится 4-потенциалом
а 4-тензор ф^р —тен
зором поля
, связанным с потенциалом определением (14.1).
Уравнение(14.2) превращается в дрф ^ = 0, что соответствует
второй паре уравнений Максвелла. Из него уже не следует усло
вие (14.3), которое, таким образом, перестает быть обязатель
ным. Ввиду отсутствия дополнительного условия нет необходи
мости рассматривать в лагранжиане ф^ и ф ^ как независимые
74
БОЗОНЫ
Г Л . II
«координаты», и лагранжиан (14.18) сводится к
L = - ( 1 /4 ) ф ^
(14.19)
в согласии с известным классическим выражением лагранж иа
на электромагнитного поля. Этот лагранжиан, вместе с тензором
инвариантен по отношению к произвольному калибровочно
му преобразованию «потенциалов» ф^. Ясно видна связь этого
обстоятельства с нулевой массой: лагранжиан (14.18) не облада
ет этим свойством благодаря члену т 2ф^ф^.
§ 15. В олновое уравнение дл я частиц
с высш ими целы ми спинами
Поскольку волновые уравнения (14.3, 14.4) следуют непосред
ственно из задания массы и спина частицы, практическое ис
пользование лагранжиана сводится не столько к выводу этих
уравнений, сколько к построению выражений для энергии, им
пульса и заряда поля.
Д ля этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вме
сто (14.5) выражением (14.7), а последнее можно преобразовать
еще дальше. Использовав (14.1), переписываем (14.7) в виде
L = ~ (дМ (^ФП + {диф;) (д»фр) + т2фцф^* =
- {д„Ф1) (д»ФП+ ш2ф;ф** + ди
- Ф1П Г В силу (14.3) последний член обращается в нуль, а предпослед
ний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан
L' = - (дцф*) {д^фи) + т 2ф1ф
(15.1)
Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан (10.9) частицы
со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра ф на 4-вектор фц
и общим знаком. Последнее связано с тем, что фц — простран
ственноподобный вектор, так что фцф^* < 0 , в то время как для
скалярной частицы фф* > 0 .
Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с
помощью лагранжиана (15.1), то мы получим выражения того
же вида, что и выражения ( 1 0 . 1 2 ) и (10.18) для скалярного поля:
2 V = - д ^ ф х* ■дифх - дифх* • д^фх - L'g
(15.2)
in = -* \ф\дцфх - (дцФ*\) Фх •
(15.3)
Их отличие от (14.8) и (14.10) тоже сводится к полным произ
водным. Но локальные значения этих величин не имеют (как
ЧАСТИЦЫ С ВЫ СШ ИМ И ЦЕЛЫ М И СПИНАМИ
75
уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Су
щественны лишь объемные интегралы Р^ (10.15) и Q (10.19),
которые будут совпадать при обоих выборах T^v и j
Такой способ описания непосредственно обобщается на части
цы с произвольным (целым) спином. Волновая функция части
цы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор,
симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль
при упрощении по любой паре индексов:
Ф..ф...и... = Ф...и...ц...,
= 0-
(15.4)
Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию
4-поперечности:
Р»Ф...»... = о,
(15.5)
а каж дая из его компонент — уравнению второго порядка:
(р 2 —ш 2)^... = 0.
(15.6)
В системе покоя условие (15.5) приводит к обращению в нуль
всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0 . Д ру
гими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нере
лятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводи
мому 3-тензору ранга s, число независимых компонент которого
равно 25 + 1 .
Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для по
ля частиц со спином s отличаются от (15.1)—(15.3) лишь заменой
Фх на
Нормированная плоская волна:
ф ^ - = ^ u ^ - e ~ ipx,
= -1 ,
(15.7)
причем амплитуда волны удовлетворяет условиям
и"ф '"Рц = 0.
(15.8)
Имеется 2s + 1 независимых состояний поляризации.
Квантование поля производится очевидным обобщением слу
чаев спина 0 или 1 .
Изложенная схема вполне достаточна для поставленной це
л и — описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить
задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным
полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в ла
гранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получе
ны без необходимости постановки дополнительных условий. Од
нако фактически оказывается, что такое описание взаимодей
ствия применимо только для электронов — частиц со спином 1 / 2
(см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь
лишь методический интерес.
