А может быть, вы математик? [Виктор Николаевич Тростников] (fb2) читать онлайн

Виктор Тростников А может быть, вы математик?

Принимая во внимание возраст подписчиков журнала «Юность», я готов держать пари, ставя один против десяти, что читающий эти строки является потенциальным математиком. Условия вполне честные: вероятность того, что в молодом человеке, не прошедшем курс специального обучения, таятся неизвестные ему и окружающим математические способности, составляет что-то около десяти процентов.

Допустим, я выиграл спор. Это значит, что вы относитесь к одной десятой человечества, отмеченной некоей печатью. В таком случае у вас появляется шанс — получив соответствующее образование, из скрытого математика превратиться в явного, стать профессионалом-математиком. Как велик этот шанс? Пока отложим этот вопрос, попробуем разобраться в нем позже.

Вероятность стать математиком сохраняется, даже если вы не так уж юны. Имеется множество примеров того, как математический талант раскрывался уже в зрелые годы — под влиянием случайных обстоятельств — и его обладатель становился крупным ученым, несмотря на то, что начал изучать математику, казалось бы, слишком поздно. Подобным образом сложилась судьба у столь знаменитых исследователей, как Лефшец, Эшби и другие.

Уважение к математике и людям, в нее посвященным, существовало всегда с самых первых шагов систематического человеческого знания.

Математику часто именуют «царицей наук». Кроме этого монархического титула, у нее есть и другой, более демократичный: «служанка наук». Но здесь «служанка» понимается скорее как добрая фея, всегда готовая прийти на помощь и не чуждающаяся черновой работы, если таковая оказывается необходимой.

Если математику восхваляют те, кто ее не очень хорошо знает, но кто нуждается в ее услугах, то что же говорить о самих математиках! Естественно, что они считают эту науку самой лучшей и самой важной. Но их можно заподозрить в небеспристрастности, поэтому будем считать, что общественное мнение выражается все же устами потребителей, а не творцов математики.

В наши дни число потребителей математики особенно велико; уважение к ней превзошло все рекорды прошлого. Математика занимает сейчас видное место в курсах обучения биологов, лингвистов, философов, экономистов. Ее господствующее положение в науке укрепляется с каждым годом, а авторитет прогрессивно растет. Математики ценятся сейчас очень высоко — выше большинства других специалистов; спрос на них намного опережает предложение, и они имеют возможность почти всегда выбирать себе работу по вкусу. Это значит, что, став дипломированным математиком, вы войдете в число представителей науки, окруженной ореолом славы и являющейся в некотором смысле символом современной цивилизации.

В таком случае не попробовать ли вам проверить самого себя? Я предлагаю вам упрощенный вариант проверки, который не потребует выучивания каких-то учебников и сдачи экзаменов. Конечно, такая поверхностная проверка недостаточно надежна, она полезна лишь в качестве первого шага. При положительном результате вы можете отнестись к себе серьезнее и приложить усилия к тому, чтобы реализовать свои возможности.

Если хотите рискнуть, следуйте за мной.

Сейчас вы подвергнетесь испытанию, в результате которого выяснится наличие или отсутствие в вашей натуре одного необходимого для математика качества. Какого, я скажу потом. А пока ознакомьтесь с несколькими задачами.

Задача № 1. На приведенном рисунке точками изображены ученики некоторого класса (мальчики и девочки). Каждая стрелка обозначает «отношение братства»; тот, к кому протянута стрелка, является братом того, от кого она протянута. Можете ли вы утверждать, что на схеме нарисованы не все стрелки? Можете ли вы определенно указать девочек?

Задача № 2. Какое число должно быть написано следующим в оборванном ряде: 2, 5, 9, 16, 27, 45, 74, 121, 197,...?

Задача № 3. «Счастливым» называется троллейбусный билет с таким номером (они шестизначные), в котором сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр. Сколько существует различных счастливых билетов?

Задача № 4. Сколько существует троллейбусных билетов с суммой всех цифр 27?

Задача № 5. В гостиницу приехал путешественник, у которого не было денег, а была серебряная цепочка, состоявшая из шести звеньев. Хозяин согласился получить за каждый день пребывания путешественника в гостинице по звену, но при этом взять не более одного распиленного звена. Как следует распилить цепочку, чтобы иметь возможность ежедневно расплачиваться с хозяином в течение шести дней?

3адача № 6. Докажите, что для раскраски любой географической карты (так, чтобы страны, закрашенные одинаковой краской, не граничили друг с другом) достаточно четырех красок.

Теперь приступим к испытанию. Впрочем, оно уже позади. Остается только ответить на вопрос: «Как вам понравились эти задачи?» Да, да, именно так я хочу поставить вопрос. Мне совершенно не важно сейчас, решили вы их или нет, тем более, что некоторые из задач чрезвычайно трудны. Возник ли у вас интерес к этим задачам, желание решить их? Вот что главное.

