T T T T |T T T T | I 1 I I I I II I I I I I I | 1 1 I I j I T T T|TTT T|TT
|
|
|
'
|
Т |Т Т Т Т |Т Г П 11 II I | I I Г1 1 1 T r 11 т
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
I • I I I I I M I I I II I III
II
II
I
II , I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II
ГЕОМЕТРИЯ
1 ! | I I I I | I I I I | I I II | I I I I | II I I | I I I I | I I II | I I I I | I I II | I I I I | I I II | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I
УДК 372.851
ББК 74.262.21
К65
Издание допущено к использованию в образовательном процессе
на основании приказа Министерства образования и науки РФ
от 14.12.2009 N° 729 (в ред. от 13.01.2011).
Издание соответствует требованиям ФГОС
на основании сертификата № 1Ш.ИОСО.П00570
системы «Учсерт» Российской академии образования.
Р е ц е н з е н т - Соросовский учитель, учитель высшей категории
ГБОУ СОШ N° 192 г. Москвы М.Я. Гаиашвили.
К65
Контрольно-измерительные материалы. Геометрия.
9 класс / Сост. А.Н. Рурукин. - 3-е изд. - М.: ВАКО,
2016. —96 с. —(Контрольно-измерительные материалы).
ISBN 978-5-408-02579-4
В пособии представлены контрольно-измерительные материалы
(КИМы) по геометрии для 9 класса - тесты в формате заданий ЕГЭ, а так
же самостоятельные и контрольные работы по всем изучаемым темам.
Ко всем заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал позволяет
проводить проверку знаний, используя различные формы контроля.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.
УДК 372.851
Б Б К 74.262.21
Учебное издание
Составитель
Рурукин Александр Николаевич
К О Н Т Р О Л Ь Н О -И ЗМ Е Р И Т Е Л Ь Н Ы Е М АТЕРИ АЛЫ
ГЕОМЕТРИЯ
9 к л асс
Подписано в печать 29.09.2015. Формат 84х 108/32.
Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать офсетная.
Уел. печ. листов 5,04. Тираж 10 000 экз. Заказ N° 3504/15.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами
в ООО «ИПК Парето-Принт»,
170546 Тверская область. Промышленная зона Боровлево-1,
комплекс № ЗА, www.pareto-print.ru
От составителя
Пособие «Контрольно-измерительные материалы
по геометрии для 9 класса» предназначено, прежде всего,
для УМК Л.С. Атанасяна и др. При некотором измене
нии порядка следования КИМы могут быть использованы
и для УМК А.В. Погорелова и др.
В пособии представлены 16 тематических тестов, 5 те
стов на обобщение пройденного материала, итоговый тест
по программе 9 класса, итоговый тест по курсу геометрии
за 7—9 классы, 16 самостоятельных и 7 контрольных работ
(включая итоговые).
Предлагаемые КИ М ы могут быть использованы
на любом этапе обучения —повторения и закрепления
изученного, актуализации опорных знаний и т. д. При
веденные материалы избыточны и могут быть использо
ваны как при работе в классе, так и дома. Рекомендуем
задействовать различные формы контроля знаний, так
как каждая из них имеет свои преимущества и недостатки.
Все работы даны в двух равноценных вариантах. В конце
пособия представлены ответы ко всем тестам и провероч
ным работам.
Преподавательская практика показывает, что пред
лагаемый подбор КИМов позволяет эффективно освоить
материал 9 класса и подготовить учащихся к сдаче ГИА
и ЕГЭ по изученным темам.
Надеемся, что пособие поможет учителям при подго
товке и проведении уроков, в организации качественного
3
контроля знаний, а также школьникам при изучении ма
териала, закреплении и систематизации знаний.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
• понятие вектора;
• уравнения окружности и прямой;
• простейшие тригонометрические функции и связи
между ними;
• теоремы синусов и косинусов;
• формулы для вычисления длины окружности, пло
щади круга и кругового сектора;
• понятие отображения плоскости на себя и его
виды - осевую и центральную симметрии, парал
лельный перенос, поворот;
уметь:
• выполнять простейшие операции над векторами;
• раскладывать вектор по двум неколлинеарным век
торам;
• решать простейшие задачи в координатах;
• использовать уравнения окружности и прямой при
решении задач;
• вычислять скалярное произведение векторов;
• находить элементы в правильных многоугольниках;
• вычислять радиус окружности, описанной около
многоугольника и вписанной в него.
Основные темы курса геометрии в 9 классе
«Векторы», «Метод координат», «Соотношения между
сторонами и углами треугольника», «Скалярное произве
дение векторов», «Длина окружности и площадь круга»,
«Движения».
Рекомендации по оцениванию результатов работ
Задания тестов разделены на три уровня сложности:
А, В, С.
Уровень А (простейший) предполагает выбор ответа
из четырех предложенных. Уровень В (базовый) подразу
мевает краткий ответ. Для уровня С (повышенной сложно
сти) необходимо привести обоснованное решение и ответ.
4
Тематический тест содержит 3 задания уровня А (каж
дое оценивается в 0,5 балла), 2 задания уровня В (каждое
оценивается в 1 балл) и 1 задание уровня С (оценивается
в 2 балла). На выполнение теста отводится 15—20 мин. Ре
комендуем следующее соответствие количества баллов
и оценки: 1,5 балла —«3», 2,5 балла —«4», 3,5 балла —«5».
Итоговый тест содержит вдвое больше заданий, чем
тем атический. С оответственно, вдвое увеличиваю тся
время на выполнение (40—45 мин) и количество баллов
(3 балла —«3», 5 баллов —«4», 7 баллов —«5»).
Самостоятельные работы
Формулировка заданий теста (уровень А) предпола
гает простой вопрос, который далеко не всегда позволяет
понять степень усвоения изучаемого материала. Поэтому
целесообразно некоторые тесты заменить самостоятель
ными работами, которые включают 3 задания уровня В
(каждое задание оценивается в 1 балл). Н а выполнение
работы отводится 15—20 мин. Критерии оценки: 0,5 бал
ла —«3», 1,5 балла —«4», 2,5 балла —«5».
Контрольные работы
При изучении крупной темы (главы УМ К) для конт
роля знаний рекомендуется использовать контрольные
работы, которые содержат 4 задания уровня В и 1 задание
уровня С. На работу отводится 40—45 мин. Рекомендуе
мые критерии оценки: 1,5 балла — «3», 2,5 баллов — «4»,
3,5 баллов - «5».
Проведение самостоятельных и контрольных работ
допускает более гибкие формулировки заданий и форму
ответов (по сравнению с тестами). Это позволяет более
объективно контролировать знания учащихся, выявить
недочеты при изучении материала и т. д. Поэтому реко
мендуем использовать разнообразные формы аттестации
учащихся.
5
Тест 1. Понятие вектора
Вариант 1
А1. В трапеции ABCD укажите пару сонаправленных век
торов.
□ \ )А В иС Г >
□ 2 )С 5 и Л 4
C \3)D C nD A
□ 4 )5 С и /М
л
D
А2. В ромбе ABCD с диагоналями А С - 12 см и B D - 16 см
найдите величину \DC\.
□ 1) 10 см
0 2 ) 12 см
0 3 ) 16 см
0 4 ) 14 см
АЗ. Определите вид четырехугольника ABCD, если выпол
нены следующие условия: ВС Т4 DA и АВ = DC.
О О трапеция
О 2) прямоугольник
О 3) ромб
О 4) параллелограмм
В1. В треугольнике /45С|а #| = Зл/З м, |С2?| = 3 м, |/1С| = 6 м.
Найдите радиус окружности, описанной около треуголь
ника АВС.
О т в е т : _________________________________________
В2. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с пря
мым углом А равно 17 см, АВ = 5 см, ZD = 45°. Найдите
длину вектора АС.
О т в е т : _________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а
и основанием b найдите длину вектора, совпадающего
с медианой, проведенной к боковой стороне.
О т в е т : _________________________________________
6
Тест 1. Понятие вектора
Вариант 2
А1. В трапеции ABCD укажите пару противоположно на
правленных векторов.
В
С
□ 1)А4иСО
С \2)А С пВ С
Q 3)C B n A D
\2*)ABnBD
А2. В ромбе ABCD с диагоналями АС = 8 см и BD = 6 см
найдите величину СЖ
□ 1) 7 см
□ 2) 5 см
□ 3)10 см
□ 4) 8 см
АЗ. Определите вид четырехугольника ABCD, если выпол
нены следующие условия: АВ = DC и \АВ\ = |C2f|.
I 11) ромб
□ 2 )трапеция
П 3) прямоугольник
□ 4) параллелограмм
В1. В треугольнике Ай с |А4| = 4\/3 м, |С2?| = 4 м, |а с | = 8 м.
Найдите радиус окружности, описанной около треуголь
ника АВС.
О т в е т : _________________________________________________________________
В2. Основание АО прямоугольной трапеции ABCD с пря
мым углом А равно 14 см, АВ = 8 см, /.D = 45°. Найдите
длину вектора АС.
О т в е т : _________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной с
и высотой И, проведенной к основанию, найдите длину
вектора, совпадающего с медианой, проведенной к бо
ковой стороне.
О т в е т : _________________________________________
7
Тест 2. Сложение и вычитание векторов
Вариант 1
А1. В треугольнике АВС даны стороны АВ = 5 см,
ВС = 6 см, АС = 8 см. Найдите величину |АВ + ВС - АС\.
□ 1) 0 см
П 2) 7 см
□ 3) 3 см
□ 4) 19 см
А2. В прямоугольном треугольнике ABC ( Z B = 90°) заданы
катеты АВ= 6 см и ВС = 8 см. Найдите величины |ял| - |i?cj
и|А4 - 5С|.
□ 1) —2 см и 2 см
□ 2) 2 см и 2 см
□ 3) 2 см и 10 см
□ 4) —2 см и 10 см
АЗ. В четырехугольнике выразите вектор х через векторы
а, Ь, с.
□ 1) а + Ь - с
П 2) с - а - В
I 13) —о + b + с
□ 4) а - b - с
В1. Используя правило многоугольника, упростите вы
ражение [СВ + АС + BDj - (МК + KDj.
О т в е т : ___________________________________________
В2. При каком условии для неколлинеарных векторов
а и Ъбудет выполнено неравенство |а + £| > |й - b|?
О т в е т : ___________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике АВС дано: АС - ВС,
АВ = 10 см, ZC = 90°, СМ —медиана. Найдите величину
р5-ж ? + 2Ш|.
О т в е т : ___________________________________________
8
Тест 2. Сложение и вычитание векторов
Вариант 2
А1. В треугольнике АВС даны стороны АВ = 4 см,
ВС = 5 см, АС = 7 см. Найдите величину \АВ - А С - С#|.
□ 1) 16 см
□ 2) 2 см
□ 3) 6 см
□ 4) 0 см
А2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZB = 90°) заданы
катеты АВ=5 см и ВС - 12см. Найдите величины |Л2?| - |С2?|
иА В -Ш \.
П 1) —7 см и 13 см
□ 2) —7 см и 7 см
□
7 см и 13 см
□ 4) 7 см и 7 см
АЗ. В четырехугольнике выразите вектор х через векторы
а, В, с.
