"Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие . счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития... Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действенного мира, стало быть весьма реальный материал...".
Конечно, математика времен Платона и современная математика отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они — ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом видится мне смысл слов, которыми Дуглас Хофстадтер заканчивает свою книгу: "...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ Геделя, Эсхера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в нескончаемую золотую цепы".
...И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия...
Мечтатели, сибиллы и пророки,
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли — вне сознания — далеко,
Туда, где светят царственные числа.
Валерий Брюсов
Примечания
1
Более того, даже весьма далекую от проблем науки книгу рассказов, изданную в 1982 году, Сергей Сартаков, секретарь правления Союза писателей СССР, назвал "Лист Мёбиуса". Причем идея односторонней поверхности играет в ней довольно заметную роль и изложена вполне точно.
(обратно)
2
Здесь, а также далее, в скобках стоят номера рисунков, гравюр, фотографий и чертежей, которые, если взглянуть на них, порой могут доставить несколько секунд удовольствия, не говоря уже о том, что они имеют прямое отношение к тексту.
(обратно)
3
До Эйлера эту формулу знали Декарт и Лейбниц.
(обратно)
4
"В запасе осталось еще пятое многогранное построение, — пишет Платон в "Тимее", — его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал и украшал ее".
(обратно)
Мотив со всадниками — гравюру, так и названную "Всадники", вы найдете в этой книге, пользуясь все тем же "Указателем", помещенным в конце ее.
(обратно)
7
"Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней, а центры граней куба соответствуют вершинам октаэдра", — писал Кеплер. Это видно и на гравюре Эсхера "Кристалл".
(обратно)
8
На этой же гравюре внимательный глаз различит и все правильные многогранники. В частности, нижний хамелеон держится nej редкими лапами за октаэдр и тетраэдр, а хвостом обвил другой октаэдр. Верхняя же тварь, наоборот, обвила хвостом ребро тетраэдра, а лапами вцепилась в два октаэдра.
(обратно)
9
Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году, — "О гармонии мирл пять книг". Разными авторами оно переводится как "Гармония мира" и как "О гармонии мира".
(обратно)
10
На каждой из двенадцати пятиугольных граней "обычного" Додекаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней становится 5*12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30+(5*12) = 90. И, наконец, любая пирамида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гравюре "Силы гравитации".
(обратно)
11
Множество звездчатых тел получил советский исследователь В. Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов" созданных В. А. Сомовым и А. М. Бреславцем.
(обратно)
12
Это если считать по дате опубликования работы. Но Людвиг Шлефли получил то же доказательство раньше. Его рукопись долго пролежала в университетах Лейпцига и Берна и была опубликована лишь а 1901 году, через шесть лет после смерти автора.
(обратно)
