УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31
Л 22
Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. К урс теоретической ф и
зики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. III. К вантовая механика
(нерелятивистская теория). —6-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 800 с. - ISBN 5-9221-0530-2.
Шестое издание третьего тома курса теоретической физики, за
служившего широкую известность в нашей стране и за рубежом.
Книга содержит систематическое изложение основ нерелятивистской
квантовой механики и наиболее существенные приложения теории к
разнообразным физическим задачам.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в
области теоретической физики.
Учебное издание
ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
К У Р С Т Е О Р Е Т И Ч Е С К О Й Ф И ЗИ К И
Том III
К вантовая механика (нерелятивистская теория)
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Л Р № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 26.07.04. Формат 6 0 x 9 0 /1 6 .
Б умага офсетная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 50. У ч.-изд. л. 48.
Заказ №
Издательская ф ирм а «Ф изико-математическая литература»
МАИ К «Н аука/И нтерпериодика»
117997, Москва, ул. П роф сою зная, 90
E-mail: fizm at@ m aik.ru, fmlsale@maik.ru
ISBN 5-9221-0530-2
http: / / www.fm l.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@ votel.ru h ttp ://w w w .v o lo g d a /~ p fp v
9 78 5 9 2 2 105309
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора к четвертому и зд а н и ю ...........................................
Предисловие к третьему и з д а н и ю ....................................................................
Из предисловия к первому и з д а н и ю .................................................................
Некоторые о б о з н а ч е н и я ..........................................................................................
9
9
10
12
Г л а в а I. Основные понятия квантовой механики
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Принцип неопределенности ....................................................................
Принцип с у п е р п о з и ц и и ...............................................................................
О п е р а т о р ы ........................................................................................................
Сложение и умножение операторов
..................................................
Непрерывный с п е к т р ..................................................................................
Предельный переход ..................................................................................
Волновая функция и измерения
.........................................................
13
19
22
28
32
37
39
Г л а в а II. Энергия и импульс
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Гамильтониан .................................................................................................
Д иф ф еренцирование операторов по времени ................................
Стационарные состояния
........................................................................
М а т р и ц ы ...........................................................................................................
Преобразование матриц ...........................................................................
Гейзенберговское представление операторов
................................
М атрица п л о т н о с т и ......................................................................................
Импульс ............................................................................................................
Соотношения неопределенности
.........................................................
44
45
47
51
57
60
61
65
70
Г л а в а III. Уравнение Шредингера
17. Уравнение Ш редингера ...........................................................................
74
18. Основные свойства уравнения Ш р е д и н г е р а ....................................
77
19. Плотность п о т о к а ..........................................................................................
81
20. Вариационный принцип ...........................................................................
84
21. Общие свойства одномерного д в и ж е н и я ...........................................
87
22. Потенциальная я м а ......................................................................................
91
23. Линейный осциллятор ...............................................................................
95
24. Д виж ение в однородном п о л е .................................................................103
25. К оэф ф ициент п р о х о ж д е н и я .................................................................... 105
Г л а в а IV. Момент импульса
26.
27.
28.
29.
30.
31.
М омент и м п у л ь с а ..........................................................................................112
Собственные значения м о м е н т а ............................................................. 116
Собственные функции м о м е н т а ............................................................. 121
М атричные элементы в е к т о р о в ............................................................. 124
Четность с о с т о я н и я ...................................................................................... 129
Сложение моментов
.................................................................................. 132
Г л а в а V. Движение в центрально-симметричном поле
32. Д виж ение в центрально-симметричном поле ................................ 136
33. Сферические волны
.................................................................................. 140
34. Разлож ение плоской волны .................................................................... 147
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
35. Падение частицы на центр
.................................................................... 150
36. Д виж ение в кулоновом поле (сферические координаты)
. . . 154
37. Д виж ение в кулоновом поле (параболические координаты)
. 166
Г л а в а V I. Т е о р и я в о з м у щ е н и й
........................................... 171
38. Возмущ ения, не зависящ ие от времени
39. Секулярное уравнение ...............................................................................177
40. Возмущ ения, зависящие от времени .................................................. 182
41. Переходы под влиянием возмущения, действующ его в течение
конечного времени ...................................................................................... 186
42. Переходы под влиянием периодического в о з м у щ е н и я .............. 193
43. П ереходы в непрерывном спектре
......................................................196
44. Соотнош ение неопределенности для энергии ................................ 199
45. Потенциальная энергия как возмущ ение
....................................... 203
Г л а в а V II. К в а з и к л а с с и ч е с к и й с л у ч а й
46. Волновая ф ункция в квазиклассическом случае ......................... 208
47. Граничные условия в квазиклассическом с л у ч а е ......................... 212
48. Правило квантования Б о р а -З о м м е р ф е л ь д а ....................................215
49. Квазиклассическое движ ение в центрально-симметричном по
ле ..........................................................................................................................222
50. П рохож дение через потенциальный барьер ....................................226
51. Вычисление квазиклассических матричных элементов . . . . 232
52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае
..................239
53. П ереходы под влиянием адиабатических в о з м у щ е н и й .............. 244
Г л а в а V III. С п и н
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Спин ...................................................................................................................249
Оператор с п и н а ............................................................................................. 254
С п и н о р ы ............................................................................................................258
Волновые функции частиц с произвольным с п и н о м ..................262
Оператор конечных вращений
............................................................. 269
Частичная поляризация ч а с т и ц ............................................................. 275
Обращ ение времени и теорем а К рам ерса ....................................... 277
Г л а в а IX . Т о ж д е с т в е н н о с т ь ч а с т и ц
61.
