Шихова Н.А.
Ш55
Задачи с экономическим содержанием.
ИЛЕКСА, 2022. — 78 с.
ISBN 978-5-89237-462-0
— М.:
Данное учебное пособие предназначено для подготовки к реше-нию задач с экономическим содержанием, входящих в вариан
ты профильного ЕГЭ по математике под номером 17.
Решая задачи с экономическим содержанием, приходится вы
полнять сложные вычисления, но на экзамене пользоваться каль
кулятором нельзя. Вычислительные ошибки встречаются даже
у сильных школьников. Чтобы их предупредить, в данном пособии
особенное внимание уделяется технике вычислений.
В первой главе пособия приведены базовые сведения о методах
оптимизации вычислений и преобразований, а также работы с про
центами. Эта часть завершается упражнениями, которые можно на
звать диагностическими.
Во второй главе решаются задачи о вкладах и кредитах. Рас
смотрены две основные схемы выплаты кредитов — аннуитетные
и дифференцированные платежи.
В третьей главе рассматриваются задачи на оптимальный вы
бор.
Завершается пособие контрольной работой.
Пособие предназначено для учащихся, готовящихся к сдаче
профильного ЕГЭ, учителей, преподавателей колледжей и сту
дентов педагогических вузов.
Это учебное пособие предназначено для подготовки к ре
шению задач с экономическим содержанием — такие задачи
входят в варианты профильного ЕГЭ по математике под но
мером 17.
В первой главе приведены базовые сведения о методах оп
тимизации вычислений и преобразований, а также работы
с процентами. Эта часть завершается упражнениями, кото
рые можно назвать диагностическими. Если ты не можешь
справиться с большинством этих упражнений, то, скорее
всего, тебе лучше пересмотреть стратегию подготовки к эк
замену. Подготовку к решению задачи 17 пока следует отло
жить, глубже проработать базовые математические темы,
одновременно тренируясь решать задачи 1-14 экзамена.
Во второй главе рассматриваются задачи о вкладах и кре
дитах. Рассмотрены две основные схемы выплаты креди
тов — аннуитетные и дифференцированные платежи, — од
нако акцент сделан не на том, чтобы заучить несколько
стандартных моделей, а на том, чтобы научиться строить
модель задачи самостоятельно. Это позволит решать нестан
дартные задачи.
В третьей главе рассматриваются задачи на оптимальный
выбор. В таких задачах заданы некоторые условия и нужно
выбрать наилучшее решение.
Завершается пособие контрольной работой.
3
ГЛАВА I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1.1. Секретные сведения о процентах
Всех нас в младших классах учили работать с процента
ми. Мы рисовали картинки, составляли пропорции и нахо
дили неизвестное. Разные типы примеров получали разные
названия — находить число по проценту, находить процент
по числу и т.п. А еще в младшей школе учили: если в задаче
сказано «увеличилось на столько-то», то надо прибавлять,
а если сказано «уменьшилось на столько-то», надо вычитать.
В старших классах пора работать с процентами по-взрослому. Работа с процентами обычно сводится к работе с дробя
ми, а дроби гораздо удобнее умножать и делить, чем склады
вать и вычитать. Если в задаче сказано «увеличилось на
столько-то процентов», или даже «уменьшилось на столько-то процентов», лучше умножать. Это не безусловный за
кон, как в начальной школе, а полезный совет. Взрослый
человек, знающий математику, сам решит, в каких ситуа
циях этот совет лишний.
Допустим, пряник стоит а руб., и известно, что бублик на
100% дороже. Надо уметь сразу же находить цену бублика
умножением: он стоит 2а руб. Если бублик на 200% дороже
пряника, то к цене пряника нужно прибавить еще две его
цены, всего три: бублик стоит За руб. Если бублик на 50%
дороже пряника, то стоит 1,5а руб.
Бублик может быть дешевле пряника. Если дешевле на
100%, это бублик подозрительный — цена ему 0 руб. Если
бублик дешевле пряника на 50% , то он дешевле наполовину
и стоит 0,5а руб. И так далее.
Чтобы записывать такого типа выражения сразу же, су
ществует специальная формула. Не заучивай ее наизусть
и не подглядывай в шпаргалку, решая задачи. Каждый раз,
когда в задаче нужно изменить величину на столько-то про
центов, размышляй, на какой коэффициент нужно ее умно
жить. Если ты не можешь умножением выразить соотноше
ние «на сколько-то процентов больше или меньше», значит,
ты не очень хорошо освоил работу с процентами, не нарешав
простых задач с процентами, берешься за сложную. Еще
одна-две бездумно вызубренных формулы — и ты попадешь
в ситуацию «все формулы знаю, а решить не могу». Лучше
потренируйся на примерах.
4
Задание. Заполни таблицу про пряник ценой а руб. и бу
блик. Несколько ячеек уже заполнены.