Г~) 1) а - В - с
Г~12) а - В + с
□ 3)5 + В - с
□ 4) -а + В - с
В1. Используя правило многоугольника, упростите вы
ражение [АВ + ВС - MCj + [MD - KD).
О т в е т : ___________________________________________
В2. При каком условии для неколлинеарных векторов
аи В будет выполнено неравенство |о + £| < |а - £|?
О т в е т : _________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике АВС дано: А В = ВС - 5 см, точка М —середина А С и В М - 4 см. Найдите вели
чину |МВ - МС + 5Л|.
О т в е т : ________________________________________
9
Тест 3. Умножение вектора на число.
Применение векторов
к решению задач
Вариант 1
А1. Заданы векторы т = За - 2* и я = 5а + 4*. Найдите век
тор 2т + п.
□ 1) 8*
□ 2) 11а
□ 3)8а_
□ 4) -6 *
А2. Известно, что выполнено равенство а = - х - -* .
Выразите вектор х через векторы а и *.
□ 1) 5 а+ 2,5*
□ 3) 5а - 2*
П 2) 5а + *
| 14) а + 2*
АЗ. Найдите величину |/я|, если т = - ( а + *| - - ( а □ 1)-а-5*
61
1
О 2) —|а| + -1*1
о11 о1'
□ 4)
а + 5*1
01
1
В1. В параллелограмме ABCD дано: АВ = а, ВС = *,
Е € AD, А Е : ED = 3 : 2, F е CD, D F : C F - 2 : 1. Выразите
вектор EF через векторы а и *.
О твет:
В2. Векторы а и * связаны с векторами т и п равенствами
а = 5т + 4п и * = 2т + п. Выразите векторы т и п через
векторы а и *.
О т в е т : _________________________________________________________________
С1. Пусть АВ = а, АС - b , D e АС, A D : DC = 1 : 3 , Е е BD,
B E : ED = 2: 3. Выразите вектор АЕ через векторы а и *.
О т в е т : _________________________________________
10
Тест 3. Умножение вектора на число.
Применение векторов
к решению задач
Вариант 2
А1. Заданы векторы т - 2а + 66 и я = а -36. Найдите век
тор т + 2я.
□ О 6а
03)40
□ 2)36
П 4 )8 6
А2. Известно, что выполнено равенство Ъ = \-а + - х .
Выразите вектор х через векторы а и 6.
□ l ) - a + 46
□ 2)
- —а
□ 3 ) ^ а +46
+6
□ 4 ) - - о + 46
АЗ. Найдите величину |/и|, если т = -{а + б) - -{а - б).
□ 1)-56-д
О
1
1
□2)|Н-|1*1
° 3>|й-гИ
□ 4) 1 ( И - р |
В1. В параллелограмме ABCD дано: АВ = а, ВС = 6,
Е € AD, А Е : ED = 2: 3, F е CD, DF: СЕ= 1:2. Выразите
вектор EF через векторы а и 6.
От в е т :
В2. Векторы а и 6 связаны с векторами т и п равенствами
а = 3/и - п и 6 = 2т + 5я. Выразите векторы т и п через век
торы а и 6.
О т в е т : _________________________________________
С1. Пусть АВ = а, АС = b,D e АС, AD : DC =2 : 3 , Е е ВО,
B E : ED =3 : 2 . Выразите вектор АЕ через векторы а и 6.
О т в е т : _________________________________________
11
Т е ст 4. О б общ ен и е тем ы «Векторы»
Вариант 1
А1. Выполните следующие действия: АВ + ВС - DC.
□ !)0_
ПЗ )А С
□ 2)AD
□ 4) DA
А2. Дан параллелограмм ABCD. Найдите разность
A D -B C .
□ 1)АС^
□ 2)2 ВС
П З )АВ
П4)б
АЗ. В трапеции ABCD с основаниями ВС = За и AD - 1а
точки N и М —середины боковых сторон АВ и CD соот
ветственно. Найдите величину ^AN + ВС + М£>|.
□ 1) 5д
0 3 )6 0
□ 2) 4а
О 4) 10а
А4. В ромбе ABCD сторона АВ = 12 см и диагональ
BD = 6 см. Найдите угол между векторами DB и АС.
□ 1)45°
0 3 )3 0 °
0 2 )9 0 °
0 4 )6 0 °
А5. Пусть ABCD—параллелограмм; BA = a, AD = Ь, |а| = 3,
|й| = 5..Выразите вектор АС через векторы а к Ь.
0 1
)
3а + Ь
0 2 ) а - ЪЬ
О 3) -а + b
О 4) За + 5Ь
А6. В прямоугольной трапеции ABCD (ZA = 90°) известно,
что АВ = 4 см, ВС = 12 см, AD = 15 см. Найдите величину
|A B - A D + ВС\.
О 1) 17 см
0 3 ) 23 см
□ 4) 5 см
□ 2) 31 см
В1. Найдите модуль векторат =
Ответ:
12
+2 ^6 -
|.
В2. В трапеции ABCD каждая боковая сторона разделена
на 4 равные части. Найдите длины отрезков ККХи ММ{,
если AD = 2а и ВС - 5Ь.
В
С
W
j
А
D
Ответ:
ВЗ. Установите связь между векторами т = 2
Ответ:
В 4. В треугольнике АВС дано: АВ = а, АС = b, AD —ме-
О т в е т : ________________________________________
С 1. В прямоугольнике ABCD заданы стороны AD = а,
CD = b, О —точка пересечения диагоналей. Найдите ве
личину \АВ + AD -D C - OD\.
О т в е т : ________________________________________
С2. ABCD —трапеция, в которой ZA = 90°, ZBCA = 45°,
ZACD - 90°, АС = а. Найдите величины |СВ -С А + С/)|
и
- \с а \ \c d \.
\св\
+
В
с
Ответ:
13
Тест 4. Обобщение темы «Векторы»
Вариант 2
А1. Выполните следующие действия: АВ -С В + CD.
□ 1)DA
П З )А 4
2)6
U* ) AD
А2. Дан параллелограмм ABCD. Найдите сумму АВ + CD.
□ 1 )0 _
П 3 ) 2 АВ
□ 2)AD
П 4 ) АС
АЗ. В трапеции ABCD с основаниями AD = 5а и ВС = 9а
точки М и N — середины боковых сторон АВ и CD соот
ветственно. Найдите величину \ВМ + AD + NCI
□ 1) 14а
□ 2) 7а
□ 3)4 а
□ 4) 8а
А4. В ромбе ABCD сторона ВС = 8 см и диагональ
АС = 10 см. Найдите угол между векторами СА и BD.
□ 1)60°
□ 3) 90°
□ 2) 30°
□ 4) 45°
А5. ПустьASCD—параллелограмм; АВ = a, DA = Ь, |а| = 4,
Ц = 2. Выразите вектор АС через векторы анЬ.
□
_ _
□ 1)4а + 2Ь
2) а - Ъ
□ 3) 2а - 4Ъ
□ 4) а -г Ъ
А6. В прямоугольной трапеции ABCD (ZA - 90°) известно,
что АВ = 5 см, ВС = 3 см, AD = 15 см. Найдите величину
АВ + ВС + Ш\.
□ 1) 13 см
□ 2) 23 см
□ 3) 7 см
□ 4) 8 см
В1. Найдите модуль векторат = 2 ^ a + ^-£
□
+3|гЧ*
О т в е т :
14
В2. В трапеции ABCD каждая боковая сторона разделена
на 4 равные части. Найдите длины отрезков КК[ и Л/Л/,,
если AD = За и ВС= 2Ь.
В
С
К
А
D
О твет:
О т в е т : __________________________________________
В4. В треугольнике АВС дано: АС = а, АВ = b, AD —ме
диана. Найдите вектор -A D .
4
О т в е т : _________________________________________
С1. В ромбе ABCD заданы стороны AD - а, BD - Ь,
О — точка пересечения диагоналей. Найдите величину
\а в + АВ - Ж - Ш\.
О т в е т : _________________________________________
С2. ABCD — трапеция, в которой /СА = 90°, ZACB - 45°,
ZACD - 90°, АВ = а. Найдите величины |АВ -С В - />с|
и р й | - |с й — \d c \.
в
с
О т в е т :
15
Тест 5. Координаты вектора
Вариант 1
А1. Найдите числа х и у, если выполнено равенство
За - уЬ = ха + 2Ь и векторы а и b неколлинеарны.
□ 1)х = 3,у = 2
□ 2)* = 2,у = 3
□ 3)х = 3,у = -2
□ 4)х = - 2 ,у = 3
А2. В прямоугольнике ABCD дано: АВ = a, AD = Ь,
Е е ВС, B E : ЕС = 2 : 3 . Найдите разложение вектора DE
по векторам а и Ъ.
□ 1)а-|й
□ 3)а + |й
□ 2)а + | б
П 4 )а-|б
АЗ. Найдите координаты вектора т - Ъ а - 2Ъ, если а {-2; 1}
и Ъ {-3; 2}.
□ 1) {0;-1}
П ЗН -иО }
□ 2) {0; 1}
П 4 ) {1; 0}
В1. Векторы а {2; 4} и Ъ{т - 1; 8} коллинеарны. Найдите
число т.
О т в е т : _________________________________________
В2. Пусть АВ = а, AD - b, Е е BD, B E : ED = 3:4. Най
дите разложение вектора ED по векторам а и й.
О т в е т : _________________________________________
С1. При каком значении т векторы а {8; т - 2} и й {т; 1}
коллинеарны?
О т в е т : ______________________________________________________________________
16
Тест 5. Координаты вектора
Вариант 2
А1. Найдите числа х и у, если выполнено равенство
ха - 5Ь = -2а + уВ и векторы а и В неколлинеарны.
□ 1)х = 2,у = 5
\j 2 ) x =-2 ,y =5
□ 3)х=2,_у = —5
□ 4)х = - 2 ,у = -5
_
_
А2. В прямоугольнике ABCD дано: AD = а, АВ = В,
Е е ВС, B E : ЕС = 1 : 2 . Найдите разложение вектора DE
по векторам а и В.
□ 1 ) - | а +В
□ 3 )а -|^
□ 2) | В + В
\j4 )B + h
АЗ. Найдите координаты вектора т = 2 а - 3В, если а {-4; 3}
и Ъ{- 2; 1}.
□ 1) {3; 2}
□ 3) {2; 3}
□ 2) {-3; 2}
[Ц4){-2;3}
В1. Векторы а{ 1; 3} и В{т + 1; 6} коллинеарны. Найдите
число т.
О т в е т : _________________________________________
В2. Пусть AD = а, АВ - В, Е е BD, B E : ED = 2: 3. Най
дите разложение вектора ED по векторам а и В.
О т в е т : ________________________________ ________
С1. При каком значении т векторы а {5; т - 4} и Ъ{/и; 1}
коллинеарны?
О т в е т : _________________________________________
17
Тест 6. Простейшие задачи
в координатах
Вариант 1
А1. Даны точки А (2; 10) и В (7; —2). Найдите АВ и А 5.