76
БОЗОНЫ
Г Л . II
Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов s > 1 ока
зывается невозможным сформулировать вариационный принцип
с помощью одной только функции (тензорной или спинорной),
ранг которой соответствует данному спину. Д ля этой цели ока
зывается необходимым ввести в качестве вспомогательных так
же тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При
этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти вспомо
гательные величины автоматически обращались в нуль в силу
следующих из вариационного принципа уравнений поля свобод
ных частиц : ) .
§ 16. С пиральны е состояния частицы 2)
В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s
движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности.
Сохраняется лишь полный момент j = 1 + s. Не сохраняется
поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление
(ось z), и поэтому эта величина не может служить для пере
числения поляризационных (спиновых) состояний движущейся
частицы.
Сохраняется, однако, проекция спина на направление им
пульса: поскольку 1 = [гр], то произведение sn совпадает с со
храняющимся произведением j n (п = р /|р |) . Эту величину на
зывают спиралъностъю 3) (мы уже рассматривали ее для фото
на в § 8 ). Ее собственные значения будем обозначать буквой А
(А = —s , . . . , + s), а состояния частицы с определенными значе
ниями А будем называть спиральными состояниями.
Пусть фр\ — волновая функция (плоская волна), описываю
щая состояние частицы с определенными р и А, а и ^ ( р ) —ее
амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем ин
дексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тензорные индексы).
Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивист
ском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином при
ходится вводить волновую функцию с числом компонент, пре
вышающим 25 + 1 . Однако число независимых компонент при
этом остается равным 2s + 1 ; «лишние» компоненты устраня
ются наложением дополнительных условий, в силу которых эти
х)См. Fierz М.,Pauli Ж //Р г о с. Roy. Soc. — 1939. — V. А 173.- Р . 2 1 1 . В
этой работе указанная программа проведена для частиц со спином
и 2.
2) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или
полу целым) спином.
3) В английской литературе — helicity.
СПИРАЛЬНЫ Е СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
77
компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей
главе мы увидим это же для полуцелых s).
Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14)
спиральность инвариантна относительно преобразований Лорен
ца, не меняющих направления р, на которое проецируется мо
мент. Поэтому число А сохраняет при таких преобразованиях
свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симмет
рии спиральных состояний можно воспользоваться системой от
счета, в которой импульс |р| С ш (в пределе — системой покоя).
Тогда фрх сведется к нерелятивистской (2s + 1)-компонентной
волновой функции. Обозначим ее амплитуду через w ^ ( п), ука
зав в качестве аргумента направление п = р /|р |, вдоль которого
квантуется момент. Амплитуда w ^ — собственная функция опе
ратора п^:
n sw ^(n ) = X w ^(n)
(16.1)
В спинорном представлении w ^ —контравариантный симмет
ричный спинор ранга 2s; согласно формулам соответствия (57.2)
(см. III) его компоненты можно перечислять также по отвеча
ющим им значениям проекции спина а на фиксированную ось
г х) .
В импульсном представлении волновые функции рассматри
ваемых состояний совпадают в основном с амплитудами г^л)(р).
Именно:
^pA(k) =
(is —n) = ? /A)(p)(^ 2)(i/ —n),
(16.2)
где импульс как независимая переменная обозначен к, в отличие
от его собственного значения р, a is = к / |к |, в отличие от п =
= р/1 р | 2) . В нерелятивистском пределе
Фп\(v) =
(is)5 ^ (is —n) =
( n ) S ^ (is — n).
(16.3)
1) Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений Л)
относятся к частицам с отличной от нуля массой. Для частиц с нулевой
массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь
два значения Л = dzs. Последнее связано с упомянутым уже в § 8 обсто
ятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению
по отношению к группе аксиальной симметрии, допускающей только дву
кратное вырождение уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения
это означает, что при переходе к пределу т —»• 0 система уравнений для
частицы со спином s распадается на независимые уравнения, отвечающие
безмассовым частицам со спинами s, s — 1, . . . ). Так, для фотона Л = ± 1 , а
роль соответствующих w ^ играют трехмерные векторы
( 8 .2 ).
2) Здесь ^-функция 6 ^ определена так, что / 5 ^ (и — n) do„ = 1. В (16.2)
(и в аналогичном случае ниже, см. (16.4)) опущена ^-функция, обеспечива
ющая заданное значение энергии.
78
БОЗОНЫ
Г Л . II
Более подробно это выражение надо было бы написать в виде
Фп\(у, и) = W ^ (
- n),
где явно указана также и дискретная независимая переменная а.