62.
63.
64.
65.
Принцип неразличимости одинаковых частиц
.............................281
Обменное взаимодействие ........................................................................285
Симметрия по отнош ению к п е р е с т а н о в к а м ....................................290
Вторичное квантование. Случай статистики Б озе ......................298
Вторичное квантование. Случай статистики Ф е р м и ..................305
Г л а в а Х .
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
А том
Атомные уровни энергий
........................................................................309
Состояния электронов в атоме ............................................................. 311
Водородоподобны е уровни э н е р г и и ......................................................315
Самосогласованное п о л е ........................................................................... 317
Уравнение Т о м а с а - Ф е р м и ........................................................................321
Волновые функции внешних электронов вблизи я д р а .............. 328
Тонкая структура атомны х уровней .................................................. 329
Периодическая система элементов М е н д е л е е в а .............................334
Рентгеновские т е р м ы .................................................................................. 343
Мультипольные моменты
........................................................................345
Атом в электрическом поле .................................................................... 350
Атом водорода в электрическом поле
...............................................355
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Г л а в а X I. Д в у х а т о м н а я м о л е к у л а
78. Электронные термы двухатом ной молекулы ................................ 367
79. П ересечение электронны х термов
......................................................370
80. Связь молекулярных термов с а т о м н ы м и ....................................... 374
81. В а л е н т н о с т ь .................................................................................................... 378
82. К олебательная и вращ ательная структуры синглетных термов
двухатомной м о л е к у л ы ............................................................................... 386
83. Мультиплетные термы. Случай а
......................................................392
84. Мультиплетные термы. Случай Ъ ......................................................... 397
85. Мультиплетные термы. Случаи с и d ...............................................401
86. Симметрия молекулярных термов ......................................................404
87. М атричные элементы для двухатомной м о л е к у л ы ......................408
88. Л - у д в о е н и е ........................................................................................................ 412
89. Взаимодействие атомов на далеких р а с с т о я н и я х ......................... 416
90. П р е д и с с о ц и а ц и я ............................................................................................. 420
Г л а в а X II. Т е о р и я с и м м е т р и и
91. Преобразования симметрии .................................................................... 433
92. Группы преобразований ........................................................................... 436
93. Точечные г р у п п ы ..........................................................................................441
94. Представления г р у п п .................................................................................. 449
95. Неприводимые представления точечных г р у п п .............................459
96. Неприводимые представления и классификация термов
. . . 463
97. Правила отбора для матричных элементов ....................................466
98. Непрерывные группы
...............................................................................471
99. Двузначны е представления конечных точечных групп . . . . 476
Г л а в
100.
101.
102.
103.
104.
105.
а X III. М н о г о а т о м н ы е м о л е к у л ы
Классификация молекулярных колебаний
....................................481
Колебательные уровни э н е р г и и ............................................................. 488
Устойчивость симметричных конфигураций молекулы . . . . 491
Квантование вращения волчка ............................................................. 498
Взаимодействие колебаний и вращения м о л е к у л ы ......................508
Классификация молекулярных термов
........................................... 514
Г л а в а X IV . С л о ж е н и е м о м е н т о в
106.
107.
108.
109.
110.
З ^ -си м в о л ы ........................................................................................................ 523
М атричные элементы т е н з о р о в ............................................................. 532
6 ^ -с и м в о л ы ........................................................................................................ 536
М атричные элементы при сложении м о м е н т о в .............................543
М атричные элементы для аксиально-симметричных систем . 546
Г л а в а XV. Д в и ж ен и е в м агнитном пол е
111. Уравнение Ш редингера в магнитном поле
....................................550
112. Д виж ение в однородном магнитном поле ....................................... 554
113. Атом в магнитном поле
........................................................................... 559
114. Спин в переменном магнитном п о л е .................................................. 568
115. Плотность тока в магнитном поле ......................................................570
Г л а в
116.
117.
118.
119.
120.