На сколько
процентов
бублик дороже
100
200
50
150
30
10
12
37
34,56
14,5
Сколько
СТОИТ
бублик
За
1,3456а
На сколько
процентов
бублик дешевле
100
50
10
30
11
23
12,2
14,48
34,56
23,73
23,47
lli
9
1
119
1
99
13
14
—а
13
7 9
13
„ 1
9—
11
2
147
2
147
8-
X
Сколько
стоит
бублик
0,9а
0,6544а
12
От
13
1
3
У
Вот справка для самоконтроля (а не правило для заучива
ния): увеличить число на х% — это все равно, что умножить
его на (1 + 0 ,0 1 а:); уменьшить число на у% — это все равно,
что умножить его на (1 - 0,01у).
Если задание оказалось трудным, надо потренироваться
еще. Нарисуй такую же таблицу с произвольными числами
и заполни ее; вверху должны быть числа попроще, а чем
5
ниже, тем сложнее. Выполните задание вместе с товарищем
и проверьте друг друга.
В следующих примерах, когда нужно увеличить или
уменьшить число на сколько-то процентов, результат нахо
дят умножением.
Пример 1. В мае цена акции увеличилась на 20%, а в
июне уменьшилась на 20%. Как изменилась цена акции за
два месяца?
Решение. Обозначим х цену акции в апреле. Тогда в мае
она стоила 1,2л:, а в июне — 1,2 • 0,8х = 0,96л:. За два месяца
цена снизилась на 4%.
Пример 2. Налог на доходы составляет 13 % от заработной
платы. После вычета налога Пантелей получает в кассе
30 450 р. Какова заработная плата Пантелея до вычета на
лога?
Решение. Обозначим х заработную плату Пантелея. По
сле вычета 13% налога он получает 0,87л:. Составим уравне
ние 0,87.x = 30 450 и решим его:
30 450.
х =
х = 35 000.
0,87 ’
Пример 3. На экскурсию отправилась группа детей в со
провождении взрослых. Средний возраст всех людей в груп
пе на 50% больше среднего возраста детей, а средний воз
раст взрослых — на 250% больше среднего возраста детей.
Какой процент составляет число взрослых в группе?
Решение. Обозначим т число детей в группе, а п — число
взрослых. Средний возраст детей обозначим х. В задаче тре
буется выразить в процентах отношение------ числа взрост +п
лых к числу всех участников экскурсии.
Средний возраст взрослых на 250% больше х и равен по
этому 3,5х. Сумма возрастов всех детей равна тх, а сумма
возрастов всех взрослых — 3,5пх. Это позволяет выразить
средний возраст всех участников экскурсии:
тх+3,5пх
т +п
6
Он на 50% больше среднего возраста детей; запишем это
условие в виде уравнения:
тх+3,Ьпх . _
----------- =1,5х.
т+п
Разделим обе части уравнения на положительное число х
и упростим:
т +3,5 п
----------- = 1,5;
т +п
т + 3,5 п = 1 ,5 т +1,5л;
2 п = 0,5 т;
4 п = т.
Теперь можно вычислить отношение------ числа взрост +п
лых к числу всех участников экскурсии:
п _ п _1
т+п 4п+п 5
Число взрослых составляет 20% от числа всех участни
ков экскурсии.
Пример 4. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые
после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки пер
вого сорта он продавал по 50 руб., второго сорта - по 40 руб.,
третьего сорта - по 30 руб. за килограмм. Выручка от прода
жи всех яблок составила 3250 руб. Известно, что масса
яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько
же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта
меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок
2-го сорта продал садовод?
Решение. Массы, которые отличаются на одинаковое чис
ло процентов, отличаются в одно и то же число раз. Обозна
чим это число q, а массу яблок 3-го сорта обозначим х. Тогда
яблок 2-го сорта было qx, а 1-го сорта — q2x. В задаче требу
ется найти qx. Составим систему уравнений по условию за
дачи:
q2x +qx +x = 91;
50 q2x +40 qx +ЗОх = 3250.
7
В ы разим и з первого у р ав н ен и я х и п о д стави м во второе:
х
=
—
91
------- г!
q +q+1
(50g2+ 409 + 3 0 ) - - ^ — = 3250.
v
' q + q +1
Р еш и м второе урав н ен и е си стем ы . П ер вы м дел ом и зб а
вим ся от дробей:
(50д2 + 40? + 30) ■
— = 3250;
v
> q 2 + q +1
(50g2+ 40g + 30)-91 = 3 2 5 0 -(g 2+ g + l) .
Скобки сразу р ас к р ы в ат ь не будем , а с н а ч а л а р азд ел и м
обе части н а то, на что хорош о дел и тся:
(5g2 +4g + 3)-91 = 3 2 5 -(g 2 + g + l) ;
(5g2+ 4g + 3)-7 = 25-(g2 + g + l) ;
35g2 + 28g + 21 = 25g2 + 25g + 25;
10g2 + 3 g - 4 = 0;
= - 0 ,8 ; g2 = 0 ,5 .
О трицательное значен ие не подходит по см ы слу задачи ;
зн ачи т, g = 0 ,5 . С осчитаем, скол ько бы ло яб л ок 2-го сорта
и сходя и з первого уравн ен и я системы :
91д
91 0,5
91-2
qx =— —
= 13 2 = 26.
д2 + д+1 0 ,52+ 0 ,5 + 1 1 + 2 + 4
Ответ. 26 к г.