□ 1) А5{5;12}, \АВ\ = 7
□ 2) Д 5{-5;12},
\лв\ = 17
□ 3) Аб { -5 ;-1 2 } , р б | = 7
□ 4 )Л Д { 5 ;-1 2 } , |Тб| = 13
А2. Найдите координаты точки В, если точка С —середина
отрезка АВ и А (—1; —2), С (3; 4).
□
□
□
□
АЗ. Определите координаты вершин 5 и D прямоуголь
ника ABCD, если А (—1; - 2 ) и С (5; 3).
>i
А2. Найдите значение tga, если известно, что cosa =
□ D-V15
П З)-4
□ 2) ~
П 4)~
4
3
АЗ. В прямоугольном треугольнике ABC (ZB= 90°) катеты
АВ = 5 и ВС = 6. Найдите cos С.
□ 1) |
□ 2)
□ 3)
ТбТ
5
ТбТ
□ 4 )11
В1. Найдите угол между лучом ОА и положительной по
луосью ОХ, если точка А имеет координаты (-2 ; %/]2).
О т в е т : __________________________________________
В2. Найдите значение выражения
8cos60° • sin245° + 3tg2135° -
tg38°•cos38°
sin 38°
О т в е т : _________________________
..
cos3a - s i n 3a
C l . Упростите выражение------------------ + sin a • cosa.
sin a - cosa
О т в е т : _____________________________________________________________
27
Тест 10. Теорема о площади
треугольника
Вариант 1
А1. В треугольнике Л5Сдано: А В -Ъ , A C -S , ZBAC= 120°.
Найдите площадь треугольника АВС.
□ 1) 12л/3
□ 3)6^3
□ 2)6
П 4 )3 7 з
А2. Найдите площадь равнобедренного треугольника,
если его боковая сторона равна 6 см, а угол при основа
нии равен 15°.
□ 1)12 см2
□ 3)6 см2
□ 2)9 см2
□ 4) бл/3 см2
АЗ. Острый угол ромба равен 45°, а его площадь равна
8л/2 см2. Найдите сторону ромба.
□ О 8 см
□ 3)6 см
□ 2) 2 см
□ 4) 4 см
В1. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если
его диагонали равны 8 см и 6 см и угол между ними ра
вен 60°.
О т в е т : _________________________________________________________________
В2. Пусть AAt и СС, — медианы треугольника АВС,
АА{= 9 см, СС, = 12 см. Медианы пересекаются в точке О,
и ZAOC = 150°. Найдите площадь треугольника АВС.
В
О т в е т : _________________________________________
С1. В треугольнике АВС стороны АВ= 3, ВС =4, BD —бис
сектриса, Z A B D -a . Найдите площадь треугольника A5Z).
О т в е т : _________________________________________
28
Тест 10. Теорема о площади
треугольника
Вариант 2
А1. В треугольнике/Ш7дано:тП?=7,ЛС= 12, /.ВАС - 135°.
Найдите площадь треугольника АВС.
□ D21
□ 3)4272
□ 2)2172
П 4 )4 2
А2. Найдите площадь равнобедренного треугольника,
если его боковая сторона равна 8 см, а угол при основа
нии равен 30°.
П 1)873 см 2
Г~13) 1б7з см 2
□ 2)16 см2
□ 4) 32 см2
АЗ. Острый угол ромба равен 60°, а его площадь равна
1873 см2. Найдите сторону ромба.
П 1) 673 см
□ 3) 8 см
□ 2) 6 см
□ 4) 4 см
В1. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если
его диагонали равны 8 см и 10 см и угол между ними ра
вен 45°.
О т в е т : _________________________________________________________________
В2. Пусть AAt и BBt — медианы треугольника АВС,
ААХ= 12 см, ВВХ= 15 см. Медианы пересекаются в точ
ке О, и /АОВ= 120°. Найдите площадь треугольника АВС.
В
О т в е т : ________________________________________
С1. В треугольнике АВС стороны АВ=5, ВС = 6, BD —бис
сектриса, /D B C = а. Найдите площадь треугольника DBC.
О т в е т : __________________________________________
29
Тест 11. Теорема синусов
Вариант 1
А1. В треугольнике АВС стороны АВ - 3 см, ВС - 4 см,
BD - биссектриса. Найдите отношение площади треуголь
ника DBC к площади треугольника АВС.
□ 1)3:7
□3)4:3
□ 2)4:7
04)16:49
А2. В треугольнике АВС углы ZA = 60°, Z.C = 75°, сторона
ВС - Зл/б. Найдите длину стороны АС.
□ D6
Пз)з
□ 2) бл/б
04)12
АЗ. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
ZA = 60° и АС = 5л/3. Найдите диаметр окружности, опи
санной около треугольника АВС.
□ 1)673
□ 3) 8%/2
□ 2)8^3
П4)10
В1. В окружность радиуса 1\[2 с центром в точке О вписан
треугольник АВС, в котором Z B = 45°. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника А ОС.
В
О т в е т : ______________________________________________________________________
В2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) зада
но: / А - а, АВ - с, АЕ — биссектриса. Найдите длину АЕ.
О т в е т : ___________________________________________
С1. В параллелограмме ABCD диагональ АС разбивает
угол А на два угла: а и 2а, АС = с. Найдите площадь па
раллелограмма A BCD.
О т в е т : ______________________________________________________________________
30
Тест 11. Теорема синусов
Вариант 2
А1. В треугольнике АВС стороны АВ = 4 см, ВС = 5 см,
BD —биссектриса. Найдите отношение площади треуголь
ника ABD к площади треугольника АВС.
□ 1)4:5
□ 3) 4: 9
□ 2)5:9
□4)16:81
А2. В треугольнике АВС углы ZA = 45°, Z C - 15°, сторона
ВС = 4\/б. Найдите длину стороны АС.
□ D12
П з)б7з
□ 2)8
П4)8Т2
АЗ. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
ZA = 30° и АС —8\/з. Найдите диаметр окружности, опи
санной около треугольника АВС.
□ D8
03)1273
□ 2)16
0 4 )1 0 7 2
В1. В окружность радиуса бТз с центром в точке О вписан
треугольник АВС, в котором ZB = 30°. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника А ОС.
В
О т в е т : _________________________________________________________________
В2. В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) зада
но: ZA = а, АС = с, АЕ - биссектриса. Найдите длину АЕ.
О т в е т : _______________________________________
С1. В параллелограмме ABCD диагональ АС разбивает
угол С на два угла: а и За, АС = с. Найдите площадь па
раллелограмма ABCD.
О т в е т : _________________________________________
31
Тест 12. Теорема косинусов
Вариант 1
А1. В треугольнике длины двух сторон равны 4 см и 7 см,
угол между ними равен 60°. Найдите длину третьей сто
роны.
□ 1)9 см
П3)6см
□ 2)V93 cm
□ 4 )\/3 7 см
А2. Стороны треугольника равны 3, 5 и 7. Найдите угол,
лежащий против большей по величине стороны.
□ 1)120°
0 3 )6 0 °
□ 2)90°
□ 4 )15 0 °
АЗ. В параллелограмме ABCD дано: AD = 6, ZBAD = 60°,
BE ± AD, BE - 4л/з. Найдите длину меньшей диагонали
параллелограмма.
В
С
□ 1) 2\/37
□ 2)2
□ 4)V52
В1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вер
шине В равен 120°, АС = 2л/2Т. Найдите длину медиа
ны AM.
О твет:
В2. Острый угол параллелограмма равен 60°, его площадь
равна 4>/3, меньшая диагональ равна 3. Найдите большую
диагональ параллелограмма.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
С1. В треугольнике АВС заданы стороны АВ - 7, ВС = 8
и угол ZC = 60°. Найдите площадь треугольника.
О т в е т : _________________________________________________________________
32
Тест 12. Теорема косинусов
Вариант 2
А1. В треугольнике длины двух сторон равны 5 см и 6 см,
угол между ними равен 120°. Найдите длину третьей сто
роны.
□ 1) л/9Т СМ
□
□ 2) 8 см
□ 4) 6 см
з)7зТ СМ
А2. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол,
лежащий против средней по величине стороны.
□ 1)45°
□ 3 )6 0 °
□ 2)90°
□ 4) 30°
АЗ. В параллелограмме ABCD дано: AD = 2, ZBAD = 60°,
BE _L AD, BE = 2>/з. Найдите длину большей диагонали
параллелограмма.
В
□ 1)7
□ 2) 277
с
□ 4)673
В1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вер
шине В равен 120°, АС - б77. Найдите длину медиа
ны AM.
О т в е т :
В2. Острый угол параллелограмма равен 60°, его площадь
равна 1177, меньшая диагональ равна 10. Найдите боль
шую диагональ параллелограмма.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
С1. В треугольнике АВС заданы стороны АВ = 16,АС= 14
и угол ZB = 60°. Найдите площадь треугольника.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
33
Тест 13. Скалярное произведение
векторов
Вариант 1
А1. В квадрате ABCD сторона равна 4. Диагонали пересе
каются в точке О. Найдите скалярное произведение век
торов АВ и OD.
□ 1)8^2
□ 2)-8
0 3)16
□ 4) -4\/2
А 2. Угол между векторами а и b равен 30°, и |а| = 2,
|б| = \[ъ. Найдите скалярное произведение векторов
т = 2 а - З Ь п п - а+ 2Ь.
□ D -9
□ 2)8
0 3 ) 11
П 4 )-7
А З. При каком значении т векторы a = 3i + mj и
Ъ = т1i - 6j образуют тупой угол?
□ l)m 0
□ 2)0/зг2
В1. В окружность вписан правильный четырехугольник,
и вокруг этой окружности описан правильный четырех
угольник. Найдите отношения периметров и площадей
этих четырехугольников.
От в е т :
В2. В окружность вписаны правильный шестиугольник
и квадрат. Площадь квадрата равна S. Найдите сторону
и площадь шестиугольника.
О т в е т : ___________________________________________
С1. Вокруг окружности описаны правильный треугольник
и квадрат. Найдите отношение площадей этих фигур.
О т в е т : ______________________________________________________________________
42
Тест 16. Правильные многоугольники.
Вписанная и описанная окружности
Вариант 2
А1. Найдите площадь правильного шестиугольника
со стороной а.
□ 1)373я2
□ 3) 2-Jba1
□ 2>^ог
П 4 ) ^ !
А2. В окружность радиуса R вписан правильный четырех
угольник. Найдите его площадь.
□ 1) 2R2
□ 2) 2V2 R2
□ 3)Т2Л2
□ 4)4 /2R2
л
АЗ. В правильный шестиугольник вписана окружность
радиуса г. Найдите площадь шестиугольника.
□ 1)7зг2
□ 2) 2ТЗг2
□ 3) Зл/Зг2
□ 4) А^Ъг2
В1. В окружность вписан правильный треугольник, и во
круг этой окружности описан правильный треугольник.
Найдите отношения периметров и площадей этих тре
угольников.
О т в е т : ___________________________________________
В2. В окружность вписаны правильный треугольник
и квадрат. Площадь квадрата равна S. Найдите сторону
и площадь треугольника.
О т в е т : ___________________________________________
С1. Вокруг окружности описаны квадрат и правильный
шестиугольник. Найдите отношение площадей этих фигур.