а X V I. С т р у к т у р а а т о м н о г о я д р а
Изотопическая и н в а р и а н т н о с т ь ............................................................. 572
Ядерные с и л ы .................................................................................................578
М одель оболочек ..........................................................................................583
Н есферические ядра .................................................................................. 593
Изотопическое с м е щ е н и е ........................................................................... 600
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
121. Сверхтонкая структура атомны х у р о в н е й ....................................... 602
122. Сверхтонкая структура молекулярных уровней
......................... 606
Г л а в а X V II. У п р у г и е с т о л к н о в е н и я
123. Общая теория р а с с е я н и я ........................................................................... 609
124. И сследование общей формулы
............................................................. 614
125. Условие унитарности для рассеяния .................................................. 617
126. Формула Борна ............................................................................................. 622
127. Квазиклассический случай
.................................................................... 630
128. Аналитические свойства амплитуды р а с с е я н и я .............................635
129. Дисперсионное с о о т н о ш е н и е .................................................................... 642
130. А мплитуда рассеяния в импульсном п р е д с т а в л е н и и ..................645
131. Рассеяние при больш их э н е р г и я х ......................................................... 649
132. Рассеяние медленных частиц ................................................................ 657
133. Резонансное рассеяние при малых энергиях
................................ 666
134. Резонанс на квазидискретном уровне
...............................................674
135. Формула Р е з е р ф о р д а .................................................................................. 680
136. Система волновых функций непрерывного спектра ..................684
137. Столкновения одинаковых частиц ......................................................689
138. Резонансное рассеяние заряж енны х ч а с т и ц ....................................692
139. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами . . . . 697
140. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии ......................702
141. Полюсы Р едж е
............................................................................................. 708
Г л а в а X V III. Н е у п р у г и е с т о л к н о в е н и я
142. У пругое рассеяние при наличии неупругих п р о ц е с с о в .............. 716
143. Н еупругое рассеяние медленны х ч а с т и ц ........................................... 723
144. М атрица рассеяния при наличии р е а к ц и й ....................................... 726
145. Формулы Брейта и В и г н е р а .................................................................... 730
146. В заимодействие в конечном состоянии при реакциях .............. 739
147. П оведение сечений вблизи порога реакции ....................................742
148. Н еупругие столкновения быстрых электронов с атомами . . . 749
149. Э ф ф ективное т о р м о ж е н и е ........................................................................759
150. Н еупругие столкновения тяж елы х частиц с атомами .............. 764
151. Рассеяние нейтронов .................................................................................. 767
152. Н еупругое рассеяние при больших энергиях ................................ 772
М атем атич еские доп олн ен и я
a. Полиномы Эрмита ...................................................................................... 779
b . Функция Эйри
............................................................................................. 781
c. Полиномы Л е ж а н д р а .................................................................................. 784
d. Вы рожденная гипергеометрическая функция
.............................787
e. Гипергеометрическая функция ............................................................. 792
f. Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометрическими функциями
...................................................................................... 794
Предметный у к а за т е л ь ............................................................................................. 799
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТО РА К ЧЕТВЕРТОМ У
И ЗД А Н И Ю
В настоящем издании «Квантовой механики» исправлены
опечатки и неточности, замеченные с момента выхода третье
го издания. Внесены также небольшие уточнения и добавлено
несколько задач.
Я благодарен всем читателям книги, сообщившим мне свои
замечания.
Май 1988 г.
JI. JI. Питаевский
П РЕД И С Л О ВИ Е К Т РЕТЬ ЕМ У И ЗД А Н И Ю
Предыдущее издание этого тома было последней книгой,
над которой мне довелось работать совместно с моим учителем
Л. Д. Ландау. Произведенная в то время переработка и допол
нение книги были весьма значительными и коснулись всех ее
глав.
Естественно, что для этого нового издания потребовалась су
щественно меньшая переработка. Тем не менее добавлено (в том
числе в виде задач) заметное количество нового материала: он
относится как к результатам последних лет, так и к тем из бо
лее старых результатов, которые в последнее время привлекли к
себе повышенное внимание.
Феноменальное владение Львом Давидовичем аппаратом тео
ретической физики позволяло ему сплошь и рядом обходиться
без обращения к оригинальным работам для воспроизведения
тех или иных результатов своим путем. Это могло стать причи
ной отсутствия в книге некоторых необходимых ссылок; я по
старался в этом издании по возможности добавить их. В то же
время я добавил ссылки на самого Льва Давидовича в тех ме
стах, где излагаются результаты или методы, принадлежащие
ему лично и не публиковавшиеся в самостоятельном виде.
К ак и в работе над переизданием других томов этого Курса,
я имел помощь со стороны своих многочисленных товарищей,
10
ИЗ П РЕДИ С Л О ВИ Я К ПЕРВО М У ИЗДАН И Ю
указывавших мне как на допущенные ранее дефекты изложения,
так и на желательность тех или иных добавлений. Р яд полезных
указаний, учтенных в этой книге, я получил от А. М. Бродского,
Г. Ф. Друкарева, И. Г. Каплана, В. П. Крайнова, И. Б. Левинсона,
П. Э. Немировского, В. JI. Покровского, И. И. Собельмана, И. С.
Шапиро; всем им я хотел бы выразить свою искреннюю благо
дарность.