1.2. Упрощение вычислений
В задаче с экономическим содержанием иногда попадаются
слож ны е вы числения, явно не устные. К алькулятором пользо
ваться н а экзамене нельзя, технике вычислений на уроках не
уделяю т вним ания, поэтому многие не доводят реш ение до конд а , запутавш ись в числах к ак в трех соснах. А тот, кто не заплу
тал, все равно часто делает арифметические ош ибки.
П оэтом у н уж н о освоить полезны е прием ы счета и преоб
р азо ван и й . В к н и ж к е м ы будем отм ечать их сп ециальны м и
зн а ч к ам и .
8
Обыкновенное чудо.
Первый прием — «обыкновенное чудо». Почему обыкно
венное? Потому что выполняется переход от десятичных
дробей к обыкновенным. Почему чудо? Потому что числа
чудесным образом уменьшаются. Арифметических ошибок
будет гораздо меньше.
Пример 5. Вычислить 3624 • 1,375.
Начало решения. Знак умножения — не повод засучить
рукава и умножать четырехзначные числа столбиком, это
ошибкоопасно. Десятичную дробь лучше представить в виде
обыкновенной:
3624 -1,375 = 3624- — .
Видно, что число 3624 можно не умножать на четырех
значное число 1,375, а достаточно умножить на 11 и разде
лить на 8.
Эти два действия нужно выполнять в правильном
порядке.
2. (1 ): 2) х ] Разделяй и умножай.
Умножение и деление можно выполнять в любом поряд
ке, но часто удобнее сначала делить, а потом умножать.
„
_ „
3624 11
Продолжение примера 5. В выражении--- —— не начи8
най с умножения, лучше сначала разделить (числитель
и знаменатель на одно и то же число — сократить):
3624-11 _ 453 4 1 _ 4983.
8
1
Отложи на завтра то, что необязательно делать
сегодня.
Вычисления часто удобно откладывать до последнего
в надежде на то, что позднее обнаружится более эффектив
ный путь решения.
Пример 6. Решить уравнение
х _ 7 ,2 - х
13_ 5 '
9
Решение. Начнем решать по свойству пропорции:
5 * = 1 3 - 7 ,2 - 1 3 * .
Следующим действием надо все члены с * перенести вле
во, а справа оставить произведение 13-7,2. Вычислять про
изведение сразу не надо, вдруг повезет и это вовсе не пона
добится. Запишем так:
1 8 * = 13- 7,2.
Отложив умножение, мы получили возможность приме
нить прием «разделяй и умножай». Сначала разделим на 18,
тогда для умножения останутся числа поменьше:
____
* = 1 3 - 0 , 4 = 5,2.
4. [А В J Разложи.
В предыдущем примере мы видели, что умножение луч
ше откладывать в надежде на то, что удастся сначала разде
лить нацело, а потом уж умножать числа поменьше. Бывает
полезно продвинуться еще дальше по этому пути и представ
лять целые числа в виде произведения множителей.
Прием хорошо работает для сокращения дробей, упроще
ния уравнений и извлечения корней.
Пример 7. Вычислить л/б32- 4 5 2.
Решение 1 (неэффективное). Считаем по действиям
в столбик:
1) 532 =2809;
2) 452 =2025;
3) -ч/бЗ2 - 4 5 2 =>/784...
Извлекать корень из 784 не очень удобно, если ты наиз
усть не помнишь таблицу квадратов. Если корень извлека
ется нацело, то можно угадать. Прикинем, что результат
получится меньше 30 и больше 20 (ведь 202< 7 8 4 < 3 0 2),
а тогда цифра десятков — 2. Можно угадать и цифру еди
ниц: ее квадрат оканчивается на 4; а значит, цифра еди
ниц
2 или 8. Остается проверить умножением в столбик
двух кандидатов: 22 и 28. Подойдёт 28, ведь 282= 784.
Другой способ — разложить 784 на множители и извле
кать корни из множителей:
-/784 = л/4-196 = V4-4-49 = 2 - 2 - 7 .
Еще лучше было бы сразу начать с разложения на множители, как в следующем решении.
10
двухэтажные дроби или если в уравнениях дробные коэффи
циенты, часто бывает полезно до других действий избавить
ся от дробей.
Пример 8. Решить уравнение
х
2
Начало решения. Это обычное квадратное уравнение;
многие начинают его решать с вычисления дискриминанта.
Но лучше избавиться от дробей, для чего умножить обе ча
сти уравнения на 6. Получится тоже квадратное уравнение
6х2- 7 х - 2 0 = 0.
Решая такие уравнения с целыми коэффициентами, оши
баются реже.
6. Вычеркивание девяток. Это способ проверки вычисле
ний по остаткам от деления на 9. Если не удалось оптимизи
ровать вычисления и приходится считать в столбик, прове
ряй себя вычеркиванием девяток.
Пример 9. Корней умножал в столбик два числа 2016 и
2017:
1 0 У G
L 04 7
1Ц1 У L
10 iQ
Л
4*
к 0г
ю67 1г1
11
Верно ли он умножил? Прикидка ничего плохого не по
казывает: 2016 х 2017 « 2000 х 2000=4000000 » 4067272.