О т в е т : ___________________________________________
43
Тест 17. Длина окружности
и площадь круга
Вариант 1
А1. Радиусы концентрических окружностей равны 8 см
и 9 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими
окружностями.
I 11) 17л см2
□ 2) 15л см2
□ 3) 21л см2
□ 4) 18л см2
А2. Площадь круга равна S. Найдите длину окружности,
ограничивающей данный круг.
□ 1) Тл5
□ 2) л V s
□ 3)2 л/n S
□ 4) 2л V s
АЗ. Найдите площадь кругового сектора, если его радиус
равен 7 см и длина дуги равна 12 см.
□ 1) 64 см2
Q 3 ) 21л см2
П 2) 84 см2
□ 4) 42 см2
В1. Круговой сектор ограничен радиусами, равными 5 см,
и дугой в 90°. Найдите площадь круга, вписанного в этот
сектор.
О т в е т : ___________________________________________
В2. Центры двух пересекающихся окружностей располо
жены по разные стороны от их общей хорды. Хорда равна а
и служит в одной окружности стороной правильного впи
санного треугольника, а в другой - вписанного квадрата.
Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
О т в е т : ___________________________________________
С1. Дан треугольник со сторонами 15, 16 и 17. Найдите
радиусы вписанной в него и описанной около него окруж
ностей.
О т в е т : ___________________________________________
44
Тест 17. Длина окружности
и площадь круга
Вариант 2
А1. Радиусы концентрических окружностей равны 9 см
и 12 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими
окружностями.
Г~| 1) 42л см2
□ 2) 27я см2
Г~13) 63л см2
П 4) 9л см2
А2. Длина окружности, ограничивающей круг, равна с.
Найдите площадь данного круга.
□ 4) лс2
АЗ. Найдите площадь кругового сектора, если его радиус
равен 8 см и длина дуги равна 14 см.
Q 3) 56л см2
□ 1) 28 см2
□ 2) 56 см2
П 4) 42л см2
В1. Круговой сектор ограничен радиусами, равными 4 см,
и дугой в 60°. Найдите площадь круга, вписанного в этот
сектор.
О т в е т : _________________________________________
В2. Центры двух пересекающихся окружностей располо
жены по одну сторону от их общей хорды. Хорда равна а
и служит в одной окружности стороной правильного впи
санного треугольника, а в другой —вписанного квадрата.
Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
О т в е т : _________________________________________
С1. Дан треугольник со сторонами 17, 18 и 19. Найдите
радиусы вписанной в него и описанной около него окруж
ностей.
О т в е т : _________________________________________
45
Тест 18. Обобщение темы
«Длина окружности и площадь круга»
Вариант 1
А1. Найдите сумму углов правильного девятиугольника.
□ 1) 1440°
□ 3 ) 1080°
□ 2) 1260°
□ 4) 900°
А2. Хорда окружности, равная а, стягивает дугу в 90°. Най
дите радиус окружности.
□ 1 )^
□ 2 )^
П 4>^
АЗ. В прямоугольный треугольник с катетами, равными
8 см и 15 см, вписана окружность. Найдите ее радиус.
□ 1)2,5 см
□ 3)3 см
□ 2) 3,5 см
Ц 4)4см
А4. В окружность радиуса R вписан правильный треуголь
ник. Найдите разность площадей окружности и треуголь
ника.
□ 1)^-(2я-ЗТз)
□ 2 ) ^ ( д - 7 з)
□ 3 ) ^ - ( 4 д - ЗлУз)
□ 4)^ у(2л -3л/з)
А5. Даны две концентрические окружности. Площадь
кольца, ограниченного этими окружностями, равна S .
Найдите радиус большей окружности, если радиус мень
шей окружности равен г.
□ 3) Jnr2+ S
□2>'+#
46
□ 4) г + TtyfS
А6. В сегмент круга радиуса R, ограниченный дугой в 60°
и стягивающей ее хордой, вписана наибольшая окруж
ность. Найдите ее радиус.
В1. Углы правильного многоугольника равны 150°. Най
дите число сторон этого многоугольника.
О т в е т : _________________________________________
В2. Найдите площадь сегмента, ограниченного хордой
и дугой в 120°, если радиус окружности равен R.
О т в е т : ______________________________________________________________________
ВЗ. В угол вписаны две окружности, которые касаются
сторон угла и друг друга. Отношение площадей соответ
ствующих кругов равно 97 + 56>/3. Найдите величину
угла.
О т в е т : ______________________________________________________________________
В4. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60°
и 120°. Найдите отношение площадей этих кругов.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике основание равно
16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружностей и расстояние между
их центрами.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
С2. Три круга (площадь каждого из них равна S) касаются
друг друга. Найдите площадь круга, который внутренним
образом касается трех данных кругов.
О т в е т : ______________________________________________________________________
47
Тест 18. Обобщение темы
«Длина окружности и площадь круга»
Вариант 2
П 4 )^
4
АЗ. В прямоугольный треугольник с катетами, равными
5 см и 12 см, вписана окружность. Найдите ее радиус.
□ 1) 2,5 см
□ 3)3 см
□ 2) 2 см
□ 4) 3,5 см
А4. В окружность радиуса R вписан правильный шести
угольник. Найдите разность площадей окружности и ше
стиугольника.
□ 1)Л2( л - VJ)
□ 2)у(2л-3>/з)
□ 3)^-(2я-Тз)
□ 4 ) ^ ( 2 я -3 7 з)
А5. Даны две концентрические окружности. Площадь
кольца, ограниченного этими окружностями, равна S.
Найдите радиус меньшей окружности, если радиус боль
шей окружности равен R.
П1)Л. |
D 3)f r i
□ 2) 'JkR2 - S
48
Q 4 )R-nsfs
А6. В сегмент круга радиуса R, ограниченный дугой в 90°
и стягивающей ее хордой, вписана наибольшая окруж
ность. Найдите ее радиус.
В1. Углы правильного многоугольника равны 156°. Най
дите число сторон этого многоугольника.
О т в е т : ___________________________________________
В2. Найдите площадь сегмента, ограниченного хордой
и дугой в 60°, если радиус окружности равен R.
О т в е т : _________________________________________________________________
ВЗ. В угол вписаны две окружности, которые касаются
сторон угла и друг друга. Отношение площадей соответ
ствующих кругов равно 17 + 12л/2. Найдите величину
угла.
О т в е т : ____________________________________________
В4. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60°
и 90°. Найдите отношение площадей этих кругов.
О т в е т : ________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике основание равно
24 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружностей и расстояние между
их центрами.
О т в е т : _________________________________________________________________
С2. Три одинаковых круга касаются друг друга. Площадь
круга, который внутренним образом касается трех данных
кругов, равна S. Найдите площадь каждого данного круга.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
49
Тест 19. Осевая и центральная
симметрия
Вариант 1
А1. Укажите координаты точки, симметричной точке
А (—4; 3) относительной прямой, заданной уравнением
у=1.
□ 1) (-4; 2)
Ш М ;-!)
□ 2) (-2; 1)
□ 4 )(-2 ;-1 )
А2. Найдите точку, симметричную точке А (5; 3) относи
тельно точки В (3; 1).
□ 1) (4; 2)
□ 3) (2; 2)
□ 2) (1 ;-1 )
□ 4 )(1 ;1 )
АЗ. При симметрии относительно точки В точка
А (1; 3) переходит в точку А. (3; 5). В какую точку С, пе
реходит точка С (-2; -6 ) при той же центральной сим
метрии?
□ 1) (6; 14)
[H3)(10;6)
□ 2) (6; 8)
П 4 Н 8 ; 4)
В1. Укажите координаты точки, симметричной точке
А (3; 1) относительно прямой, заданной уравнением у = 2х.
О т в е т : _________________________________________
В2. Треугольник АВС имеет вершины А (2; 1), В (3; 6),
С (—1; —3). Этот треугольник отображается в треугольник
А1В1С1относительно точки/) (—5; 3). Найдите координаты
вершин А р Bv Сг
О т в е т : _________________________________________
С1. Найдите расстояние от точки А (3; 1) до прямой /, за
данной уравнением 2х —5у + 7 = 0.
Ответ:
50
Тест 19. Осевая и центральная
симметрия
Вариант 2
А1. Укажите координаты точки, симм етричной точке
А (5; 3) относительной прямой, заданной уравнениемх= 2.
□ 1) ( - 1; 3)
□ 3) (0; 3)
□ 2 )(2 ;3 )
|Ц 4 ) ( 1 ;3 )
А2. Найдите точку, симметричную точке А (—4; 3) отно
сительно точки В (2; 1).
□ 1) (2; 4)
□ 2) (1; 2)
|Ц З ) ( 8 ; - 1 )
□ 4 )(2 ;-1 )
АЗ. При симметрии относительно точки i? точка Л (—3; —1)
переходит в точку А { (5; 7). В какую точку С, переходит
точка С (3; 4) при той же центральной симметрии?
□ 1) (2; 3)
□ 3) (— 3; 1)
□ 2) (4; 5)
□ 4 )(-1 ;2 )
В1. Укажите координаты точки, сим м етричной точке
А (—1; 3) относительно прям ой, заданной уравнением
у = 2х.
О т в е т : _____________________________________________
В2. Треугольник АВС имеет верш ины А (1; 5), В (2; 7),
С (—3; —1). Этот треугольник отображается в треугольник
А]В{С\ относительно точки D (—4; 2). Найдите координаты
вершин А х, ВХ, С У
О т в е т : _____________________________________________
С1. Найдите расстояние от точки А (2; 3) до прямой /, за
данной уравнением Зх - 5у + 2 = 0.
О твет:
51
Тест 20. Параллельный перенос
и поворот
Вариант 1
А1. В результате параллельного переноса точка Л (—1; 3)
переходит в точку А] (2; 4), аточка7?(1; —3) —в точку Ву
Найдите координаты точки Ву
□ 3) (1; 7)
□ 1) (4; -2 )
□ 4) (4; 0)
□ 2) (4; 3)
А2. Точка А (7; —3) переходит в точку Ах при повороте
на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат.
Укажите координаты точки Ау
□ 3) (3; -7 )
□ О (-7 ; 3)
□ 4) (3; 7)
□ 2) (-7 ; -3 )
АЗ. Напишите уравнение прямой, которая получается
параллельным переносом прямой 2х —Зу = 1 на вектор
о {5; - 9}.
□ 1) 2х —Зу = 28
□ 2) 2х —Зу = 38
□ 3 ) 2 х - 3 у = 41
□ 4) 2х —Зу = 24
В1. При параллельном переносе точка Л (4; 3) переходит
в точку А х (5; 4). Напишите уравнение кривой, в которую
переходит парабола у - х2—Зх + 1 при таком движении.
О т в е т : ___________________________________________
В2. Составьте уравнение образа окружности х2+ у2+ 8х —
—6у — 11 = 0 при повороте на 90° по часовой стрелке от
носительно начала координат.
О т в е т : _________________________________________
С1. При параллельном переносе прямая Зх+у + 5 = 0 пе
реходит в прямую Зх + у — 11 = 0, а прямая х —у + 3 = 0 —
в прямую х —у — 1 = 0 . Найдите координаты точки А у
в которую при этом параллельном переносе переходит
точка Л (—4; 2).