Вся работа над новым изданием этого тома произведена мной
при близком участии JI. П. Питаевского. В его лице мне посчаст
ливилось найти товарища по работе, прошедшего ту же школу
Ландау и воодушевленного теми же научными идеалами.
Институт ф изических проблем АН С ССР
Москва, ноябрь 1973 г.
Е. М. Лифшиц
И З П РЕД И С Л О ВИ Я К П ЕРВО М У И ЗД АН И Ю
Предлагаемый том Курса теоретической физики посвящен
изложению квантовой механики. Ввиду очень большого объе
ма относящегося сюда материала представилось целесообразным
разделить его на две части. Публикуемая первая часть содержит
нерелятивистскую теорию, а релятивистская теория составит со
держание второй части.
Под релятивистской теорией мы подразумеваем, в самом ши
роком смысле, теорию всех квантовых явлений, существенно за
висящих от скорости света. Соответственно этому в нее будет
включена не только релятивистская теория Дирака и связанные
с нею вопросы, но и вся квантовая теория излучения.
Наряду с основами квантовой механики в книге изложены
также и многочисленные ее применения — в значительно боль
шей степени, чем это обычно делается в общих курсах кван
товой механики. Мы исключали из рассмотрения, только такие
вопросы, исследование которых требовало бы существенным об
разом одновременного подробного анализа экспериментальных
данных, что неизбежно вышло бы за рамки книги.
Изложение конкретных вопросов мы стремились вести с наи
большей полнотой. В связи с этим мы считали излишними ссыл
ки на оригинальные работы, ограничиваясь указанием их авто
ров.
К ак и в предыдущих томах, изложение общих вопросов мы
старались вести таким образом, чтобы по возможности ясно
выявить физическую сущность теории и на ее основе строить
математический аппарат. Это в особенности сказалось на пер
вых параграфах книги, посвященных выяснению общих свойств
ИЗ П РЕДИ С Л О ВИ Я К П ЕРВОМ У ИЗДАН И Ю
11
квантовомеханическмх операторов. В противоположность обыч
но принятой схеме изложения, исходящей из математических
теорем о линейных операторах, мы, наоборот, выводим матема
тические требования, предъявляемые к операторам и собствен
ным функциям, исходя из физической постановки вопроса.
Нельзя не отметить, что во многих курсах квантовой меха
ники изложение существенно усложнилось по сравнению с ори
гинальными работами. Хотя такое изложение обычно аргумен
тируется общностью и строгостью, но при внимательном рас
смотрении легко заметить, что и та и другая в действительности
часто иллюзорны до такой степени, что заметная часть «стро
гих» теорем является ошибочной. Поскольку такое усложнение
изложения представляется нам совершенно неоправданным, мы,
наоборот, стремились к возможной простоте и во многом верну
лись к оригинальным работам.
Некоторые чисто математические сведения вынесены нами в
конец книги в виде «Математических дополнений», чтобы, по
возможности, не прерывать изложения в тексте отвлечением в
вычислительную сторону. Эти дополнения преследуют также и
справочные цели.
Москва, май 1947 г.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц
Н ЕК О ТО РЫ Е О БО ЗН А Ч Е Н И Я
Операторы обозначаются буквами со шляпкой: /
Элемент объема: пространства — d V , конфигурационного
пространства — dq, импульсного пространства — d3p
Матричные элементы величины / (см. определение на с. 51) —
f nra ИЛИ (n\ f \ m)
Частота переходов шП7П = (Е п — Е т)/Н
Коммутатор двух операторов { /,g } = f g — g f
Гамильтониан — Н
Фазовые сдвиги волновых функций — 6\
Атомные и кулоновы единицы —см. определение на с. 154, 155
Векторные и тензорные индексы обозначаются латинскими
буквами г, /с, I
Антисимметричный единичный тензор — e^i (см. определе
ние на с. 114)
Ссылки на номера параграфов и формул в других томах это
го Курса снабжены римскими цифрами: I — том I, «Механика»,
1988; II — том II, «Теория поля», 1989; IV — том IV, «Квантовая
электродинамика», 1989.
ГЛАВА
I
ОСНОВНЫ Е П О Н Я ТИ Я К ВА Н ТО ВО Й М ЕХАН И К И
§ 1. П ринцип н еоп ределен н ости
Классические механика и электродинамика при попытке
применить их к объяснению атомных явлений приводят к ре
зультатам, находящимся в резком противоречии с опытом. Наи
более ясно это видно уже из противоречия, получающегося при
применении обычной электродинамики к модели атома, в кото
рой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам.
При таком движении, как и при всяком ускоренном движении
зарядов, электроны должны были бы непрерывно излучать элек
тромагнитные волны. Излучая, электроны теряли бы свою энер
гию, что должно было бы привести в конце концов к их падению
на ядро. Таким образом, согласно классической электродина
мике, атом был бы неустойчивым, что ни в какой степени не
соответствует действительности.
Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свиде
тельствует о том, что построение теории, применимой к атомным
явлениям — явлениям, происходящим с частицами очень малой
массы в очень малых участках пространства, — требует фунда
ментального изменения в основных классических представлени
ях и законах.
В качестве отправной точки для выяснения этих изменений
удобно исходить из наблюдаемого на опыте явления так назы
ваемой дифракции электронов1) . Оказывается, что при пропус
кании однородного пучка электронов через кристалл в прошед
шем пучке обнаруживается картина чередующихся максимумов
и минимумов интенсивности, вполне аналогичная дифракцион
ной картине, наблюдающейся при дифракции электромагнитных
волн. Таким образом, в некоторых условиях поведение матери
альных частиц—электронов— обнаруживает черты, свойствен
ные волновым процессам.
1) Явление диф ракции электронов было в действительности открыто после
создания квантовой механики. В нашем излож ении, однако, мы не придер
живаемся исторической последовательности развития теории, а пытаемся
построить его таким образом , чтобы наиболее ясно показать, каким обра
зом основные принципы квантовой механики связаны с наблюдаемыми на
опыте явлениями.
14
ОСНОВНЫ Е П О Н ЯТИ Я КВАН ТО ВО Й М ЕХАНИКИ
ГЛ. I
Насколько глубоко противоречит это явление обычным пред
ставлениям о движении, лучше всего видно из следующего мыс
ленного эксперимента, представляющего собой идеализацию
опыта с электронной дифракцией от кристалла. Представим се
бе непроницаемый для электронов экран, в котором прорезаны
две щели. Наблюдая прохождение пучка электронов1) через од
ну из щелей, в то время как другая щель закрыта, мы получим
на поставленном за щелью сплошном экране некоторую карти
ну распределения интенсивности, таким же образом получим
другую картину, открывая вторую щель и закрывая первую.
Наблюдая же прохождение пучка одновременно через обе ще
ли, мы должны были бы, на основании обычных представле
ний, ожидать картину, являющуюся простым наложением обеих
предыдущих, —каждый электрон, двигаясь по своей траектории,
проходит через одну из щелей, не оказывая никакого влияния на
электроны, проходящие через другую щель. Явление электрон
ной дифракции показывает, однако, что в действительности мы
получим дифракционную картину, которая благодаря интерфе
ренции отнюдь не сводится к сумме картин, даваемых каждой
из щелей в отдельности. Ясно, что этот результат никаким об
разом не может быть совмещен с представлением о движении
электронов по траектории.
Таким образом, механика, которой подчиняются атомные
явления, — так называемая квантовая или волновая механи
ка, — должна быть основана на представлениях о движении,
принципиально отличных от представлений классической ме
ханики. В квантовой механике не существует понятия траек
тории частиц. Это обстоятельство составляет содержание так
называемого принципа неопределенности — одного из основ
ных принципов квантовой механики, открытого Гейзенбергом
( W. Heisenberg, 1927)2) . Отвергая обычные представления клас
сической механики, принцип неопределенности обладает, можно
сказать, отрицательным содержанием. Естественно, что сам по
себе он совершенно недостаточен для построения на его основе
новой механики частиц. В основе такой теории должны лежать,
конечно, какие-то положительные утверждения, которые будут
рассмотрены ниже (§2). Однако для того чтобы сформулиро
вать эти утверждения, необходимо предварительно выяснить ха
рактер постановки задач, стоящих перед квантовой механикой.
г ) П учок предполагается настолько разреж енны м, что взаимодействие ча
стиц в нем не играет никакой роли.
2) И нтересно отметить, что полный математический аппарат квантовой
механики был создан В. Гейзенбергом и Э. Ш редингером в 1925-1926 гг., до
открытия принципа неопределенности, раскрывающего ф изическое содер
ж ание этого аппарата.
§1
ПРИНЦИП Н ЕО П РЕДЕЛЕН НОСТИ
15
Д ля этого прежде всего остановимся на особом характере вза
имоотношения, в котором находятся квантовая и классическая
механики.
Обычно более общая теория может быть сформулирована
логически замкнутым образом независимо от менее общей тео
рии, являющейся ее предельным случаем. Так, релятивистская
механика может быть построена на основании своих основных
принципов без всяких ссылок на ньютоновскую механику. Фор
мулировка же основных положений квантовой механики принци
пиально невозможна без привлечения механики классической.
Отсутствие у электрона1) определенной траектории лишает
его самого по себе также и каких-либо других динамических ха
рактеристик2) . Ясно поэтому, что для системы из одних только
квантовых объектов вообще нельзя было бы построить никакой
логически замкнутой механики. Возможность количественного
описания движения электрона требует наличия также и физи
ческих объектов, которые с достаточной точностью подчиняют
ся классической механике. Если электрон приходит во взаимо
действие с «классическим объектом», то состояние последнего,
вообще говоря, меняется. Характер и величина этого изменения
зависят от состояния электрона и поэтому могут служить его
количественной характеристикой.