Проверим, вычислив остатки от деления на 9 вычеркива
нием и записав их справа от столбика умножения:
| |
i й 2 & >0
\
L л t1
1 ц± 1
М10 1 £
1 0я
i
шштшттшА
■Ь
1
В числе 2016 вычеркнем цифры 2, 1 ,6 , которые в сумме
дают 9, оставшийся нуль запишем правее числа 2016.
В числе 2017 вычеркнем цифры 2 и 7, сложим оставшиеся 0
и 1, их сумму 1 запишем правее числа 2017. Произведение
0 и 1 равно 0, а это значит, что остаток от деления
произведения 2016x2017 на 9 должен быть равен нулю.
Теперь «вычеркнем девятки» в произведении: два раза пару
цифр 2 и 7, а также вычеркнем две цифры 4 и 6, записав
вместо них единицу (в кружочке). Оказалось, что остаток
равен 1 и вовсе не равен 0; а это значит, что где-то
в вычислениях допущена ошибка.
Как этот метод работает, смотри ролик: https://youtube.
cxG0D2d45QQ. Почему этот метод работает, объясняется в
конце книжки.
Если уж на экзамене пришлось считать в столбик, прове
ряй себя не пристальным разглядыванием столбиков, а вы
черкиванием девяток, — это быстрее и надежнее.
Вычеркиванием девяток можно проверять не только ум
ножение, но еще сложение и вычитание. Деление так прове
рить нельзя.
12
1.3. С чего начать?
Сначала оцени свои силы. Пора ли тебе готовиться к ре
шению задач с экономическим содержанием или надо по
вторить базовые темы? Если ты не можешь решить боль
шинство следующих задач, имеет смысл изменить стратегию
подготовки к экзамену — сначала проработать темы «про
центы» и «графики уравнений».
Задача 1.
Примени прием «вычеркивание девяток» и проверь сле
дующие равенства, выпиши номера неверных:
а) 1) 5 260 265 - 4 504 597 = 755 668;
2) 5 260 265 + 4 504 597 = 9 754 862;
3) 5 260 265 • 237 = 1 245 682 805;
4) 5 260 265 ■237 = 1 246 682 805.
б) 1) 5 982 347 - 4 947 349 = 1 034 998;
2) 5 982 347 + 4 947 349 = 10 929 696;
3) 5 982 347 • 237 = 1 437 816 239;
4) 5 982 347 • 28 = 167 505 726.
Задача 2. Пряник стоит а р. Сколько стоит бублик, если:
а) бублик на 15% дешевле пряника;
бублик на 16% дороже пряника;
пряник на 17% дешевле бублика;
пряник на 18% дороже бублика?
б) бублик на 23% дороже пряника;
бублик на 24% дешевле пряника;
пряник на 26% дороже бублика;
пряник на 27% дешевле бублика?
Задача 3. а) В мае самокат стоил 3600 р., в сентябре его
цена снизилась на 10%, а в декабре — еще на 15%. Сколько
стал стоить самокат после снижения цены в декабре?
б) В мае палатка стоила 4800 р ., в сентябре ее цена снизи
лась на 15%, а в декабре •— еще на 10%. Сколько стала сто
ить палатка после снижения цены в декабре?
Задача 4. а) Пантелей часто делает покупки в одном и том
же интернет-магазине, и поэтому магазин предоставил ему
скидку в 17% на все товары. Пантелей купил книги на сум
му 581 р. Сколько стоили эти книги без скидки?
б) Корней часто делает покупки в одном и том же интер
нет-магазине, и поэтому магазин предоставил ему скидку
в 23% на все товары. Корней купил книги на сумму 616 р.
Сколько стоили эти книги без скидки?
13
Задача 5. а) При оплате через платежный терминал сни
мается комиссия 6% . Терминал принимает только бумаж
ные купюры достоинством не менее 10 р. Пантелею нужно
заплатить не менее 400 р. за пользование интернетом. Ка
кую минимальную сумму ему нужно внести?
б) При оплате через платежный терминал снимается ко
миссия 6% . Терминал принимает только бумажные купюры
достоинством не менее 10 р. Корнею нужно заплатить не ме
нее 600 р. за пользование интернетом. Какую минимальную
сумму ему нужно внести?
Задача 6. а) Пантелей положил на депозит в банке
50 000 р. Через год сумма на его счете увеличилась на р % ,
а еще через год — опять на р % . После этого у Пантелея на
счете стало 59405 р. Сколько процентов годовых начислял
банк по вкладу?
б) Корней положил на депозит в банке 50 000 р. Через год
сумма на его счете увеличилась на р% , а еще через год —
опять нар% . После этого у Пантелея на счете стало 57245 р.
Сколько процентов годовых начислял банк по вкладу?
Задача 7. а) 1 февраля акции компании «Пряничный до
мик» подорожали на некоторое число процентов, а 1 мар
та — подешевели на то же самое число процентов. В резуль
тате они стали стоить на 1 процент дешевле, чем в конце
января. На сколько процентов подорожали акции 1 февра
ля?