Оператор спиральности sn коммутативен с операторами j z
и j 2. Действительно, оператор момента связан с бесконечно ма
лым поворотом системы координат, а скалярное произведение
двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту.
Поэтому существуют стационарные состояния, в которых части
ца обладает одновременно определенными значениями момента
j, его проекции j z = т и спиральности А. Будем называть такие
состояния сферическими спиральными состояниями.
Определим волновые функции этих состояний в импульсном
представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии
с полученными в т. III, § 103 формулами для волновых функций
симметричного волчка. Они были получены там на основании
формул для преобразования волновых функций при конечных
вращениях (см. III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны
только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; по
этому они применимы к функциям в импульсном представлении
в той же мере, как и к координатным функциям.
Наряду с фиксированной в пространстве системой координат
x y z (по отношению к которой записываются функции ^ -шл), вве
дем также «подвижную» систему
с осью £ вдоль направле
ния v. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср.
вывод формулы (103.8) (см. III)), напишем
Фзт\{ k) = Ф ^ ° \ т ^
где ф ^ — волновая функция в «подвижной» системе координат,
описывающая состояние частицы с определенным значением
("-проекции момента:
= А; в импульсном представлении эта
функция совпадает, очевидно, с амплитудой и^х\ Нормирован
ная (см. ниже) волновая функция
ф3тх( к) =
к).
(16.4)
Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со
следующей неоднозначностью. Поворот системы координат
относительно x y z определяется тремя углами Эйлера а , /3, 7 ;
направление же I/, от которого только и может зависеть волновая
функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов а =
= ►—и. Вектор v определяется двумя углами
►—v осуществляется заменой ip —>►
—У (р -\- тгу # — 7г —в. Тем самым фиксируется ось £, но остается
неопределенным положение осей £ и г/, зависящее также и от
третьего угла Эйлера 7 ; преобразование одних только в и ip не
дает возможности различать в этом смысле инверсию системы
координат от поворота оси £. В терминах всех трех углов Эйлера
инверсия есть преобразование
а = (р —У (р +
7г,
/3 = 0 —^ 7г — 0 ,
7
— 7г — 7 .
(1 6 .8 )
Поэтому, если D ^ ( i s ) определено согласно (16.5) (т. е. с 7 =
= 0 ), а замена v —>►—v подразумевается как результат инверсии,
то
D fj-v) =
+ тг, тг - 0, тг).
(16.9)
С помощью формул (58.9), (58.16), (58.18) (см. III) находим по
этому
=
=
(-1
или
D x i ( - v ) = ( - 1 ) - A^ l > )
(16.10)
(j — A — целое число).
Аналогичную формулу для спинора w ^ можно получить,
заметив, что его компоненты w►—I/, но и в умножении на
общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы),
который мы обозначим г/:
P w W (u) = rjww ( - u ) = ??( —l ) s- V “ A)(i/).
(16.13)
Д ля релятивистской же амплитуды u^^(k) это преобразование
запишется в виде
P ? /A)(k) = г]^икХ\ —к) = г)(—l ) s-A? /-A)(k),
(16.14)
где /3 — некоторая матрица, единичная по отношению к компо
нентам
остающимся в пределе |р| —>►0. Важно, что эта ма
трица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле
разница между (16.13) и (16.14) несущественна 1) .
Применив (16.14) к (16.2), получим закон преобразования
волновых функций состояний |пА):
Р ф п \ { " ) = ??(-l)S_AV,-n-A(^)(16.15)
Д ля сферических спиральных состояний, воспользовавшись
(16.10) и (16.12), получим закон преобразования:
Рф зт\{^) =
(16.16)
х) Так, для s = 1 амплитуды и ^ — 4-векторы (16.22); при этом /3 — полно
стью единичная матрица по 4-векторным индексам: /3^и = бци- Для s = 1/2
(как мы увидим в следующей главе) и ^ — биспинор; при этом фазовый мно
житель г] = г, а /3 — матрица Дирака 7 0 (см. (21.10)).
81
СПИРАЛЬНЫ Е СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
Состояния 'i/ijmo преобразуются, согласно (16.16), сами через
себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же А ^ 0, то
определенной четностью обладают лишь суперпозиции состоя
ний с противоположными спиральностями:
^jm\\\ =
i^jmX =Ь 'ijjjm—X) •
(16.17)
При инверсии они преобразуются сами через себя согласно
^ ча |И =
а|М (16-18)
Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе
классификацию состояний свободной частицы с заданным мо
ментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не
прибегая к понятию орбитального момента (использованного, на
пример, в § 6 , 7 для классификации состояний фотона).
