Математика в таблицах. 5-11 классы. Справочные материалы [Коллектив авторов -- Словари, Учебники, Пособия, Энциклопедии] (pdf) читать постранично, страница - 2
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
последних
цифр, делится на 4 (00, 04, 08, 12 и т. д.).
Пример: 248, 512, Я 5 .
На 5: последняя цифра 0 или 5.
Пример: 340, 235, 1 S T .
На 9: сумма цифр числа делится на 9.
Пример: 198 (1 4- 9 + 8 = 18 — делится на 9);
J28T (2 + 8 + 1 = 11 — не делится на 9).
На 10: последняя цифра 0.
Пример: 1830, 2 0 1 7 .
На 25: число, составленное из двух последних
цифр, делится на 25 (00, 25, 50, 75).
Пример: 1375, 2 4 0 , -805, 650.
7
НОД либо меньше данных чисел, либо равен
меньшему из них.
Наименьшее общее кратное
НОК (180,1368) = 2- 2 ' 3 ' 3 * 5 * 2 * 1 9 = 6840
__________ ♦
______ X f X
выписываем и не совпадаю
все делители
щие с ними де
меньшего
лители другого
числа
числа
I
•
8
НОК либо больше данных чисел, либо равен
большему из них.
Действия с обыкновенными дробями
Сложение
и вычитание:
а _|_ с _ а + с
Ъ Ъ
Ъ
а _ с _ а -с
Ь Ь
Ъ
а
с _ ad +Ъс
Ь d
bd
а _ с _ ad —be
b d
bd
дробей с общим
знаменателем
дробей с разными
знаменателями
Умножение
a . с = a -c
b d
b d
Деление
a , c _ a %d _ a • d
b d
b c
be
Положительные и отрицательные числа
I I I
I
I
I I I I
I
- 9 - 8 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0
H I-4
I
1
I
2
I 4I 5I 6I 7I 8I 9I *
3
|0| = 0 |2| = 2
Модуль числа равен расстоянию от нуля до
числа на координатной прямой.
Противоположные числа — числа с одинаковыми
модулями и разными знаками (5 и -5 , - 1 ,5 и 1,5).
\а\ = а, если а > 0
|а| = - а , если а < 0
\а - b\ = \b - а\
-а + а = 0
а + (-а ) = 0
а- а= 0
9
5£
5
S
2
2
х
л
с
0)
h
IО
с
С
10
с
1
3
*
о
о
Знак числа
с больш им
м одулем
+
а
*
с*
£
а
у
3
0Q
а
К
о
3
а
Действия
с модулями
+
Зн ак
ответа
+
Действия
с модулями
+
Знак
ответа
П ерем но
ж и ть
П оделить
+
П оделить
П ерем но
ж и ть
1
.
3
3ь>
<
fee
Действия
с модулями
1
Знак ответа
П оделить
В ы честь из
больш его
м одуля
м ен ьш и й
П ерем но
ж и ть
Зам ен яем на слож ение: а - Ъ —а 4- (-Ь )
С лож ить
ф
С лож ить
S
2
X
л
Ч исла с разны ми знакам и
с
о
X
У
S
О трицательные
числа
s
2
П оложительные числа
Д ействия
СО
АЛГЕБРА 7—9
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы
(в + ft)2 = а2 + 2аЪ + Ь2
Квадрат разности
(а - Ъ)2 — а2 - 2аЬ + Ь2
Куб суммы
(а + ft)3 = о3 + 3 а2Ь +
+ 3оЪг + Ь3
Куб разности
(а - ft)3 = о3 - 3a2ft +
+ 3aft2 - ft3
Разность квадратов
a 2 - ft2 = (a - ft)(a + ft)
Сумма кубов
a 3 + &3 = (a + b) x
x (a2 - ab + Ы2)
Разность кубов
a 3 - ft3 = (a - ft) x
x (a2 + aft + ft2)
Свойства степени
• =a m +
am an
n
am : an = am~n
(am)n
=a mn
( a b Y n = am bm
=1
fa
>\m=bm
\bJ
a0
1
° m
a*
=Ja n-
an
a"
-
=
=
S'
nJa
"Jo™
11
Пропорция
Пропорция 2 = £ равносильна следующим
о
а
равенствам:
а _ 6.
с
d*
d _ с щ b = d
Ь
а 9 а
с'
Основное свойство пропорции:
a d = be
Свойства квадратного
(арифметического) корня
J a - Jb = Jab
Ja _ la
Jb
Vb
( J i) m = JJ^
J ab = J\a\ ■ Vi*i
j i _ J\J\
w
M
= (-v/0)'"
Свойства корня л-й степени
nJa = nhJ a k
nJ a _ la
---nJT
•JB
w
(nJ a )m - "Jo*
”i f j i = mnJa
nJ~a • nJ b = nJ a~ b
12
Свойства числовых неравенств
а, Ь — любые числа
Если а > b и b > с, то а > с
(свойство транзитивности).
Если а > Ь , то a + c > b + c (с € R).
Если а > b и с — положительное число,
то ас > Ъс.
Если а > b и с — отрицательное число,
то ас < Ьс.
Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
а, Ь — положительные числа
Если а > b > 0, то i < - .
а
Ъ
Если a > b > 0 n c > d > О, то ас > bd .
Если а > b > 0 и m € ЛГ, то ат > Ьт .
Если a > b > O n m e N 9 то mJa > mJb
13
Двойное неравенство (а < Ь < с)
Сложение двойных неравенств
Если а < К с и р < / п < ^
то a + p < b + m < c + q.
Умножение двойных неравенств
с положительными членами
Если 0 < а < & < с и 0 < р < т < д ,
то ар О
- а , если а < О
Свойства модуля
|а| > О
М = 1«НЫ
|а + б| < |а| + |й|
-а| = |а|
И = м
\ь\
IM
|о - Ь| > ||а| - |6||
|а -Ь | = |г>-а|
в 2 + Ь2 > 2|а1>|
14
ФУНКЦИИ
Линейная функция у = к х + Ь
15
Дробно-линейная функция
у = - (к
* 0 , * * О)
X
(обратная пропорциональность)
График — гипербола.
Оси симметрии — прямые у = х и у = —х.
Центр симметрий — начало координат (точка 0).
4
k> 0
Область определения:
0) и (0; +оо).
Функция убывает
на каждом
из промежутков
(—оо; 0) и (0; +°°).
у
(-о о ;
х)
X
—
k< 0
Область определения:
0) U (0; + оо).
Функция возрастает
на каждом
из промежутков
(-о о ; 0) и (0; + о о ).
(-о о