б) 1 февраля акции компании «Пряничный домик» поде
шевели на некоторое число процентов, а 1 марта — подоро
жали на то же самое число процентов. В результате они ста
ли стоить на 1 процент дешевле, чем в конце января. На
сколько процентов подорожали акции 1 февраля?
Задача 8. а) 13 мячей на 9% легче палатки. На сколько
процентов 15 мячей тяжелей палатки?
б) 19 мячей на 5% легче палатки. На сколько процентов
23 мяча тяжелей палатки?
Задача 9. а) В классе учатся мальчики и девочки. Если бы
мальчиков было на 20% больше, то число всех учеников в
классе выросло бы на 8% . На сколько процентов увеличится
число всех учеников в классе, если девочек станет на 20%
больше?
а) В классе учатся мальчики и девочки. Если бы мальчи
ков было на 20% меньше, то число всех учеников в классе
снизилось бы на 12%. На сколько процентов увеличится
14
число всех учеников в классе, если девочек станет на 20%
больше?
Задача 10. а) Целый день садовод продавал на рынке
яблоки, груши и сливы. Если бы он продал яблок на 40%
больше, то его выручка была бы больше на 18% . Если бы он
продал слив вдвое больше, то выручка увеличилась бы
на 30% . Сколько процентов от общей выручки принесли са
доводу груши?
б) Целый день садовод продавал на рынке яблоки, груши
и сливы. Если бы он продал яблок на 20% больше, то его
выручка была бы больше на 11% . Если бы он продал слив
вдвое больше, то выручка увеличилась бы на 15% . Сколько
процентов от общей выручки принесли садоводу груши?
Задача 11. а) В прошлом году Пантелей приобрел акции
двух компаний — «Аз» и «Буки» — на сумму 25 000 р.
В этом году стоимость акций выросла: акции «Аз» подоро
жали на 10% , акции «Буки» — на 15% , и теперь все акции
Пантелея вместе стоят 27650 р. А сколько теперь стоят при
надлежащие ему акции «А з»?
б) В прошлом году Корней приобрел акции двух компа
ний — «Аз» и «Буки» — на сумму 30 000 р. В этом году сто
имость акций выросла: акции «Аз» подорожали на 10%,
акции «Буки» — на 5% , и теперь все акции Корнея вместе
стоят 32750 р. А сколько теперь стоят принадлежащие ему
акции «А з»?
Задача 12. На рисунке без точного соблюдения масштаба
изображены эскизы графиков трех линейных уравнений.
Укажи, какой из прямых 1\, 1г, 1з соответствует уравнение:
15
а) 1) 4х + Зу = 17;
б) 1) 6х + 5у = 55;
2) 4х + 3у = 11;
2) 6х + 5i/ = 28;
3) 4х + Зу = 22;
3) 6x+5i/ = 43.
Задача 13. На рисунке без точного соблюдения масштаба
изображены эскизы графиков трех линейных уравнений.
Укажи, какой из прямых l\, la, 1а соответствует урав
нение:
а) 1) 4х + 3у = 11;
б) 1) 2х + Зу = 7;
2) Зх + 4ц = 11;
2) Зх + 2ц = 7;
3) х + у = 5;
3) х + у = 4.
Задача 14. На рисунке без точного соблюдения масштаба
изображены эскизы графиков трех линейных уравнений.
Укажи, какой из прямых 1\, Ц, 1а соответствует урав
нение:
а) 1) у + 2х - 4 = 0;
б) 1) Ъу - Зх - 25 = 0;
2) 2у - х - 7 = 0;
2) Зу - 5х + 8 = 0;
3 ) г /-2 х + 3 = 0;
3) 5х + Зг/ - 16 = 0.
16
Задача 15. На рисунке без точного соблюдения масштаба
изображены эскизы четверти окружности и графиков двух
касательных к ней. Укажи, какой из касательных Zi, I2 со
ответствует уравнение:
а) 1) 3 * + 4у = 50;
б) 1) 15* + 8у = 578;
2) 4х + 3у = 50;
2) 15у + 8х = 578.
Найди радиус окружности.
17
ГЛАВА II. ЗАДАЧИ О ВКЛАДАХ И КРЕДИТАХ
2.1. Простые задачи о банковских вкладах
Для начала мы решим пару простых задач о банковских
вкладах, чтобы освоиться с ситуацией. Мы привыкнем вы
делять такие этапы решения: прикидка, обозначения, по
строение модели, работа с моделью, проверка, ответ. При
кидка и проверка нужны в первую очередь тебе, чтобы быть
уверенным в ответе. Эти два этапа не следует переносить из
черновика в чистовик. На то есть две причины: в критериях
проверки не сказано, что нужны прикидка и проверка; мож
но ненароком добавить лиш них ошибок, если прикидку или
проверку выполнишь неверно.
Кроме того, мы познакомимся с некоторыми полезными
приемами счета. В задаче с экономическим содержанием
иногда попадаются сложные вычисления, и важно не обсчи
таться.
Пример 10. Корней сделал вклад 1 536 000 р. под 12,5%
годовых 1 июля 2016 года. Это значит, что начиная с 2017 г.,
каждый год 1 июля банк увеличивает сумму на счете на 12,5 %.