В качестве примера рассмотрим случай спина 1. В системе
покоя амплитуды и ^ (4-векторы) сводятся к трехмерным век
торам
, которые и играют здесь роль амплитуд w ^ . Действие
оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой
(sie)*; = - i e ikiei
(16.19)
(см. III, § 57, задача 2). Поэтому уравнение (16.1) принимает вид
г[пе(л)] = Ае(л).
(16.20)
Его решения (в системе координат
с осью ( вдоль п) совпа
дают с циркулярными ортами (7.14) : ) :
= * ( 0 , 0 , 1 ),
е ^ 1) = т ^ ( 1 ,± * , 0 ).
(16.21)
В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спи
ральных состояний — 4-векторы
= ( 1н!, - е (0Л ,
\т
т
и {±1^ = (0 , е ^ 1)).
)
(16.22)
Если е — полярный вектор, то г/ = —1. Тогда функции (16.17)
(при s = 1 —трехмерные векторы) имеют следующие четности:
< |А |:
Р = ( - 1 )' .
ч 'й л г
Р
=
( - 1У + 1-
ФзтО • Р = ( —1 У ■
1) Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычис
ленные с помощью собственных функций (16.21) матричные элементы опе
раторов спина отвечали общим определениям в т. III, § 27, 107.
82
БОЗОНЫ
Г Л . II
Сравнивая с определением шаровых векторов (7.4), мы видим,
что эти функции тождественны (с точностью до фазовых мно
жителей) соответственно с Y ^ , Y ^ , Y ^ . Определив фазовые
множители (скажем, путем сравнения значений при 0 = 0 ), по
лучим следующие равенства:
у■jm
ё = р - 1У
^ ( е ( 1| в « + е (- » в “ т ) .
+ e• ~Сар-
(19-12)
Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия
означает преобразование (а 0 ,а) —>►(—а 0 ,а ), т. е. 4-псевдовектор
(трехмерный же вектор а аксиален).
Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинако
вого типа определяются законами преобразования:
Г /3 „ Г Н /5 + ^
„ щ Н . + щН&'
(19ЛЗ)
При инверсии они переходят один в другой:
^
-Пар-
(19Л4)
1) Подчеркнем, что законы преобразований (19.10) и (19.12), различающи
еся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их
сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примеч. на с. 92).
94
ФЕРМ ИОНЫ
Г Л . II I
Пара
образует биспинор второго ранга. Число его
независимых компонент равно 3+3 = 6 . Столько же независимых
компонент имеет антисимметричный 4-тензор второго ранга
.
Поэтому между тем и другим должно существовать определен
ное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимые
представления расширенной группы Лоренца).
Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спи
норы
и г]п р е о б р а з у ю т с я независимо, то и из компонент
4-тензора
могут быть составлены две группы величин, преоб
разующихся только друг через друга при всех поворотах
4-системы координат. Это разбиение осуществляется следующим
образом.
Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный акси
альный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора
согласно
Рх
I
C ly
Ру
“ О2
CLX
Pz\
-Z
0
S ( p ' a)
(1915)
/
((р, а) —краткое обозначение, которое мы будем применять для
перечисления компонент такого тензора). При этом а ^ = ( —р ,а ),
а из двух величин
ая 2
р —
— п 2 — - п
z
,
п ^ п аР
а р — Zfivpoа
ЯП — - Р
а
о
первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отно
шению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково
инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты
трехмерных векторов f ^ = р =Ь га. Это значит, что всякий пово
рот в 4-пространстве для векторов
эквивалентен «повороту» в
трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы
(шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три ком
плексных «угла поворота» трехмерной системы). Операция же
пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит
векторы f+ и —f друг в друга. Компоненты этих векторов и
составляют искомые две группы величин, образованных из ком
понент тензора a^v .
Тем самым становится очевидным также и соответствие меж
ду компонентами 4-тензора
и спиноров
Поскольку в
группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные
вращения, соотношения между компонентами спинора и компо
нентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для
95
И НВЕРСИЯ СПИНОРОВ
трехмерных спиноров:
f +, = U e - e r) ,
1
/
X —
-
( v 22 — ^ i i ) 5
t \ = U e + ( u ),
,
f
У —
2 (^22 +
^ii) 5
/ +, = « 12;
_
►(na)w '). Здесь п — орт вектора р,
a w — произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяю
щая лишь условию нормировки
w * w = 1.