О т в е т : _________________________________________
52
Тест 20. Параллельный перенос
и поворот
Вариант 2
А1. В результате параллельного переноса точка Л (3; —2)
переходит в точку Л, (—2; 1), а точка В (1; 2) —в точку Ву
Найдите координаты точки Ву
□ 1) (5; -3 )
□ 3) (1; —5)
□ 2 )(-3 ;5 )
1 Ц 4 )(-4 ;5 )
А2. ТочкаЛ (8; 4) переходит в точку А, при повороте на 90°
по часовой стрелке вокруг начала координат. Укажите ко
ординаты точки А у
□ 1) (4; 8)
□ 3 (-8 ; —4)
□ 2) (4 ;-8 )
□ 4) (—4; —8)
АЗ. Напишите уравнение прямой, которая получается
параллельным переносом прямой Зх + 4у = 5 на вектор
я {-7; 6}.
□ 1) Зх + 4у = 9
□ 2)Зх + 4у = - 1
□ 3) Зх + 4у = 8
□ 4) Зх + 4у = 2
В1. При параллельном переносе точкаЛ (3; —2) переходит
в точку 4, (2; -1). Напишите уравнение кривой, в которую
переходит парабола у = х2 + 5х — 1 при таком движении.
О т в е т : ___________________________________________
В2. Составьте уравнение образа окружности х2+у2 —6х +
+ 8у — 11 = 0 при повороте на 90° против часовой стрелки
относительно начала координат.
О т в е т : ___________________________________________
С1. При параллельном переносе прямая 2х —у т 2 = О
переходит в прямую 2х —у - 3 = 0 ,а прямая х
+ !- 0 в прямую х+у —3 = 0. Найдите координаты точки Ау в ко
торую при этом параллельном переносе переходит точка
А ( - 1; 2).
О т в е т : ___________________________________________
53
Тест 21. Обобщение темы «Движения»
Вариант 1
А1. Напишите уравнение прямой т, симметричной пря
мой п, заданной уравнением х —у + 3 = 0, относительно
о с и х = 2.
□ \ ) х —у+ 1 = 0
□ 3 )х -у + 5=0
□ 2 ) х + у —7 = 0
□ 4 )х + у + 1 = 0
А2. ТочкаД, (—3; 1) симметрична точке А (9; —5) относи
тельно точки А. Найдите координаты центра Асимметрии.
А4. Д ан отрезок АВ с координатами концов А ( 1; —5)
и В (4; —3). При параллельном переносе на вектор а {-6; 1}
этого отрезка получен отрезок Л, А,. Найдите координаты
концов отрезка Д , А,.
□ 1 )Л ,(5 ;4 ),А , (2; 2)
□ 2) Д, (—5; —4), А, (2; 2)
□ 3) Д, (—5; —4), А, (-2 ; - 2 )
□ 4)Д, (5; 4), А, ( -2 ; - 2 )
А5. Напишите уравнение прямой т, которая получается
при параллельном переносе прямой п, заданной уравне
нием Зх —5у —2 = 0, на вектор а {-2; 3}.
□ 1) Зх —5у —5 = 0
□ 2)3х —5у+ 19 = 0
□ 3) Зх - 5у + 1 = 0
□ 4) Зх —5у + 6 = 0
А6. Отрезок Д А с координатами концов Д (—3; 2), А (4; —5)
повернут на угол 180° вокруг начала координат и в резуль
тате этого получен отрезокД ^,. Найдите координаты кон
цов этого отрезка.
□ о д , (3; - 2 ) , А, ( -4 ; 5)
□ 2) Д, (3; —2), А, (5; - 4 )
□ 3 ) Д ,( - 2 ; 3), А, (-4 ; 5)
□ 4 )Д ,(3 ; 2), А, (5; 4)
54
В1. Точка A t (—3; 1) симметрична точке А (—5; 3) относи
тельно прямой т. Напишите уравнение прямой т.
О т в е т : ___________________________________________
В2. Напишите уравнение кривой, в которую переходит
парабола у =х2—1х + 5 при ее отображении относительно
начала координат.
О твет:
ВЗ. При параллельном переносе на вектор а {-2; 1} график
х +3
зависимости у переходит в некоторую кривую.
2х - 5
Напишите уравнение этой кривой.
Ответ:
В4. Составьте уравнение образа окружности х 2 + у 2 —10.x + 12у = 0 при повороте на 270° против часовой стрел
ки относительно начала координат.
О т в е т : ________________________________________
С1. В результате некоторого движения точка А (—8; 5) пе
реходит в точку А { (6; 3), а точка В (2; 11) — в точку
Л, (—4; —3). В какую точку при таком движении переходит
точка С (1; 3)?
О т в е т : ________________________________________
С2. Найдите расстояние между параллельными прямыми,
заданными уравнениями 2х— Зу —5 = 0 и 2 х —Зу— 12 = 0.
О т в е т : __________________________________________
55
Тест 21. Обобщение темы «Движения»
Вариант 2
А1. Напишите уравнение прямой т, симметричной пря
мой п, заданной уравнением х + у + 4 = 0, относительно
оси у= 1.
□ 1 )х -у + 5 = 0
П З )х -у + 4= 0
□ 2 )х -у + 3= 0
П 4 )х -у + 6=0
А2. Точка А, (—4; —2) симметрична точке А (2; —8) относи
тельно точки А. Найдите координаты центра Асимметрии.
□ 1) (5; 1)
Щ З ) ( - 1 ;- 5 )
□ 2) (—5; —1)
□ 4 ) ( 1 ;5 )
АЗ. Определите оси симметрии графика зависимости, ко
торая задается уравнением 2|х - 2| + 3|у + 4| = 7.
□ 1)х = —2,у = 4
□ 3 ) х = 2,у = 4
□ 2)х = 2,у = —4
□ 4 ) х = - 2 ,у = - 4
А4. Дан отрезок АВ с координатами концов А (—3; 4)
и А (2; —1). При параллельном переносе на вектор а {4; - 2}
этого отрезка получен отрезок Л(А,. Найдите координаты
концов отрезка А ,А,.
□ \ ) А Х(1; 2), А, (-6 ; 3)
□ 2 )/1 ,(-1 ;2 ), А, (6; -3 )
□ 3)Л, (-1 ; -2 ), А, (6; -3 )
Н И М , (1; 2), А, (6; -3 )
А5. Напишите уравнение прямой т, которая получается
при параллельном переносе прямой п, заданной уравне
нием 2х + 1у —3 = 0, на вектор а {3; - 4}.
□ 1)2х + 7у —7 = 0
□ 3 ) 2 х + 7у+19 = 0
□ 2) 2х + 7у + 1 = 0
П 4 ) 2 х + 7у+12 = 0
А6. Отрезок АВс координатами концов Л (2; —3), А (—7; 1)
повернут на угол 180° вокруг начала координат и в резуль
тате этого получен отрезок А {Ву Найдите координаты кон
цов этого отрезка.
□ 1)^, (2; —3), А, (7; —1)
□ 2 М ,(-2 ; 3)>Я, (7; -1)
□ 3)Л, (—2; 3), А, (—7; —1)
□ 4) А х (2; —3), А, ( - 7 ; - 1 )
56
В1. Точка Л, (—5; —1) симметрична точке А (3; —3) отно
сительно прямой т. Напишите уравнение прямой т.
О т в е т : ___________________________________________________________________________________
В2. Напишите уравнение кривой, в которую переходит
парабола у =—х2+ Ъх+7 при ее отображении относительно
начала координат.
О т в е т : ___________________________________________
ВЗ. При параллельном переносе на вектор а {-1; 2} график
2х -1
зависимости у = ------- переходит в некоторую кривую.
х +Ъ
Напишите уравнение этой кривой.
О т в е т : ___________________________________________
В4. Составьте уравнение образа окружности х2+у2+ 6х —
—8у = Опри повороте на 270° против часовой стрелки от
носительно начала координат.
О т в е т : ________________________________________
С1. В результате некоторого движения точка А (—3; 1) пе
реходит в точку А { (9; 3), а точка В (2; —4) — в точку
Вх (4; 8). В какую точку при таком движении переходит
точка С (5; —2)?
О т в е т : _____________________________________________
С2. Найдите расстояние между параллельными прямыми,
заданными уравнениями Зх + 5у —8 = 0 и Ъх + 5у + 11 = 0.
О т в е т : ________________________________________
57
Тест 22. Итоговый
по программе 9 класса
Вариант 1
А1. Вектор с разложен по неколлинеарным векторам а
и Ъ следующим образом: с = З а - 5Ъ. Найдите разложение
вектора Ъ по векторам а и с.
□»Нг
пз,1Чг
А2. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью,
заданной уравнением х 2 + у 2 - 4х + 6у + 3 = 0.
□ 1) 12л
□ 3 )1 0 л
Ц 2 )8 я
I 14> Зл
АЗ. Напишите уравнение прямой, проходящей через точ
ку А (—3; 1) и перпендикулярной вектору п (2; 5).
□ 1)5х+ 2у+ 13 = 0
□ 2)2х + 5у —2 = 0
□ 3) 5х + 2у + 4 = 0
□ 4) 2х + 5у + 1 = 0
А4. Найдите величину |4e + V2^|, если |я| = 1, |й| = 2 и угол
между векторами а и Ъ равен 45°.
□ D2VT0
□ 3) 2 V2
□ 2)VlO
D 4 )4 V 2
А5. Найдите отношение площадей правильных четы
рехугольника и треугольника, вписанных в одну и ту же
окружность.
□ 1 )8 7 2 :9
□ 2) 4 7 2 :3
□ 3) 873:9
□ 4) 473:9
А6. Чему равны координаты точки, симметричной точке
А (—3; —1) относительно прямой, заданной уравнением
У = 2?
□ 1) (-3 ; 1)
□ 3) (5; —3)
□ 2) (— 3 ; — 3)
□ 4) (—3; 5)
58
В1. Дано: AB - a, AC = b. Точка E лежит на отрезке ВС,
B E : ЕС = 2 : 3 . Разложите вектор АЕ по неколлинеарным
векторам а и Ь.
О т в е т : ___________________________________________
В2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) медиа
на AM =т проведена к меньшему катету и образует с боль
шим катетом угол 22°30'. Найдите площадь треугольника.
О т в е т : __________________________________________
ВЗ. Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга.
Найдите площадь криволинейного треугольника, огра
ниченного дугами этих окружностей.
О т в е т : _________________________________________________________________
В4. Напишите уравнение окружности, симметричной
окружности, заданной уравнением х 2 + у 2 + 6х - 8^ = 0,
относительно точки А (-1 ; 3).
О т в е т : ________________________________________
С1. Окружности радиусов RviAR касаются внешним об
разом. К этим окружностям проведена общая касатель
ная АВ. В криволинейный треугольник АВС (см. рис.), об
разованный касательной и дугами окружностей, вписана
окружность. Найдите ее радиус.
В
О т в е т : ________________________________________
С2. Высоты треугольника равны 12,8 и 6. Найдите радиу
сы вписанной и описанной окружностей.