Сколько денег будет на счете у Корнея 2 июля 2019 года?
Решение.
П рикидка. Если бы 12,5% начислялись на первоначаль
ную сумму вклада, то всего вклад бы увеличился на
12,5 • 3 = 37,5% — это чуть больше — . Имеет смысл исполь-
3
зовать такое приближение, когда платежных периодов не
много, а проценты небольшие. Треть от полутора м иллио
нов — это полм иллиона; значит, вклад увеличится
несколько больше, чем на полмиллиона и станет несколько
больше двух миллионов.
Обозначать здесь мы ничего не будем; это простая зада
ча, она решается в лоб без уравнений. Мы уже говорили, что
увеличить сумму на 12,5% это все равно, что умножить её
на 1,125. Достаточно сделать это три раза подряд (попробуй
считать без калькулятора):
1 536 000 • 1,125 = 1 728 000 — на счете 2 июля 2017 года.
1 728 000 • 1,125 = 1 944 000 — на счете 2 июля 2018 года.
1 944 000 • 1,125 = 2 187 000 — на счете 2 июля 2019 года.
Проверка. Это значение подтверждается прикидкой —
получилось несколько больше двух миллионов.
18
О т вет . 2 187 000 р.А
этом примере гл авная проблема —вы числить, ведь
три р аза ум н о ж ать столбиком четы рехзначны е числа —
ош ибкоопасное дело, велик риск обсчитаться; а проверять
и и ск ать у себя ош ибку очень сложно.
Ч тобы оптим изировать вы числения, прим еняем прием
«обы кновенное чудо» — переход от десятичны х дробей
к обыкновенны м. Зам етим , что 12,5% от величины — это —
1
9
величины , 0,125 = — , а 1,125 = — .
----------ч
8
8
8
1): 2) х J П ри м ен и м прием « Р азд еляй и ум нож ай»:
работая с обы кновенны ми дробями, сначала сокращ аем все
что мож но, — то есть делим и только потом умнож аем — это
позволит работать с меньш ими числам и и реж е ош ибаться в
счете:
1 536 000 9
1) 1 536 000 = 192 0 0 0 -9 = 1 728 000.
8
8
1 728 000-9
2) 1 728 000 ■= 216 000 -9 = 1 944 000.
8
8
1 944 000 -9
3
1 944 000 • = 243 000 • 9 = 2 187 000.
8
8
Вместо того, чтобы ум нож ать четы рехзначны е числа,
здесь ум нож али трехзначны е на однозначные. Кроме того,
здесь д ел и л и на однозначное число, но в этом действии
ош ибки бываю т реж е.
Ещ е один полезны й прием — отлож и на завтра то,
что н ео б я за те л ь н о д ел ать сегодн я. В п р а к ти ч е с к и х
си туац и ях правило «Отложи на потом» плохо работает, а в
учебны х — очень даж е хорош о, там данны е подбираются
т а к , чтобы вы чи слен ия упрощ ались, и м ож ет случиться
т а к , что счет станет прощ е. М ожет и не случиться — но ты
ведь и ничего не потеряеш ь.
Чтобы отлож ить на потом, не будем реш ать по действиям,
а запиш ем все нуж ны е действия в одном вы раж ении:
1 536 000 ■
19
Такая запись имеет два преимущества: 1) удобно делать
прикидку; 2) удобно планировать вычисления. Еще одна
прикидка (никогда не жалей времени на прикидку
результата в задачах, где сложный счет):
'9 Л3
729
7
1 536 000 • — * 1,5 млн • — — и 1,5 млн • — = 2,1 млн.
.оу
о
1
5
( 1): 2) х ] План точных вычислений совершенно
стандартный: сначала разделить все, что разделится надело,
и только потом умножать. Это позволит работать с числами
поменьше:
1536 000-9-9-9
1 536 000
8 - 8-8
192 000 9-9-9 24 000-9-9-9 _
8
8-8
=3 000-9-9-9 = 27 000-81 = 2 187 000.
С таким порядком счета умножение в столбик понадобит
ся только в последнем действии, да и то это будет умножение
двузначного числа на двузначное. Писать меньше, считать
меньше, ошибок тоже меньше.
Рассмотрим обратную задачу.
Пример 11. Известно, что под 12,5% годовых на счет по
ложили некоторую сумму, в результате за три года накопи
лось 5 103 000 р. Сколько денег было на счете первоначаль
но?
Начало решения. Представим себе решение по действи
ям. Чтобы узнать, сколько денег положили на счет, при
шлось бы делить столбиком 5 1 0 3 0 0 0 :1 ,1 2 5 .И потом повто
рить дважды. Даже пытаться не будем. Лучше обозначим
первоначальный вклад X. Тогда по условию
X - f | J = 5 1 0 3 000
И ЛИ
X = 5103000-|^|j .
Задание. Заверши решение. Какие приемы рационально
го счета пригодились для построения этого уравнения? Ка20
кие еще пригодятся для его решения? Сделай прикидку,
сколько примерно получится:
X к 5 млн •
512
729 ’
а потом сосчитай точно.