(23.10)
Д ля й = и*7 ° (7
0
из (21.20)) имеем
й п = (у/е + т w*, —у/е — гп w*(ncr)),
р V ,_____
,
и -p = (у/е — т w *(шт), —у/е + гп w *)
23.11
и перемножением убеждаемся, что действительно й±ри±р = =Ь2 ш.
В системе покоя, т. е. при е = га, имеем
Up = л / 2 т ( ^ ) ,
и .р =
°
,
(23.12)
т. е. w представляет собой тот 3-спинор, к которому сводятся в
нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим,
что в биспиноре и - р обращаются в нуль в системе покоя пер
вые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравне
ния Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив
в (23.7) р = 0 и заменив е на —га, получим (р = 0 г) .
Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двух
компонентную величину. Другими словами, при заданном им
пульсе существует два различных независимых состояния в соот
ветствии с двумя возможными значениями проекции спина. При
этом, однако, проекция спина на произвольную ось 2 не может
иметь определенного значения. Это видно из того, что гамиль
тониан частицы с определенным р (т. е. матрица Н = а р + /Зга)
не коммутативен с матрицей
= —i a xa y . В соответствии со
сделанными в § 16 общими утверждениями сохраняется, однако,
спиральность А— проекция спина на направление р: гамильто
ниан коммутативен с матрицей n S .
Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых
трехмерный спинор w = w ^ (п) — собственная функция опера
тора пег:
i(n o -)w ;(A) = X w w .
(23.13)
Явный вид этих спиноров:
(А=1/2) = ( е ^ / 2 cos | \
(л=_ 1/2) = Г - е ^ / 2 sin | .
I ещ / 2 sin | J >
^ ei v/ 2 cos | Ь
I
)
х) В спинорном же представлении имеем £ = —ц вместо соотношения £ = 77,
справедливого в системе покоя для решений с «положительными частота
ми».
110
ФЕРМИОНЫ
Г Л . II I
где в и ср — полярный угол и азимут направления п относительно
фиксированных осей x y z : ) .
Другой возможный выбор двух независимых состояний сво
бодной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее на
глядный) отвечает двум значениям ^-проекции спина в системе
покоя; обозначим ее а. Соответствующие спиноры:
= ( J ) ,
w 1- " - 1' 1'
= ( J ) ■
(23.15)
В качестве же двух линейно независимых решений с «отрица
тельной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трех
мерные спиноры
= —G y W = 2a i w ^
(23.16)
(смысл такого выбора выяснится в § 26).
Можно найти такое представление плоской волны, в котором
в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она име
ет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям
той же физической характеристики — проекции спина в системе
покоя (L . Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950).
Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении
(23.9), ищем унитарное преобразование к такому представлению
в виде
ир = Uup,
U = е ^ 7П,
где W — вещественная величина; поскольку 7 + = —7 , при этом
автоматически ?7+= U ~l . Разлагая в ряд и учитывая, что (7 1 1 ) 2 =
= —1 , представим U в виде
U = cos W + 7 1 1 sin W
(ср. переход от (18.13) к (18.14)). Из условия, чтобы в преобразо
ванной амплитуде ир вторые две компоненты обратились в нуль,
найдем
tg w =
171 ~h £
так что
j j
_
т
(7 п )|р|
л/2е(е + т)
+
£
+
В новом представлении
u'p = V
( о ) •
(23Л7)
1) Решение уравнений (23.13) допускает умножение на произвольный фа
зовый множитель, что связано с возможностью произвольного поворота во
круг направления п.
111
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид
Н ' = U ( a p + fim jU -1 = /Зе
(23.18)
(все матрицы /3, а , 7 стандартного представления). Этот гамильтониан коммутативен с матрицей
которая в новом представлении является оператором сохраняю
щейся величины — спина в системе покоя.
§ 24. С ф ер и ческ и е волны
Волновые функции состояний свободной частицы (со спином
У2 ) с определенными значениями j момента представляют со
бой спинорные сферические волны. Определим их вид, для чего
напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивист
ской теории.
Нерелятивистская волновая функция есть 3-спинор ф = (^2) •
Д ля состояния с определенными значениями энергии £ (а с нею
и величины импульса р х) ), орбитального момента /, полного мо
мента j и его проекции т волновая функция имеет вид
Ф = Rpi(r)ttjlm(e, ф).