О т в е т : __________________________________________
59
Тест 22. Итоговый
по программе 9 класса
Вариант 2
А1. Вектор с разложен по неколлинеарным векторам а
и b следующим образом: с - -2а + 3Ь. Найдите разложение
вектора а по векторам Ъ и с.
П 4 ) |б + ^
А2. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью,
заданной уравнением х 2 + у 2 + 8х - 6у + 7 = 0.
□ 1)7л
0 3 ) 20л
□ 2) 16л
Q] 4) 18л
АЗ. Напишите уравнение прямой, проходящей через точ
ку А (3; —4) и перпендикулярной вектору п (2; 3).
□ 1 )2 х -З у + 4 = 0
□ 2)2х+ 3у + 6 = 0
[~~| 3) Зх —2у + 6 = 0
□ 4) Зх + 2у — 1 = 0
А4. Найдите величину |2а - 7з/>|, если |й| = 3, |б| = 2 и угол
между векторами а и Ь равен 30°.
□ 1) 2л/з
ПЗ)Т15
□ 2) 6 - 2л/з
0 4 )2 7 2 1
А5. Найдите отношение площадей правильных шести
угольника и четырехугольника, вписанных в одну и ту же
окружность.
□ 1) зТз : 2
□ 2)273 :3
□ 3) зТз : 4
□ 4)473 :3
А6. Чему равны координаты точки А г симметричной точ
ке А (—2; —3) относительно прямой, заданной уравнением
х = 1?
□ 3) (-3 ; 4)
□ 1) (4; -3 )
□ 4) (—3; —1)
□ 2) ( - 1; - 3)
60
В1. Дано: AB = a, BD = b. Точка E лежит на отрезке ВС,
B E : ЕС = 3 : 4 . Разложите вектор АЕ по неколлинеарным
векторам а и Ъ.
О т в е т : ___________________________________________
В2. В прямоугольном треугольнике ABC ( Z C - 90°) медиа
на A M - т проведена к меньшему катету и образует с боль
шим катетом угол 15°. Найдите площадь треугольника.
О т в е т : __________________________________________
ВЗ. Три окружности радиуса 6 см касаются друг друга.
Найдите площадь криволинейного треугольника, огра
ниченного дугами этих окружностей.
О т в е т : _________________________________________________________________
В4. Напишите уравнение окружности, симметричной
окружности, заданной уравнением х 2 + у 2 + 8х - 6у = 0,
относительно точки А (1; 2).
О т в е т : ________________________________________
С1. Окружности радиусов 4R и 9R касаются внешним об
разом. К этим окружностям проведена общая касатель
ная АВ. В криволинейный треугольник АВС (см. рис.), об
разованный касательной и дугами окружностей, вписана
окружность. Найдите ее радиус.
В
О т в е т : ________________________________________
С2. Высоты треугольника равны 3,4 и 6. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружностей.
О т в е т : __________________________________________
61
Тест 23. Итоговый по курсу геометрии
(7 -9 классы)
Вариант 1
А1. Найдите высоты равнобедренного треугольника, если
его боковая сторона равна 30 см, а основание равно 36 см.
□ 1) 24 см и 28 см
□ 2) 12 см и 28 см
144
□ 3) 24 см и - у см
□ 4) 24 см и 14 см
А2. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, при
чем A M : МС = 2 : 7 . Найдите площадь треугольника МВС,
если площадь треугольника АВС равна 72 см2.
□ 1)28 см2
Q 3 ) 1 6 cm2
□ 2) 56 см2
□ 4) 32 см2
АЗ. Основания трапеции равны 16 см и 20 см, а одна
из диагоналей равна 18 см. Найдите длины отрезков,
на которые точка пересечения диагоналей трапеции де
лит эту диагональ.
□ 1) 8 см и 10 см
□ 2) 12 см и 6 см
□ 3) 4 см и 14 см
□ 4) 2 см и 16 см
А4. На стороне AD параллелограмма ABCD взяли точку М.
Найдите площадь треугольника МСВ, если площадь па
раллелограмма равна 34 см2.
□ 1)21 см2
□ 3)30 см2
□ 2) 28 см2
□ 4) 17 см2
А5. Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь
ник, если один из углов треугольника равен 120°, а рас
стояние от центра окружности до вершины этого угла
равно с.
□ 1)сД
D 3 )^
□ 2 )^
62
П 4)|
А6. В прямоугольную трапецию вписана окружность.
Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны
равны 14 см и 22 см.
□ 1) 252 см2
Q 3) 308 см2
□ 2) 126 см2
□ 4) 154 см2
В1. Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобед
ренного треугольника АВС так, что AM = 3 см. Найдите
длину отрезка ВМ, если АВ = АС = 9 см, ВС = 6 см.
О т в е т : _________________________________________________________________
В2. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пе
ресекаются в точке К, лежащей на стороне CD. Найдите
площадь параллелограмма, если ВС= 12 см, а расстояние
от точки А'до стороны АВ равно 4 см.
О т в е т : __________________________________________
ВЗ. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла,
делит ромб на треугольник с площадью 40 см2 и трапе
цию с площадью 60 см2. Найдите диаметр окружности,
вписанной в ромб.
О т в е т : __________________________________________
В4. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания вписанной окружности с одним из катетов
делит этот катет на отрезки 6 см и 5 см. Найдите диаметр
окружности, описанной около треугольника.
О т в е т : ___________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике угол при основании
равен 72°, биссектриса этого угла равна V20. Найдите сто
роны треугольника.
О т в е т : __________________________________________
С2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны
точки М, К и Р так, что A M : МВ = 1 : 2 , В К : КС = 2 : 3 .
СР: РА= 1:3. Найдите площадь треугольника МРК, если
площадь треугольника АВС равна S.
О т в е т : ________________________________________
63
Тест 23. Итоговый по курсу геометрии
(7-9 классы)
Вариант 2
А1. Найдите высоты равнобедренного треугольника, если
его боковая сторона равна 17 см, а основание равно 30 см.
□ 1) 8 см и 14 см
I—| о
240
М 2) 8 см и ---- см
17
□ 3) 4 см и 14 см
□ 4) 8 см и 7 см
А2. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, при
чем A M : МС = 3 :5 . Найдите площадь треугольника АВС,
если площадь треугольника АВМ равна 48 см2.
□ 1) 128 см2
□ 2) 80 см2
□ 3) 72 см2
□ 4) 108 см2
АЗ. Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а одна
из диагоналей равна 20 см. Найдите длины отрезков,
на которые точка пересечения диагоналей трапеции де
лит эту диагональ.
□ 1) 14 см и 6 см
□ 2) 7 см и 13 см
□ 3) 8 см и 12 см
□ 4) 4 см и 16 см
А4. На стороне АВ параллелограмма ABCD взяли точку М.
Найдите площадь параллелограмма, если площадь тре
угольника MCD равна 54 см2.
□ 1)162 см2
□ 3) 128 см2
□ 2) 108 см2
□ 4 ) 8 1 см2
А5. Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь
ник, если один из углов треугольника равен 90°, а расстоя
ние от центра окружности до вершины этого угла равно с.
□ 1) сл/2
П З^л/З
□ 2 )^
64
П4>^
А6. В прямоугольную трапецию вписана окружность.
Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны
равны 8 см и 18 см.
□ 1) 72 см2
I 13) 104 см2
□ 2) 64 см2
LJ 4) 144 см2
В1. Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобед
ренного треугольника АВС так, что AM - 4 см. Найдите
длину отрезка ВМ, если АВ = АС - 16 см, ВС = 8 см.
О т в е т : _________________________________________
В2. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пе
ресекаются в точке К, лежащей на стороне AD. Найдите
площадь параллелограмма, если АВ = 9 см, а расстояние
от точки К до стороны ВС равно 6 см.
О т в е т : _________________________________________
ВЗ. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла,
делит ромб на треугольник с площадью 30 см2 и трапе
цию с площадью 70 см2. Найдите диаметр окружности,
вписанной в ромб.
О т в е т : _________________________________________
В4. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания вписанной окружности с одним из катетов
делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. Найдите диаметр
окружности, описанной около треугольника.
О т в е т : _________________________________________
С1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен 36°, биссектриса угла при основании равна V80.
Найдите стороны треугольника.
О т в е т : _________________________________________
С2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны
точки М, К и Р так, что A M : МВ = 2 : 1 , В К : КС = 3 : 2 ,
СР: РА = 3 : 1. Найдите площадь треугольника АВС, если
площадь треугольника МРК равна S.
О т в е т : _________________________________________
65
ПРИЛОЖ ЕНИЯ
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа № 1.
Понятие вектора
Вариант 1
1. В выпуклом четырехугольнике ABCDточки К, L, М,
N — середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно.
Установите связь между векторами XX, MN и АС.
2. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 12
и AD = 10 точка К е АВ и А К : КВ - 1 : 2 , точка L е CD
и CL : LD= 1: 3. Найдите величину |хх|.
3. В равностороннем треугольнике АВС со стороной
а отрезок AD - медиана. Точка Е —середина отрезка BD.
Найдите величину |лх|.
Вариант 2
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки К, L,M ,
N — середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно.
Установите связь между векторами NK, LM и BD.
2. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ - 20
и AD = 12 точка К е АВ и А К : КВ = 2 : 3 , точка X е CD
и CL : LD= 1 : 4. Найдите величину |ах |.
3. В равностороннем треугольнике АВС со стороной
а отрезок AD —медиана. Точка Е е BD и B E : ED = 1 : 2 .
Найдите величину \АЕ\.
66
Самостоятельная работа № 2.
Сложение и вычитание векторов
Вариант 1
1. Используя правило многоугольника, упростите вы
ражение: А В - СВ - МС + MD - KD.
* 2. Пусть А В = 5, ВС = 12, Z.B = 90°. Найдите величины
Ш - Ж \ п \а в \ - ^ с \.
3. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите ве
личину |Дб - CD + BD - 6С|.
Вариант 2
1. Используя правило многоугольника, упростите вы
ражение: СВ - С А - МК + BD - KD.
2. Пусть АВ= 15, ВС= 8, Z B - 90°. Найдите величины
\а в - Ж \ и \а в \-\Ж \.
3. Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите ве
личину |ДС - DA + AD - С/)|.
Самостоятельная работа № 3. Умножение вектора
на число. Применение векторов к решению задач
Вариант 1
1. В параллелограмме ABCD точка К е АВ и А К : КВ =
= 3:1, точка L е AD и AL : LD = 4: 3. Выразите вектор LK
через неколлинеарные векторы АВ и AD.
2. Даны неколлинеарные векторы а и Ь. При каких
значениях с векторы т = (с + \)а + ЗЬ и п - 5а + {с- 1)Ъ
коллинеарны? Для этих значений с установите связь ме
жду векторами т ип.
3. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС известно,
что ZA = 45°, ZD - 30°, ВС - 4, CD =12. Найдите величину
^ (a b - d c) + bc .
Вариант 2
1. В параллелограмме ABCD точка К е ВС и ВК : КС =
= 2:3, точка L € CD и C L : LD = 5:3. Выразите вектор LK
через неколлинеарные векторы АВ и AD.
67
2. Даны неколлинеарные векторы а и Ь. При каких
значениях с векторы т - (с + 2)а + 7Ь и п - За + (с - 2)Ъ
коллинеарны? Для этих значений с установите связь ме
жду векторами т ип .
3. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС известно,
что Z A - 4 5 0, ZD = 30°, ВС =6, CD= 16. Найдите величину
U^b a - c d ) + J d .
Самостоятельная работа № 4.
Координаты вектора
Вариант 1
1. Векторы т = За - 4Ьип = 5а + 2Ь разложены по неколлинеарным векторам а и Ъ. Найдите разложение век
торов а и b по векторам ти п.
2. Найдите координаты вектора т = 2^3а +
+ з(а + 2 если а {-1; 2} и Ъ {2; - 3}.
3. При каких значениях с для векторов от {1 - с; 3}
и п |с 2 - 13; 1- 2с} выполнено равенство п = -3 от?
Вариант 2
1. Векторы от = За + 2Ь и п = 5а - 4Ь разложены по неколлинеарным векторам аиЪ. Найдите разложение век
торов а и Ъ по векторам т ип.
2. Найдите координаты вектора т -3 [ 5 а + 2Щ- ${а + зЦ, если а {-2; 5} и Ъ {3; - 4}.
3. При каких значениях с для векторов п{с + 2; 4}
и от |3с2 - 7; 5с + lj выполнено равенство от = 4л?
Самостоятельная работа № 5.
Простейшие задачи в координатах
Вариант 1
1. Вершины треугольника АВС имеют координаты
А (—4; 2), В (2; —8), С (10; 16). ОтрезокAD —медианатре68
угольника ABC, а АЕ —медиана треугольника ACD. Най
дите АЕ и |Afij.
2. На осях координат найдите точки, равноудаленные
от концов отрезка АВ, если А (—3; 5) и В (6; 4).
3. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный,
и найдите его площадь, если вершины треугольника име
ют координаты А (0; 1), В (\; -4 ), С (5; 2).
Вариант 2
1. Вершины треугольника АВС имеют координаты
А (—4; 2), В (2; —8), С (10; 16). Отрезок AD —медиана тре
угольника АВС, а АЕ —медиана треугольника ABD. Най
дите АЕ и \а е \.
2. На осях координат найдите точки, равноудаленные
от концов отрезка АВ, если А (4; —3) и В (8; 1).
3. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный,
и найдите его площадь, если вершины треугольника име
ют координаты А (-4 ; 1), В (—2; 4), С(1; 2).
Самостоятельная работа № 6.
Уравнение окружности
Вариант 1
1. Напишите уравнение окружности, которая прохо
дит через точки А (-7 ; 8) и В (-3 ; —4). При этом хорда АВ
является диаметром окружности.
2. Д аны о кр у ж н о сть, зад ан н ая у р авн ен и ем
х 1 + у 2 - 4х - 5 = 0, и точка А (5; 4). Напишите уравнение
окружности, имеющей центр в данной точке и касающей
ся данной окружности внешним образом.
3. В квадрат площадью S вписана окружность. Дока
жите, что сумма квадратов расстояний от любой точки
окружности до вершин квадрата есть величина постоян
ная, и найдите эту величину.
Вариант 2
1. Напишите уравнение окружности, которая прохо
дит через точки А (—5; 6) и В (—1; 4). При этом хорда АВ
является диаметром окружности.
69
2. Д а н ы о к р у ж н о с т ь , з а д а н н а я у р а в н е н и е м
х 2 + у 2 - 2у - 8 = 0, и точка А (4; 4). Напишите уравнение
окружности, имеющей центр в данной точке и касающей
ся данной окружности внешним образом.
3. Около квадрата площадью S описана окружность.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точ
ки окружности до вершин квадрата есть величина посто
янная, и найдите эту величину.
Самостоятельная работа № 7.
Уравнение прямой
Вариант 1
1. Координаты вершин треугольника А (2; —6), В (4; 2)
и С (0; —4). Напишите уравнение прямой, содержащей сред
нюю линию треугольника, которая параллельна стороне А С.
2. Н айдите площ адь треугольника, ограниченного
прямыми, заданны ми уравнениями у — х = 0, у + х = 0
и у - 2 х + 4 = 0.
3. П рям ая 2у + х — 4 = 0 пересекает окруж ность
х2+у2= 5. Найдите длину хорды, которая отсекается этой
окружностью на прямой.
Вариант 2
1. Координаты вершин треугольника А (4; —8), В (—2; 6)
и С (2; 4). Напишите уравнение прямой, содержащей сред
нюю линию треугольника, которая параллельна стороне А С.
2. Найдите площ адь треугольника, ограниченного
прямыми, заданны ми уравнениями у + х = 0, у — х = 0
и 2у —х + 6 = 0.
3. П рям ая у — Зх + 1 = 0 пересекает окруж ность
х2 +у 2= 5. Найдите длину хорды, которая отсекается этой
окружностью на прямой.
Самостоятельная работа № 8.
Синус, косинус и тангенс угла
Вариант 1
1. Известно, что tg a = ——и 90° < a < 180°. Найдите
значение cos а.
^
70
2. Найдите значение выражения
sin251° + sin239°
+ V3tg60°.
cos263° + sin2117°
3. Упростите выражение
sin3a + cos3a sin3a - cos3a
------------------ + ------------------- .
sin a - cos a
sin a + cos a
Вариант 2
1. Известно, что tg a =
и 90° < a < 180°. Найдите
значение cos a.
^
2. Найдите значение выражения
sin254° + cos2126'
+ 5V2cos45°.
cos228° + cos262°
3. Упростите выражение
sin3a + cos3a sin3a - cos3a
: (sin a • cos a).
sin a + cos a
sin a - cos a
Самостоятельная работа № 9.
Теорема о площади треугольника
Вариант 1
1. Пусть ВС - а, АС = b, ZC = а. Медианы ААХи ВВХ
треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите пло
щадь треугольника АОВ{.
2. Найдите площадь выпуклого четырехугольника,
диагонали которого 3\/2 см и 6 см, а угол между ними ра
вен 45°.
3. Пусть ВС = а, АС = Ь, АС = а. Из вершины С тре
угольника АВС проведена биссектриса CD. Найдите пло
щадь треугольника ACD.
Вариант 2
1. Пусть АВС ВС = а, АС = Ь, АС = а. Медианы ААХ
и ВВХтреугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника АОС.
2. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диа
гонали которого 8л/з см и 5 см, а угол между ними равен 60°.
71
3. Пусть ВС = а, АС = b, ZC = а. Из вершины С тре
угольника АВС проведена биссектриса CD. Найдите пло
щадь треугольника BCD.
Самостоятельная работа № 10.
Теорема синусов
Вариант 1
1. В треугольнике АВС дано: /.А - a, ZB - |3, АВ = с.
Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описан
ной около треугольника.
2. В окружность радиуса R с центром О вписан тре
угольник ABC (ZA - а < 90°). Вокруг треугольника ВОС
описана окружность. Найдите ее радиус. (Указание: ис
пользуйте формулу sin 2а = 2sina cos а.)
3. В треугольнике АВС даны углы ZA = a, ZB = Р;
D —точка пересечения биссектрис. Радиус окружности,
описанной около треугольника АВС, равен R. Найдите
радиус окружности, проходящей через точки A, D, В.
Вариант 2
1. В треугольнике АВС дано: ZA - a, ZB = р, ВС = а.
Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описан
ной около треугольника.
2. В окружность радиуса R с центром О вписан тре
угольник ABC (ZA = a, ZB = Р, a + Р < 90°). Вокруг тре
угольника АОВ описана окружность. Найдите ее радиус.
{Указание: используйте формулу sin 2a = 2sin a cos a.)
3. В треугольнике ABC дан угол ZA = a, D — точка пе
ресечения биссектрис. Радиус окружности, описанной
около треугольника АВС, равен R. Найдите радиус окруж
ности, проходящей через точки В, D, С.
Самостоятельная работа № 11.
Теорема косинусов
Вариант 1
1. Стороны треугольника равны 6 см и 8V2 см, угол
между ними равен 45°. Найдите длину третьей стороны
треугольника.
72
2. В параллелограмме стороны и одна из диагоналей
равны 4 см, 6 см, 7 см соответственно. Найдите длину дру
гой диагонали параллелограмма.
3. В треугольнике АВС заданы стороны АВ - 4, ВС - 5.
Площадь треугольника равна 5\/з. Найдите высоту, опу
щенную из вершины В, если 90° < ZB < 180°.
Вариант 2
1. Стороны треугольника равны 4 см и 6>/3 см, угол
между ними равен 30°. Найдите длину третьей стороны
треугольника.
2. В параллелограмме стороны и одна из диагоналей
равны 5 см, 6 см, 8 см соответственно. Найдите длину дру
гой диагонали параллелограмма.
3. В треугольнике АВС заданы стороны АВ=4\[3, ВС= 3.
Площадь треугольника равна 3\/3. Найдите высоту, опу
щенную из вершины В, если 90° < ZB < 180°.
Самостоятельная работа № 12.
Скалярное произведение векторов
Вариант 1
1. Н айдите скалярное произведение векторов
т = За - 46 и п = 2а + 5Ь, если |/з, |5| = 3 и угол между
векторами а и b равен 30°.
2. В треугольнике АВС дано: АВ = 4, ВС = 6, ZB - 90°.
Найдите косинус угла между медианами АА1и ВВХданного
треугольника.
3. Найдите косинус угла между прямыми, заданными
уравнениями Зх —4у + 8 = 0 и 12х + 5у —19 = 0.
Вариант 2
1. Н айдите скалярное произведение векторов
т = 2а + 36 и п = 4а - 5^, если |а| = 2, |б| = 3-J2 и угол между
векторами а и b равен 45°.
2. В треугольнике АВС дано: АВ - 12, ВС=6, ZB = 90°.
Найдите косинус угла между медианами BBi и СС, дан
ного треугольника.
73
Самостоятельная работа № 13.
Правильные многоугольники
Вариант 1
1. В правильном многоугольнике отношение его сто
роны к расстоянию от стороны до центра многоугольни
ка равно 2л/3. Определите число сторон этого многоуголь
ника.
2. В правильном шестиугольнике найдите углы между
диагоналями, выходящими из одной вершины.
3. ABCDEF— правильный шестиугольник. Площадь
треугольника АВС равна S см2. Найдите площадь шести
угольника.
Вариант 2
1. В правильном многоугольнике отношение его сторо
ны к расстоянию от стороны до центра многоугольника
2л/3
равно —— . Определите число сторон этого многоугольника.
2. В правильном пятиугольнике найдите угол между
диагоналями, выходящими из одной вершины.
3. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF
равна S см2. Найдите площадь треугольника АВС.
Самостоятельная работа № 14.
Вписанная и описанная окружности
Вариант 1
1. Вокруг правильного шестиугольника описана
окружность. В этот же шестиугольник вписана окруж
ность. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
2. Вокруг одной и той же окружности описаны пра
вильные треугольник и четырехугольник. Найдите отно
шение площадей этих фигур.
3. Сторона описанного правильного четырехуголь
ника на 3 больше стороны правильного треугольника,
74
вписанного в ту же окружность. Найдите сторону тре
угольника.