Если интерес появился, значит, вы прошли первое испытание. Если нет, не пытайтесь стать математиком: это будет лишь пустая трата сил.

Чтобы результат проверки был показательным, я подобрал задачи, не имеющие никакого практического значения. Мне нужно было выяснить, насколько ваш интерес к математике бескорыстен. В приведенных задачах все условно, надуманно; ситуации не являются в них жизненными. Это чистая игра ума. Тем не менее эти задачи непременно затронут всякого, в ком есть «математическая жилка».

Знаменитый английский математик Годфри Гарольд Харди утверждал, что «очень малая часть математического знания прямо используется в практике, а то, что используется, является сравнительно малоинтересным». Эта фраза, несмотря на кажущееся ее несоответствие действительности (мы ведь все время слышим разговоры о все возрастающей роли математики в достижениях других наук, техники, о ее роли в развитии народного хозяйства и т.д.), имеет очень глубокий смысл. Математика, безусловно, широко используется во многих областях, но используется больше косвенно, чем прямо. Творцы математики, как правило, не думают о применениях — последние возникают как некий побочный продукт мыслительных усилий.

Видели ли вы когда-нибудь маленьких лисят в зоопарке? Наблюдать за этими зверьками можно без конца. Они все время наскакивают друг на друга, борются, возятся. Воинственная игра составляет 99 процентов времени лисят, не занятого сном и едой. Примерно таким же образом ведут себя волчата, львята и другие детеныши млекопитающих.

Можно спросить: в чем смысл этой непрерывной игры? Выгода для вида в ней, вероятно, имеется: зверь с раннего детства вырабатывает определенные качества, которые понадобятся ему впоследствии, когда он будет охотиться, спасаться от врагов и прочее. Но ведь лисенок и львенок не знают о том, что тренировка окажется для них полезной. Объяснение механизма игры нужно искать не в абстрактных понятиях биологической целесообразности, а в тех конкретных свойствах, которыми обладают млекопитающие. В этих существах заложена огромная жизненная энергия, именно она обеспечивает процветание биологического класса. Но зверь не может с первых месяцев жизни знать, в каких случаях практически выгодно высвобождать энергию, а в каких нет. Экономии сил он научится уже в зрелом возрасте, в результате накопившегося опыта. Следовательно, игра есть побочное следствие тех особенностей зверя, которые обеспечивают ему успех в борьбе за существование, а не акция, сознательно направленная на подготовку к этой борьбе.

В этом смысле юного одаренного математика можно сравнить с резвящимся лисенком. Он не имеет ни малейшего представления о том, какие задачи важны для практики, а какие не важны. Скептическая мысль «а зачем это нужно?» не приходит ему в голову, так как математическая мощь, живущая внутри него, требует исхода, ей хочется расправить плечи, поиграть мышцами. Удалая умственная забава соответствует потребностям натуры, поэтому все кажется слишком интересным, чтобы возникали проблемы применения.

Как объяснить человеку, начисто лишенному математического таланта, почему хороша задача о цепочке и гостинице, хотя она самым явным образом вымышлена и ее решение абсолютно никому в жизни не понадобится?

Былинные богатыри в юношеских забавах отрывали сверстникам руки и ноги. Молодые гиганты не понимали, какие цели являются достойными применение их сил; это понимание пришло значительно позже, когда они железным заслоном встали против врагов на рубежах Родины. Так же развивается и гигант математической мысли. Прежде всего он ощущает потребность реализовать свои огромные мыслительные возможности, в частности решать задачи. Неважно, какие задачи, лишь бы они были достаточно трудными.

Как-то я шел по лесу с девочкой девяти лет. Это была весьма легкомысленная особа, любившая самые глупые забавы. Ребенок как ребенок — шаловливый, шумный. Я сказал ей: «Нужно идти домой», — потом добавил для усиления эффекта: «Домой идти нужно». И тут мне пришла мысль поиграть со своей спутницей. Я спросил ее:

— А сколько раз можно сказать эту фразу, переставляя по-разному ее слова?

— Шесть раз, — ответила она без малейшей паузы.

Я преподавал математику во многих вузах, поэтому смог оценить быстроту счета. Заметьте: я воспринял мгновенный ответ именно как молниеносный перебор в уме всех возможных вариантов построения фразы. Уже через несколько секунд я обнаружил, что жестоко ошибся.

- А если бы было четыре слова? — спросил я, сам не зная для чего, просто, чтобы поддержать разговор.

— Двадцать четыре, — ответила она, не прекращая даже занятия, которым в тот момент была поглощена, — обрывания лепестков у ромашки.

Мне стало не по себе. Тихим голосом я задал следующий вопрос:

— А если пять слов?

На этот раз она перестала заниматься цветком и взглянула на меня с искрой любопытства в глазах.

— Ну что ж, это можно подсчитать... двадцать четыре умножить на пять... сто двадцать!

Теперь уже сомнений не было: ученица третьего класса самостоятельно открыла формулу для числа перестановок из n элементов —

Р_n = n!