(24.1)
Ее угловая часть ftjim — трехмерные спиноры, компоненты ко
торых (для двух значений j = I =Ь У2 , возможных при данном I)
даются формулами
1/2
'
^ + 1/ 2 , l,m
\ \/ J 9 i
П
Ч —1 / 2 , 1, т
/ _ 1 79
1™
/
(24.2)
2.7+2 Yl , m - 1/2 \
= II V\ / J 2i+2
/ j + m + ly
Y
2j +2
(см. Ill, § 106, задача). Будем называть
ми. Они нормированы условием
J
1/2
-Ч т + 1/2
шаровыми спинора
do = 5jj/ 6ц/ Smmf.
(24.3)
Радиальные же функции R pi представляют собой общий мно
житель в обеих компонентах спинора ф и даю тся формулой
х) В этом параграфе р обозначает |р|.
112
ФЕРМИОНЫ
Г Л . II I
(33.10) (см. III):
R Pl = ^ J i + i / 2 ( p r ) .
(24.4)
Они нормированы условием
оо
J
г 2R p,iRpi dr = 2п8(р' - р ).
(24.5)
о
Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде
всего, что для движущейся частицы не существует раздельных
законов сохранения спина и орбитального момента: операторы
s' и 1 каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом.
По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) чет
ность состояния. Поэтому квантовое число I теряет смысл ука
зания на определенное значение орбитального момента, но им
определяется (см. ниже) четность состояния.
Условимся рассматривать искомую волновую функцию (би
спинор) в стандартном представлении: ф = ( р . По отношению к
вращениям ср и х веДУт себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая
зависимость дается теми же шаровыми спинорами £ljim. Пусть
(р ос Oj7m, где I — одно (определенное) из двух значений: j + 1/ъ
или j — 1/ 2 . При инверсии ►оо в каждом небольшом участке пространства сфе
рические волны (24.7) можно рассматривать как плоские с им
пульсом р = i p п. Поэтому ясно, что волновые функции в им
пульсном представлении отличаются от (24.10) в основном лишь
114
ФЕРМИОНЫ
Г Л . II I
отсутствием радиальных множителей и приданием п смысла на
правления импульса.
Д ля прямого перехода к импульсному представлению надо
произвести разложение Фурье:
ф(р') =
J
ф{г)е-{р'г (13х,
(24.11)
Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской
волны по сферическим (см. III, (34.3)):
ОО
е>Р,
I
/
ч
! W ;:)(24-12)
4 7
Представляя множитель е~гр г в (24.11) в виде такого разложе
ния и учитывая (24.5), для компонент Фурье функции
=
^
Y
, T
,
‘Ч - М Щ
l=0m=-l
ф(г) = R pi(r)Q,jim { ^ j
получаем,
(27.3)
одинаковому для ф(э) и ф(п). Произведение же ф(э)ф(п) меняет
знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со
своей античастицей (см. § 1 2 ). ^-оператор поля таких частиц
удовлетворяет условию
= $ c (t, г).
Д ля частиц со спином 1/ъ это означает условия (в спинорном
представлении) 1)
С = -irf+ ,
щ = -* f+
(27.4)
Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо ф и
зические свойства, эти условия инвариантны относительно пре
образования С Р Т 2) . Легко проверить, что фактически они ин
вариантны не только по отношению к С Р Т 1 но и по отношению
к каждому из трех преобразований в отдельности.
х) В представлении же Майораны истинная нейтральность означает просто
эрмитовость оператора ф' (см. задачу к § 26).
2) Точнее, преобразование С Р Т должно быть определено в данном случае
так, чтобы оставлять инвариантными соотношения типа (27.4). Это достиг
нуто соответствующим выбором фазового множителя в определении матри
цы U t ( с м . примеч. на с. 1 2 1 ) .
ВН УТРЕН НЯЯ СИМ М ЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ
125
Мы условились в § 19 определять инверсию спиноров как пре
образование, для которого Р 2 = —1, и до сих пор следовали это
му определению. Легко видеть, что полученный выше результат
об относительной четности частиц и античастиц не зависит, как
и должно быть, от способа определения инверсии.