Вариант 2
1. Вокруг правильного треугольника описана окруж
ность. В этот же треугольник вписана окружность. Най
дите отношение радиусов этих окружностей.
2. Вокруг одной и той же окружности описаны пра
вильные четырехугольник и шестиугольник. Найдите от
ношение площадей этих фигур.
3. Сторона описанного правильного треугольника на 5
больше стороны правильного четырехугольника, вписан
ного в ту же окружность. Найдите сторону треугольника.
Самостоятельная работа № 15.
Длина окружности и площадь круга
Вариант 1
1. Вычислите радиус окружности, длина которой рав
на сумме длины окружности с радиусом 9 см и длины дуги
окружности с радиусом 20 см и центральным углом 18°.
2. В круг вписан прямоугольный треугольник с кате
тами, равными 8 см и 15 см. Найдите разность площадей
этих фигур.
3. В сектор с центральным углом 90° вписан круг так,
что он касается радиусов и дуги. Найдите отношение пло
щади сектора к площади круга.
Вариант 2
1. Вычислите радиус окружности, длина которой рав
на разности длины окружности с радиусом 16 см и дли
ны дуги окружности с радиусом 40 см и центральным
углом 9°.
2. В круг вписан прямоугольный треугольник с кате
тами, равными 5 см и 12 см. Найдите разность площадей
этих фигур.
3. В сектор с центральным углом 120° вписан круг так,
что он касается радиусов и дуги. Найдите отношение пло
щади сектора к площади круга.
75
Самостоятельная работа № 16. Движения
Вариант 1
1. Треугольник AlBiС, симметричен треугольнику АВС
с вершинами А (—1; 3), В (2; —4), С (4; 1) относительно
точки D (7; —1). Найдите координаты вершин Аг Вг Сг
2. Окружность задана уравнением (х+ З)2+ (у - 2)2= 16.
Она повернута на угол 90° против часовой стрелки отно
сительно точки А (—2; 1). Напишите уравнение получен
ной окружности.
3. Найдите координаты точки, симметричной точ
ке А (1; 7) относительно прямой, заданной уравнением
у = х + 2.
Вариант 2
1. ТреугольникЛ^С, симметричен треугольнику АВС
с вершинами А (—4; 1), В (1; 3), С (3; —5) относительно
точки D (5; —1). Найдите координаты вершинЛ,, Ву Су
2. Окружность задана уравнением ( х + 2)2+ (у —З)2 = 16.
Она повернута на угол 90° по часовой стрелке относи
тельно точки А (—1; 2). Напишите уравнение полученной
окружности.
3. Найдите координаты точки, симметричной точ
ке А (7; 2) относительно прямой, заданной уравнением
у = - х + 3.
Контрольные работы
Контрольная работа № 1. Векторы
Вариант 1
1. ABCD —параллелограмм, АВ = a, AD = Ь, К е ВС,
L е AD, ВК : КС = 2 : 3, AL : LD = 3:2. Найдите разложение
вектора KL по неколлинеарным векторам а и Ь.
2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 20
и ВС = 8, О — точка пересечения^диагоналей. Разложите
вектор DO по векторам AD = а и АВ = Ь.
3 . Диагонали ромба АС = a, BD = Ь. Точка К е BD
и В К : KD =1 : 3 . Найдите величину\АК\.
76
4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60е.
боковая сторона равна 12 см, большее основание равно
30 см. Найдите среднюю линию трапеции.
5. В прямоугольнике ABCD известно, что AD=a, DC=b,
О —точка пересечения диагоналей. Найдите величину
\лв + DO - ОВ + ОС + Щ.
Вариант 2
1. ABCD —параллелограмм, AD = а, АВ = Ъ, К е ВС,
L е AD, ВК : КС = 3 : 4 ,AL : LD = 4:3. Найдите разложение
вектора KL по неколлинеарным векторам а и Ь.
2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 15
и В С - 10, О —точка пересечения диагоналей. Разложите
вектор ВО по векторам AD = а и АВ = Ь.
3. Диагонали ромба АС = a, BD = Ь. Точка К е АС
и А К : КС =2 : 3 . Найдите величину \d k \.
4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60°,
боковая сторона равна 10 см, меньшее основание равно
14 см. Найдите среднюю линию трапеции.
5. В прямоугольнике ABCD известно, что АВ= а, ВС= Ь,
О — точка пересечения диагоналей. Найдите величину
АО - ВС + OD - Ш + Ж \ .
Контрольная работа № 2.
Метод координат
Вариант 1
1. Установите связь между векторами т = -38а + 39b
”=з(г -5*и
н
4
2. Векторы т = 2а - ЪЬ и п = За + 2Ь разложены по не
коллинеарным векторам а и Ь. Разложите векторы а и b
по векторам тип.
3. Четырехугольник имеет вершины с координата
ми А (1; 1), В (3; 5), С (9; —1), D (7; —5). Определите вид
четырехугольника (с обоснованием) и найдите его диа
гонали.
77
4. Напишите уравнение окружности с центром в точке
С (—3; 1), проходящей через точку А (2; 3).
5. Прямая / проходит через точки А (—3; 1) и В (1; —7).
Напишите уравнение прямой т, проходящей через точку
С (5; 6) и перпендикулярной прямой /.
Вариант 2
1. Установите связь между векторами т = -37а + 10Ъ
2. Векторы т = За - 2Ь и п = 2а + ЗЬ разложены по неколлинеарным векторам а и Ь. Разложите векторы а и b
по векторам т ип.
3. Четырехугольник имеет вершины с координатами
А (—6; 1), В (2; 5), С (4; —1), D (—4; —5). Определите вид
четырехугольника (с обоснованием) и найдите его диа
гонали.
4. Напишите уравнение окружности с центром в точ
ке С (2; —3), проходящей через точку А (—1; —2).
5. Прямая / проходит через точки А (2; —1) и В (—3; 9).
Напишите уравнение прямой т, проходящей через точку
С (3; 10) и перпендикулярной прямой /.
Контрольная работа № 3.
Соотношение между сторонами и углами
треугольника. Скалярное произведение векторов
Вариант 1
1. Упростите выражение
sin3а + cos3а + 3sin*2а • cos а + 3sina • cos2а
sin а + cos а
-2 s in a •cosa.
2. В треугольнике АВС / А = a, ZB=$,AB=c. Найдите
площадь треугольника и радиус окружности, описанной
около него.
3. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ - 4 см,
AD = 5>/2 см и угол ZA = 45°. Найдите диагонали парал
лелограмма и его площадь.
78
4. Найдите координаты вектора
Ъ,
если |£|
= >/Гзб.
b а,а {3; - 5}, а угол между вектором Ъи положительным
направлением оси абсцисс острый.
5. Вычислите скалярное произведение векторов
т = За - 2Ь и п = 2а + 5Ь, если а{-3; 1}, Ъ{2; - 2}.
Вариант 2
1. Упростите выражение
-2 s in a • co sa sin345a - cos3a - 3sin2
*
a • cosa + 3sina • cos2 a
sin a - cosa
2. В треугольнике ABC Z A - a , ZB = |3, ВС=а. Найдите
площадь треугольника и радиус окружности, описанной
около него.
3. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ - 8 см,
AD = 3\/3 см и угол ZA = 60°. Найдите диагонали парал
лелограмма и его площадь.
4. Найдите координаты вектора Ъ, если |£| = 7 П 7 ,
Ъ 1 а, а {-3; 2}, а угол между вектором b и положительным
направлением оси ординат тупой.
5. Вычислите скалярное произведение векторов
т = 2а - ЗЬ и п = За + АЪ, если а {-2; 3}, b {3; - 1}.
Контрольная работа № 4.
Длина окружности и площадь круга
Вариант 1
1. Три последовательные стороны четырехугольни
ка, описанного около окружности, относятся как 3 : 4 : 5 .
Периметр этого четырехугольника равен 48 см. Найдите
длины его сторон.
2. Около правильного ш естиугольника описана
окружность и в него вписана окружность. Длина большем
окружности равна 4я. Найдите площадь кольца и плошать
шестиугольника.
3. Хорда окружности равна 5%/2 и стягивает дугу в 90°.
Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.
79
4. Найдите радиус сектора, если площадь соответству
ющего сегмента равна - я -W 3 .
3
5. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см.
Найдите длины сторон треугольника, если одна из них
разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 3 см.
Вариант 2
1. Три последовательные стороны четырехугольни
ка, описанного около окружности, относятся как 4 : 5 : 6 .
Периметр этого четырехугольника равен 80 см. Найдите
длины его сторон.
2. Около правильного треугольника описана окруж
ность и в него вписана окружность. Длина меньшей
окружности равна 8л. Найдите площадь кольца и площадь
треугольника.
3. Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу в 60°.
Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.
4. Найдите радиус сектора, если площадь соответству
ющего сегмента равна Зл —9.
5. В треугольник вписана окружность радиуса 4 см.
Найдите длины сторон треугольника, если одна из них
разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 5 см.
Контрольная работа № 5. Движения
Вариант 1
1. Точка А (-2 ; 3) симметрична точке А} (6; -9 ) отно
сительно точки В. Найдите координаты точки В.
2. Дан треугольник АВСс вершинами А (2; 1), Д(—6; 1),
С (—1; 5). Треугольник AlB]С, симметричен треугольнику
АВС относительно прямой, заданной уравнением х - 1.
Найдите координаты вершин Av ВГ С{.
3. Найдите вектор а параллельного переноса, при ко
тором прямая у = Зх — 2 переходит в прямую у - З х + 4,
а прямая Зх + 2у = 2 переходит в прямую 6х + 4у = 3.
4. В результате поворота вокруг точки В (1; 2) на 60°
против часовой стрелки точка А (4; 2) перешла в точку Д,.
Найдите координаты этой точки.
80
5. Прямая т задана уравнением Зх + 2у —5 = 0. Пря
мая п симметрична прямой т относительно точки В (2; 3).
Напишите уравнение прямой п.
Вариант 2
1. ТочкаЛ (—3; 1) симметрична точке А] (9; -5 ) отно
сительно точки В. Найдите координаты точки В.
2 Дан треугольник АВС с вершинами А (-4; 5), В (1; 5),
С (—3; —1). Треугольник А]В]С1симметричен треугольнику
АВС относительно прямой, заданной уравнением у = 1.
Найдите координаты вершин A r Bv С
3. Найдите вектор а параллельного переноса, при ко
тором прямая у —2х — 1 переходит в прямую у = 2х + 3,
а прямая 2л + Зу - 1 переходит в прямую 4х + 6у = 5.
4. В результате поворота вокруг точки В (2; 1) на 30°
против часовой стрелки точкаЛ (6; 1) перешла в точку Ау
Найдите координаты этой точки.
5. Прямая т задана уравнением 2х + Зу —7 = 0. Пря
мая п симметрична прямой т относительно точки В (3; 2).
Напишите уравнение прямой п.
.
Контрольная работа № 6.
Итоговая по программе 9 класса
Вариант 1
1. В параллелограмме ABCD точка Е е АС, А Е : ЕС = 1:5. Разложите вектор СЕ по векторам а = AD и Ъ = CD.
2 Найдите косинус угла между векторами т = 2 а - ЪЬ,
п - а + 2Ь, если |
н
1