В этой связи «классический объект» обычно называют «при
бором», а о его процессе взаимодействия с электроном говорят,
как об «измерении». Необходимо, однако, подчеркнуть, что при
этом отнюдь не имеется в виду процесс «измерения», в кото
ром участвует физик-наблюдатель. Под измерением в квантовой
механике подразумевается всякий процесс взаимодействия меж
ду классическим и квантовым объектами, происходящий помимо
и независимо от какого-либо наблюдателя. Выяснение глубокой
роли понятия измерения в квантовой механике принадлежит Бо
ру (N . Bohr).
Мы определили прибор как физический объект, с достаточ
ной точностью подчиняющийся классической механике. Тако
вым является, например, тело достаточно большой массы. Одна
ко не следует думать, что макроскопичность является обязательным
свойством прибора. В известных условиях роль прибора может
играть также и заведомо микроскопический объект, поскольку
1) В этом и следую щ ем параграф ах мы говорим для краткости об элек
троне, имея в виду вообще любой квантовый объект, т. е. частицу или систе
му частиц, подчиняющихся квантовой и не подчиняющихся классической
механике.
2) Речь идет о величинах, характеризую щ их движ ение электрона, а не о
величинах, характеризую щ их электрон как частицу (заряд, масса) и явля
ющихся параметрами.
16
ОСНОВНЫ Е П О Н ЯТИ Я КВАН ТО ВО Й М ЕХАНИКИ
ГЛ. I
понятие «с достаточной точностью» зависит от конкретно по
ставленной задачи. Так, движение электрона в камере Вильсона
наблюдается по оставляемому им туманному следу, толщина ко
торого велика по сравнению с атомными размерами; при такой
степени точности определения траектории электрон является
вполне классическим объектом.
Таким образом, квантовая механика занимает очень свое
образное положение в ряду физических теорий — она содержит
классическую механику как свой предельный случай и в то же
время нуждается в этом предельном случае для самого своего
обоснования.
Мы можем теперь сформулировать постановку задачи кван
товой механики. Типичная постановка задачи заключается в
предсказании результата повторного измерения по известному
результату предыдущих измерений. Кроме того, мы увидим в
дальнейшем, что квантовая механика, вообще говоря, ограничи
вает, по сравнению с классической механикой, набор значений,
которые могут принимать различные физические величины (на
пример, энергия) т. е. значений, которые могут быть обнаружены
в результате измерения данной величины. Аппарат квантовой
механики должен дать возможность определения этих дозволен
ных значений.
Процесс измерения обладает в квантовой механике очень су
щественной особенностью — он всегда оказывает воздействие на
подвергаемый измерению электрон, и это воздействие при дан
ной точности измерения принципиально не может быть сделано
сколь угодно слабым. Чем точнее измерение, тем сильнее ока
зываемое им воздействие, и лишь при измерениях очень малой
точности воздействие на объект измерения может быть слабым.
Это свойство измерений логически связано с тем, что динамиче
ские характеристики электрона появляются лишь в результате
самого измерения; ясно, что если бы воздействие процесса из
мерения на объект могло быть сделано сколь угодно слабым, то
это значило бы, что измеряемая величина имеет определенное
значение сама по себе, независимо от измерения.
Среди различного рода измерений основную роль играет из
мерение координат электрона. Над электроном, в пределах при
менимости квантовой механики, всегда может быть произведе
н о 1) измерение его координат с любой точностью.
Предположим, что через определенные интервалы време
ни A t производятся последовательные измерения координат
г ) Еще раз подчеркнем, что, говоря о «произведенном измерении», мы име
ем в виду взаимодействие электрона с классическим «прибором», отнюдь не
предполагающ ее наличия постороннего наблюдателя.
§1
ПРИНЦИП Н ЕО П РЕДЕЛЕН НОСТИ
17
электрона. Их результаты, вообще говоря, не лягут на какуюлибо плавную кривую. Напротив, чем точнее производятся изме
рения, тем более скачкообразный, беспорядочный ход обнаружат
их результаты в соответствии с отсутствием для электрона поня
тия траектории. Более или менее плавная траектория получится
лишь, если измерять координаты электрона с небольшой степе
нью точности, например, по конденсации капелек пара в камере
Вильсона.
Если же, оставляя точность измерений неизменной, умень
шать интервалы A t между измерениями, то соседние измерения
дадут, конечно, близкие значения координат. Однако результаты
ряда последовательных измерений хотя и будут лежать в малом
участке пространства, но в этом участке будут расположены со
вершенно беспорядочным образом, отнюдь не укладываясь на
какую-либо плавную кривую. В частности, при стремлении A t к
нулю результаты близких измерений вовсе не стремятся лечь на
одну прямую.
Последнее обстоятельство показывает, что в квантовой меха
нике не существует понятия скорости частицы в классическом
смысле этого слова, т. е. как предела, к которому стремится раз
ность координат в два момента времени, деленная на интер
вал A t между этими моментами. Однако в дальнейшем мы уви
дим, что в квантовой механике тем не менее может быть дано
разумное определение скорости частицы в данный момент вре
мени, которая при переходе к классической механике переходит
в классическую скорость.