Если инверсия определена условием Р 2 — 1, то вместо (27.1)
будет
Р :
—у г)а,
г]а —У
(27.5)
Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по
закону
Г*
-С
fl%
отличающемуся от (27.5) знаком. Соответственно этому трехмер
ные спиноры Ф будут преобразовываться согласно
ф(э)«
ф(э) 0 ) или антипараллельная
(£ц < 0) импульсу частицы. В частности, для спирального со
стояния частицы £ц = 2 А = ± 1 ; при этом матрица плотности
принимает особенно простой вид:
р = -1( 7р ) ( 1 ± 2 Х 7 ь),
(29.22)
совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности
нейтрино или антинейтрино — частицы с нулевой массой и опре
деленной спиральностью (см. § 30).
§ 30. Д вухк ом пон ен тн ы е ф ерм ионы
Мы видели в § 20, что необходимость описания частицы со
спином У2 двумя спинорами (£ и г/) связана с массой частицы.
Эта причина отпадает, если масса равна нулю. Волновое урав
нение, описывающее такую частицу, может быть составлено с
помощью всего одного, скажем пунктирного, спинора г/:
р а%р = 0 ,
(30.1)
или, что то же,
(ро + Р х 2, то оба значения 7 из (36.2) —мни
мые. Соответствующие решения при г —>►0 осциллируют (как
г - 1 cos(I7 I In г)), что снова отвечает, как уже было объяснено вы
ше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения»
на центр. Так как к 2 ^ 1, это значит, что чисто кулоново поле
можно рассматривать в теории Дирака лишь при Z a < 1, т. е.
Z < 137.
Остановимся на качественном описании ситуации, возникаю
щей при Z > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в
граничном условии при г = 0 , следует рассматривать потенци
ал, обрезанный на некотором расстоянии г о (И . Я. Померанчук,
Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный,
но и прямой физический смысл. Заряд Z > 137 фактически мо
жет быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре
конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется располо
жение уровней с увеличением Z при заданном tq.
В «необрезанном» кулоновом поле энергия е\ нижнего уров
ня обращается при Z a = 1 в нуль и кривая зависимости е\ (Z)
обрывается — при Z a > 1 уровень е\ становится мнимым (см.
(36.10)). В «обрезанном» же поле, при заданном г о ф 0, уро
вень Е\ проходит через нуль лишь при некотором Z a > 1. Но
значение Е \ — 0 никак не выделено физически, а при г о ф 0
оно ничем не выделено и формально — кривая зависимости е \ (Z)
здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни про
должают понижаться, и при некотором «критическом» значении
Z = Z c(r 0 ) энергия е 1 достигает границы (—га) нижнего конти
нуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе,
это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рожде
ния свободного позитрона. Поэтому критическое значение Z c —
это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро
при заданном гоПри Z > Z c уровень е\ < —га и становится энергетически вы
годным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны
уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2 (|£i| —
—га), а два электрона заполняют уровень Е \ . В результате обра
зуется «ион» с заполненной i f -оболочкой и зарядом Z 3ф = Z —2
(С. С. Герштейн,Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива
при Z > Z c, вплоть до значений Z, когда границы —га достигнет
следующий уровень : ) .
Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса го =
= 1,2 • И Г 12 см, критическое значение Zc = 170, а следующий уровень до
стигает границы —т при Z = 185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение
количественной теории — см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича и В. С. По
пова (УФН.— 1971. - Т. 105. - С. 403).
161
ДВ И Ж ЕН И Е В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ
Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход
потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиаци
онных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам
~ а к значению Z ca.
Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения
(G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
Д искретны й спектр ( е < т ) . Будем искать функции / и
g в виде
/ = V m + ee“p/V _1(Qi + Q 2),
g = - л / т - ee~p/2p1~1(Qi - Q2),
где введены обозначения
р = 2Аг,
А = у / т 2 —£2,
7
= д /х 2 —Z 2a 2.
(36.4)
Такая форма представляется естественной ввиду известного уже
нам поведения функций при р —>►0 (36.2) и их экспоненциального
затухания (~ е~р/ 2) при р —>►оо. Поскольку при р —>►оо первое
равенство (35.9) должно выполняться и в случае кулонова поля,
следует ожидать, что при р —>►оо будет Qi
Q2 Подставив (36.3) в (35.4), получим уравнения
p (Q i+ $ 2 / + (т + x )(Qi + Q 2 ) —PQ2 + Z a \у[ -ш—^
—(Qi — Q 2 ) = 0 ,
+ s
p(Qi — £?2)7+ (7 — x )(Qi ~ Q2) + PQ2 — Z a \ f —
у m —£
( Qi + Q2) — 0
(штрих означает дифференцирование по р ). Их сумма и разность
дают
p Q\
+
(7
-
Qi + ( * -
Q2 = о,
(36.5)
р►оо как ер, а с ними будет возрастать — как ер/ 2 — и вся вол
новая функция). Функция F(a,f3,z) сводится к полиному, если
параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обо
значим
7
—Z a e / А = —п г.