2.2. Базовая модель начисления процентов
Обобщим предыдущие две задачи и построим для них мо
дель начисления процентов. В других задачах нам приго
дятся модификации этой модели. Все мыслимые модифика
ции перечислить невозможно, поэтому ни одну из них не
следует учить наизусть. Экзамен проверяет не знание основ
ных моделей, а умение построить свою. Чтобы этому нау
читься, надо получить опыт построения модели, а не запо
минать готовые формулы. Так что каждый раз строй модель
задачи заново.
Итак, если сделать вклад размером X д. е. (денежных
единиц) под р% годовых, то:
через год на счёте будет X ■(1 + 0,01р) д. е.;
через два года — X • (1 + 0,01р)2 д. е.;
через три — X ■(1 + 0,01р)3 д. е.;
через п лет на счёте будет S = X ■(1+0,01р)" д. е.
В простых задачах из четырех величин X , р, п, S даны
три, а нужно найти четвертую. В этой схеме часто удобно
иметь дело не с переменной р, ас переменной q, которую бу
дем называть процентным коэффициентом', q = 1 + 0,01р.
Увеличить величину на р% — значит, увеличить ее в q раз.
Модель с этой переменной будет выглядеть еще проще:
S = X ■qn.
Задание. Примени эту модель к примерам 10 и 11. Опре
дели, какие значения принимают переменные X , р, п, S, q
в этих примерах; что дано, что требуется найти в задаче.
Это задание очень простое, но очень важное, не пропу
скай его — будет проще разбираться дальше. Кроме того, ты
приучишься в таких задачах работать не с цифрами, а с бук
вами. Это гораздо полезнее вот по каким причинам.
Меньше вероятность сделать описку.
В буквенных записях проще замечать закономерности, а
закономерности (если вдруг нарушатся) помогут заметить
ошибки, позволят аккуратнее сделать прикидку. В некото21
рых задачах заметить закономерности особенно важно — от
этого зависит решение.
Эксперту, который будет проверять твою работу, будет
гораздо проще. Он сможет разделить этапы построения мо
дели и вычислений.
Однако пользоваться готовыми формулами с буквами
вредно. Не забывай: важнее научиться строить алгебраиче
скую модель задачи, а не пользоваться готовой. Тот, кто нау
чится строить свою модель, станет умнее и в будущем сможет
применить творческие навыки. Тот, кто научится пользо
ваться готовой формулой, станет послушнее и в будущем смо
жет выполнять инструкции, составленные другими людьми.
А теперь применим модель в более сложной ситуации.
Пример 12. 25 декабря 2014 г. Пантелей сделал вклад в
сумме 3 850 000 д. е. под некоторый постоянный процент
годовых на два года. Через год прошла кап итали зация —
сумма на счёте увеличилась на положенное число процен
тов; еще через год капитализация прошла еще раз, и Панте
лей тотчас ж е снял со счёта все деньги — 5 270 265 д. е.
Какой процент банк начислял по вкладу?
Решение.
П рикидка. За два года сумма на вкладе увеличилась при
мерно на 1 400 000 д. е., — это чуть больше, чем треть от
первоначальной суммы (39 : 3 = 13). Значит, за год сумма
увеличивается примерно на шестую часть.
Обозначения. Пусть первоначальная сумма X = 3 850 000
в первый год увеличилась в q раз и стала равна Xq; еще через
год она опять увеличилась в q раз и стала равна X q 2. Число р
процентов, на которые увеличивается каждый год сумма, вы
ражается через q так: р = 100(q - 1 ) . В задаче требуется найтир.
Построение модели. Занесём эти данные в таблицу:
Сумма на счёте 27 декабря
X = 3 850 000
2014-й год
2015-й год
Xq
X q 2 = 5 270 265
2016-й год
Мы получаем простейшее квадратное уравнение:
3 850 000 q2 = 5 270 265.
Работа с моделью. Нас интересует только полож итель
ный корень:
,-------------'5 270 265
3 850 0 00'
22
( А В ) На экзамене нельзя пользоваться калькулятором,
а мы и не будем. Будем раскладывать на множители всё под
ряд — это позволит вынести из-под знака корня как можно
больше множителей и сократить дробь.
Выносить и сокращать можно в любом порядке; необяза
тельно искать оптимальный способ. Разумно хвататься за
первое, что придет в голову: когда после сокращений числа
станут меньше, что-то еще заметить будет проще. В данном
случае, например, легко заметить, что в знаменателе есть
множитель в виде полного квадрата — 10 000, его сразу вы
несем из-под корня. Оставшаяся дробь сокращается на 5:
(Р:2)х )
1
5 270 265
5 270 265
1 11 054 053
3 850 000 100
385
_ 100 V
77
Видно, что знаменатель делится на 7 и 11, так что разум
но проверить — не сократится ли дробь на эти числа. Видно
еще, что числитель делится на 9 (сумма цифр делится на 9).