Но в то время как в классической механике в каждый дан
ный момент частица обладает определенными координатами
и скоростью, в квантовой механике дело обстоит совершенно
иным образом. Если в результате измерения электрон получил
определенные координаты, то при этом он вообще не облада
ет никакой определенной скоростью. Наоборот, обладая опре
деленной скоростью, электрон не может иметь определенного
местоположения в пространстве. Действительно, одновремен
ное существование в любой момент времени координат и ско
рости означало бы наличие определенной скорости, которой
электрон не обладает. Таким образом, в квантовой механике
координаты и скорость электрона являются величинами, кото
рые не могут быть одновременно точно измерены, т. е. не могут
одновременно иметь определенных значений. Можно сказать,
что координаты и скорость электрона суть величины, не суще
ствующие одновременно. В дальнейшем будет выведено коли
чественное соотношение, определяющее возможность неточно
го измерения координат и скорости в один и тот же момент
времени.
18
ОСНОВНЫ Е П О Н ЯТИ Я КВАН ТО ВО Й М ЕХАНИКИ
ГЛ. I
Полное описание состояния физической системы в класси
ческой механике осуществляется заданием в данный момент
времени всех ее координат и скоростей; по этим начальным
данным уравнения движения полностью определяют поведение
системы во все будущие моменты времени. В квантовой меха
нике такое описание принципиально невозможно, поскольку ко
ординаты и соответствующие им скорости не существуют одно
временно. Таким образом, описание состояния квантовой системы
осуществляется меньшим числом величин, чем в классической
механике, т. е. является менее подробным, чем классическое.
Отсюда вытекает очень важное следствие относительно ха
рактера предсказаний, делаемых в квантовой механике. В то
время как классическое описание достаточно для того, чтобы
предсказывать движение механической системы в будущем со
вершенно точным образом, менее подробное описание в кванто
вой механике, очевидно, не может быть достаточным для этого.
Это значит, что если электрон находится в состоянии, описан
ном наиболее полным образом, то тем не менее его поведение в
следующие моменты времени принципиально неоднозначно. По
этому квантовая механика не может делать строго определенных
предсказаний относительно будущего поведения электрона. При
заданном начальном состоянии электрона последующее измере
ние может дать различные результаты. Задача квантовой меха
ники состоит лишь в определении вероятности получения того
или иного результата при этом измерении. Разумеется, в неко
торых случаях вероятность некоторого определенного резуль
тата измерения может оказаться равной единице, т. е. перейти
в достоверность, так что результат данного измерения будет
однозначным.
Все процессы измерения в квантовой механике можно раз
бить на две категории. В одну из них, обнимающую большинство
измерений, входят измерения, которые ни при каком состоя
нии системы не приводят с достоверностью к однозначному
результату. В другую же входят измерения, для каждого ре
зультата которых существует состояние, в котором измерение
приводит с достоверностью к данному результату. Именно эти
последние измерения, которые можно назвать предсказуемыми,
играют в квантовой механике основную роль. Определяемые
такими измерениями количественные характеристики состоя
ния суть то, что в квантовой механике называют физическими
величинами. Если в некотором состоянии измерение дает с до
стоверностью однозначный результат, то мы будем говорить,
что в этом состоянии соответствующая физическая величина
имеет определенное значение. В дальнейшем мы будем везде
§2
П РИ Н Ц И П С У П Е РП О ЗИ Ц И И
19
понимать выражение «физическая величина» именно в указан
ном здесь смысле.
В дальнейшем мы неоднократно убедимся, что далеко не вся
кая совокупность физических величин в квантовой механике мо
жет быть измерена одновременно, т. е. может иметь одновре
менно определенные значения (об одном примере — скорости и
координатах электрона мы уже говорили).
Большую роль в квантовой механике играют наборы физиче
ских величин, обладающие следующим свойством: эти величины
измеримы одновременно, причем если они имеют одновременно
определенные значения, то уже никакая другая физическая ве
личина (не являющаяся их функцией) не может иметь в этом со
стоянии определенного значения. О таких наборах физических
величин мы будем говорить как о полных наборах.
Всякое описание состояния электрона возникает в результате
некоторого измерения. Мы сформулируем теперь, что означает
полное описание состояния в квантовой механике. Полным об
разом описанные состояния возникают в результате одновре
менного измерения полного набора физических величин. По
результатам такого измереня можно, в частности, определить ве
роятность результатов всякого последующего измерения незави
симо от всего, что происходило с электроном до первого
измерения.
В дальнейшем везде (за исключением только § 14) под состо
яниями квантовой системы мы будем понимать состояния, опи
санные именно полным образом.
§ 2. П ринцип суперпозиции
Радикальное изменение физических представлений о движе
нии в квантовой механике по сравнению с классической требует,
естественно, и столь же радикального изменения математическо
го аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос
о способе описания состояния в квантовой механике.