(36.8)
Если п г = 1 , 2 , . . . , то обе гипергеометрические функции сводят
ся к полиномам. Если же п г = 0, то сводится к полиному лишь
одна из них. Но равенство п г = 0 означает, что 7 = Z a e / А, и
тогда, как легко проверить, Z a m / X = \н\. Если к < 0, то коэф
фициент В (36.7) обращается в нуль, так что Q 2 = 0, и требуемое
условие не нарушается. Если же ус > 0, то i? = —А, и Q 2 остается
при п г = 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы
следующие значения квантового числа п г \
_ ( 0 , 1 , 2 , .. .
Пг “ \ 1 , 2 , 3, . ..
при
при
х <
х >
0;
0.
, , fi qx
Из определения (36.8) находим теперь следующее выражение
для дискретных уровней энергии:
-
1/2
£
(36.10)
(^/х 2 - (Z ol) 2 + пг)
т
В частности, энергия основного уровня ls y 2 (|х | = 1, п г = 0):
£1
= Т1Пу / 1 — (Z a )2.
При Z a е~Лг(2Лг)7+11г- 1.
Г(пг
+ 2 7
+
1)
Сравнив эту формулу с выражением (36.22), которое будет най
дено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы,
выпишем окончательные выражения для нормированных волно
вых функций:
+ (2 А)3/2
(ш + s)T(27 + nr + 1)
Г(27 + 1) 4т (Z a m / X ) (Z a m / X — к) пг \
/1
ё J
|
^
^ ( _ Пг5 2 7
1/2
(2Лг)7 _ 1 е_Аг х
+ 1, 2Ar) =F n rF( 1 - n r, 2 7 + 1, 22 ;A r)|
(36.11)
(верхние знаки относятся к / , нижние — к g).
Н епреры вны й спектр ( е > т ) . Нет необходимости заново
решать волновое уравнение для состояний непрерывного спек
тра. Волновые функции этого случая получаются из функций
дискретного спектра заменой :)
у/т — е
—i y/ e — га,
А —>►—ф ,
(36.12)
Р
(о выборе знака при аналитическом продолжении корня у/т — е
см. т. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нор
мировка функций.
1) Ниже в этом параграфе р обозначает
6*
—п г —>►7 —
|р| = у/е2 —т2.
164
Ч А С Т И Ц А ВО В Н Е Ш Н Е М П О Л Е
Г Л . IV
Проделав в (36.11) указанную замену, представим функции /
и g в виде
Д
g J
= y e + rn 1
*л/е — т J
^ , ефг(
)7_i х
х [егИ 7 —«V, 2 7 + 1 , —2ipr) =F е Z^ F (7 + 1 —«V, 2 7 + 1 , —2 фг)],
где А 7 — новая нормировочная постоянная и введены обозначе
ния
Zas
—2г£
7 -гУ
(36.13)
р
к —i v m / s
(величина £ вещественна, поскольку 7 2 + (Z a e / p ) 2 =
+ (Z a m / p )2).
Согласно известной формуле
F ( a , /3, 2:) = ezF(f3 — а , /3, —2 )
(см. Ill, (d. 10)) имеем
х2 +
F ( 7 + 1 - гг/, 2 7 + 1, - 2 i p r ) = e ~ 2 i p r F {7 + «V, 2 7 + I, 2 ф г ) =
_ е~ 2 г р г р ^ 2^у +
1 5 —2 ф г),
поэтому
g |
— 2 i A 1у/е
± ш (2]9г)7 - 1 ^
| e ^ pr+ ^ F (7 —
«V, 2 7 +
1 , —2 ф г ) | .
(36.14)
Нормировочный коэффициент А 7 определяется сравнением
асимптотического выражения для этой функции с общей фор
мулой (35.7) для нормированной сферической волны. Выпишем
сразу получающееся таким образом выражение для волновых
функций непрерывного спектра (и затем проверим его) : ) :
/1