Начать лучше с девятки, чтобы действовать наверняка, а де
лимость на 7 и 11 никуда не денется. Нам повезло, и 9 уда
лось вытащить из-под корня дважды:
9=
1 11 054 053
3
1117117 _ 3-3 /13013
9 ~100 \
77
_ 100 V 77 _ 100 V 77
= _9_ 11183 = _ 9 _ ^ g g = 9 4 3 =
100 V 7
100
100
Теперь найдемр :р = 100(д-1) = 100(1,17-1) =17.
Проверка. Это значение соответствует прикидке, ведь
17 1
100
~
6'
О т в е т . 17.А
Слабая стратегия — мучительно делить в столбик
5 270 265 на 3 850 000, получить 1,3689, а потом выковы
ривать корень из десятичной дроби. Это дольше и чаще при
водит к вычислительным ошибкам. Совсем плохая страте
гия — вычислять на калькуляторе: так не подготовишься
к экзамену. Не только в этой ситуации, но и во многих дру
гих работает эмпирическое правило: если тебе на ум при23
шло считать на калькуляторе или в столбик — найди мно
жители.
В предыдущих примерах мы познакомились с простей
шей моделью для вкладов и некоторыми приемами вычисле
ний. Следующий пример лишь чуть-чуть сложнее, но в нем
в полную силу сыграет основной инструмент — таблица. В
предыдущем примере можно было не запутаться и без него.
Пример 13. 25 ноября 2000 г. Пантелей сделал вклад
в сумме 512 000 д. е. под некоторый постоянный процент
годовых. Через год на вклад были начислены проценты,
и Пантелей тотчас же снял со счета 304 000 д. е. Через год на
оставшуюся сумму были начислены проценты, после чего
Пантелей снял со счета все деньги — 361 000 д. е.
Какой процент банк начислял по вкладу?
Решение.
Прикидка. За два года доход составил примерно
3,6+3-5,1=1,5 сотен тысяч — это примерно 30% от началь
ной суммы; можно предположить, что годовой процент при
мерно равен 15.
Обозначения. После начисленияр процентов вклад увели
чивается в q = 1 + 0,01р раз. В задаче требуется найтир.
Построение модели. Представим движение денег на счете
в таблице:
После начисления
После того,
Год
процентов
как сняли деньги
2001
512 000ц
512 000(7-304 000
2002 (512 000ц-304 000)(7 (512 000(7-304 000)(?-361 000
Получили стандартное квадратное уравнение:
(512 000g-304 000)д-361 000 = 0.
Работа с моделью. Вообще-то квадратные уравнения ре
шать легко и приятно, но здесь сложный счет. Поэтому мы
не будем вычислять дискриминант — это сложно и бессмыс
ленно, а только добудем множители, на которые он раскла
дывается. Все остальные действия отложим на потом (мощ
ный прием, мы им уже пользовались). Добывать множители
будем мало-помалу: заметили общий множитель, вынесли
за скобки, числа стали поменьше, — заметили новый общий
множитель, вынесли и его, и так далее. Для начала все сла
гаемые разделим на 1000:
512g2-304g-361=0.
24
D = 3042+ 4 • 512 • 361 = (8 ■38)2+
+ 4 • 16 • 32 • 361 = 82(382+ 32 • 361) =
= 82 • 22(192+ 8 • 361) = 82 ■22 • 192(1 + 8);
L^il
Vl> = 8 2-19 3.
Необязательно добывать все простые множители. Мы
сразу не заметили, что 304 делится на 24 = 16, на это потре
бовалось два этапа, — ну и ладно, лишь бы считать было
комфортно. Из двух корней выберем положительный:
^ _ 304+8-2-19-3 16-19 + 8-2-19-3
2-512
~
2-16-32
_ 19+19-3 19-4 19
2 -32 _ 2-32“ 16 _1,1875Тогдар =18,75. Пришлось делить 19 на 16 столбиком, но
все остальное можно было сосчитать устно.
Проверка. Значение по порядку похоже на то, что полу
чено прикидкой. К тому же по дороге все хорошо извлека
лось и сокращалось. Можно надеяться, что ошибок нет.
Ответ. 18.75.Л
Прежде чем разбирать различные схемы выплаты креди
тов, рассмотрим пример, иллюстрирующий разницу между
задачами о вкладах и задачами о кредитах.
Пример 14. 31 декабря 2004 года Еремей взял в банке
512 000 р. в кредит на 2 года. Схема выплаты кредита была
следующей: до 31 ноября каждого следующего года банк на
числял проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличи
вал долг на р % ), затем до истечения этого же платёжного
периода (т. е. до 31 декабря того же года) Еремей выплачи
вал долг двумя траншами: 304 000 р. в 2005 году и 361 000 р.
в 2006 г. Под какой процент банк выдал Еремею кредит?
Решение. Обозначим сумму кредита X = 512 000; после
н ач и сл ен и я р процентов долг Еремея увеличивался
в q = 1+0,01р раз. Занесем в таблицу информацию о том, как
менялась величина долга.
Год
Декабрь
Ноябрь
2004
X
Х а -3 0 4 000
2005
Хц
2006
(Хц-304 000W-361 000
(Ха- 304 000) 2Х.
Нас интересует наименьшее целое решение этого нера
венства относительно N при известных X = 10 и g = 1,1:
(q+ l)N > 2X -X q2;
2 ~