Условимся обозначать буквой q совокупность координат
квантовой системы, a dq—произведение дифференциалов этих
координат (его называют элементом объема конфигурационно
го пространства системы); для одной частицы dq совпадает с
элементом объема dV обычного пространства.
Основу математического аппарата квантовой механики со
ставляет утверждение, что состояние системы может быть описа
но определенной (вообще говоря, комплексной) функцией
координат Ф(д), причем квадрат модуля этой функции определя
ет распределение вероятностей значений координат: |Ф|2 dq есть
20
ОСНОВНЫ Е П О Н ЯТИ Я КВАН ТО ВО Й М ЕХАНИКИ
ГЛ. I
вероятность того, что произведенное над системой измерение
обнаружит значения координат в элементе dq конфигурацион
ного пространства. Функция Ф называется волновой функцией
системы1).
Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить
вероятности различных результатов также и вообще всякого из
мерения (не обязательно измерения координат). При этом все
эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ф
и Ф*. Наиболее общий вид такого выражения есть
J J 4>(q)^{q')v{q,q')dqdq[,
(2.1)
где функция (f(q,qf) зависит от рода и результата измерения, а
интегрирования производятся по всему конфигурационному про
странству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди
нат тоже является выражением такого ти п а2) .
С течением времени состояние системы, а с ним и волновая
функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую
функцию можно рассматривать как функцию также и от вре
мени. Если волновая функция известна в некоторый начальный
момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа
ния состояния она тем самым в принципе определена и во все
будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой
функции от времени определяется уравнениями, которые будут
выведены в дальнейшем.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат си
стемы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому
нужно, чтобы результат интегрирования | Ф|2 по всему конфигу
рационному пространству был равен единице:
j m 2d q =l .
(2 .2 )
Это равенство представляет собой так называемое условие нор
мировки волновых функций. Если интеграл от | Ф |2 сходится,
то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ
ция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви
дим, однако, в дальнейшем, что интеграл от | Ф|2 может рас
ходится и тогда Ф не может быть нормирована условием (2.2).
г ) Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером
(Е. Schrodinger, 1926).
2) Оно получается из (2.1) при tp(q,q') = S(q —qo)S(q' —go), где S обозначает
так называемую ^-функцию, определяем ую ниж е, в § 5; через qo обозначено
значение координаты, вероятность которого мы ищем.
§2
П РИ Н Ц И П С У П Е РП О ЗИ Ц И И
21
В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе
ния вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух
различных точках конфигурационного пространства определяет
относительную вероятность значений координат.
Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции
величины с непосредственным физическим смыслом имеют
вид (2.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что
нормированная волновая функция определена лишь с точностью
до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве
щественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не
может быть устранена; однако она несущественна, так как не
отражается ни на каких физических результатах.
В основе положительного содержания квантовой механики
лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ
ции, заключающихся в следующем.
Пусть в состоянии с волновой функцией Фх(^) некоторое из
мерение приводит с достоверностью к определенному результа
т у -р е зу л ь т а т у 1, а в состоянии Ф2 (д) — к результату 2. Тогда
принимается, что всякаялинейная комбинация Фх и Ф2 , т. е. вся
кая функция вида с\Фх + С2 Ф2 (сх, С2 — постоянные), описывает
состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1,
либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам
известна зависимость состояний от времени, которая для одного
случая дается функцией Ф
а для другого — Ф2 (/) = ^ ( / ' - / ) .
Используя выражение (5.10), можно написать1)
% ( / ' ) - ? (/)] =
- /)•
I5-13)
Сравнение (5.13) с (5.4) показывает теперь, что функции Ф^ и Фу
связаны друг с другом соотношением
= VI М / ) / # Ф /'
Существуют такие физические величины, которые обладают
в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в
другой—непрерывным. Д ля собственных функций такой вели
чины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые
были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только
отметить, что полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе
ние произвольной волновой функции по собственным функциям
такой величины имеет вид
( 5 ' 1 4 )
ф 0?) = ^ а пЯ>п {ч) + f af ^ f (q)df,
(5.15)
п
где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре
рывному спектру.
Примером величины, обладающей непрерывным спектром,
является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим
ей оператором является простое умножение на q. Действительно,
х) Вообщ е, если («01
где OLi — корни уравнения (р(х) = 0.
(5 .1 3 а )
§6
ПРЕДЕЛЬНЫ Й ПЕРЕХОД
37
поскольку вероятность различных значений координаты опреде
ляется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты
Сравнив это выражение с определением операторов соглас
но (3.8), мы видим, ч т о 1)
q = q.
(5.16)
Собственные функции этого оператора должны определяться,
согласно общему правилу, уравнением q^ q0 = qo'&qo, где посред
ством qo временно обозначены конкретные значения координа
ты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может
удовлетворяться либо при Фдо = 0, либо при q = q$, то ясно,
что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ
ции есть2)
Ф90 = % -