но не знала, что сделала открытие, ибо эта формула казалась ей слишком очевидной.

Девочка со столь блестящими способностями, с таким сильным и ясным мышлением, разумеется, не могла задать традиционного вопроса «середняка» — «Зачем это нужно?». Гимнастика была просто необходима ее великолепно устроенному уму. И потом, когда мы начали заниматься математикой серьезно и систематически, она ни разу не задумалась над проблемой практической полезности тех знаний, которые я ей сообщал. Для нее было самым естественным и приятным занятием решать задачи, если они не были очень уж простыми.

Итак, реакция «А для чего это может понадобиться?», если она у вас возникла при чтении текстов приведенных шести задач, означает, что первый же тур экзаменов вами не пройден и математик из вас не получится. Конечно, существует множество других не менее достойных профессий, и вы наверняка найдете себя в одной из них. Но мы сейчас говорим о математике. Однако те, кто был задет за живое нашими задачами, кого они вдохновили на размышления, не должны еще считать себя проигравшими спор. Впереди следующие туры проверки.

Великий французский математик Анри Пуанкаре сказал как-то: «Всякий хороший математик должен быть хорошим шахматистом, и, наоборот, кроме того, математик должен быть и хорошим вычислителем...

Но существуют и исключения, а может быть, я и неправ, называя их исключениями, ибо они, возможно, более многочисленны, чем случаи, подтверждающие правило...

Что касается меня лично, то я должен признаться: я абсолютно не способен сложить два числа без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю в шахматы».

Пуанкаре говорит об этом как о парадоксе. На самом деле: странно, что математики в общем не выделяются в качестве шахматистов среди остальных людей, хотя в других, казалось бы, значительно меньше связанных с математическим мышлением занятиях (например, в раскройке тканей или в починке электропроводки) они имеют заметные преимущества. Парадоксальность ситуации проявится еще резче, если принять известный тезис «математик сделает это лучше», под которым понимается, что в случае, когда двум людям, из которых один — математик, а другой — нет, поручается одинаково незнакомая для них работа, то первый справляется с ней успешнее. Есть серьезные экспериментальные подтверждения этого тезиса, конечно, если понимать его в статистическом смысле. Но коль скоро математическая одаренность помогает в любом деле, то почему же она не сказывается на умении играть в шахматы — в игру, которую можно рассматривать как математическую?

Чтобы попытаться объяснить видимое противоречие, подойдем к нему еще с одной стороны.

В Советском Союзе, как, вероятно, и во всех других странах мира, существует значительное число людей, посвящающих большие и длительные усилия разрешению «вечных» математических головоломок. В Академию наук и другие учреждения непрерывно поступает поток «доказательств» великой теоремы Ферма, «методов» квадратуры круга и т. д. Мне прислал недавно письмо некий энтузиаст, который, по его словам, уже в течение сорока лет занимается проблемой трисекции угла. К письму было приложено только что найденное автором «окончательное решение» древней задачи (конечно же, в рассуждении содержалась грубая ошибка). Будем называть тружеников такого сорта «ферматистами», даже если объектом их настойчивого стремления служит не доказательство теоремы Ферма, а решение какой-то другой проблемы такого же класса трудности.

Так вот, можно ли отнести представителей этого многочисленного отряда ферматистов — изобретателей, открывателей и реформаторов математических методов — к математикам?

Решительный ответ таков: нет, нет и еще раз нет. Несмотря на некоторую осведомленность в математических вопросах, знание соответствующей литературы (хотя бывают и совершенно невежественные ферматисты), несмотря на любовь и уважение к математике, несмотря на пылкость и трудолюбие, эти люди не имеют никакого права на то, чтобы называться математиками. Этого права их лишает полная бесплодность работы.

Математика часто представляют романтиком, идеалистом. В действительности он самый большой реалист. Но его реализм заключается не в узком утилитаризме, не в стремлении выжать из всего практическую пользу (об отсутствии таких тенденций, особенно у молодых математиков, мы уже говорили подробно), а в том, что он никогда не возьмется за какое-то дело, если не видит с достаточной ясностью возможности довести это дело до конца.

Ферматиста, по-видимому, привлекает сам процесс размышлений и поисков; математика влечет результат — не практический, а математический результат, решение поставленной задачи. Для ферматиста не существенно, если процесс исканий бесконечно затягивается, — тем дольше живет иллюзия творчества. Для математика топтание на одном месте невыносимо.

Мышление ферматиста можно охарактеризовать как сумеречное. Он живет в неясном ожидании некоего чуда и не обладает достаточной решимостью признаться самому себе, что чуда не произойдет. Рассуждая поверхностно, отворачиваясь от всего, что может принести ему огорчение, он создает для себя искусственную ситуацию и с неизбежностью все дальше запутывается в самообмане. По прошествии нескольких лет бессмысленных, но дорогих ему усилий он оказывается настолько вовлеченным в систему лжи, что отбросить ее уже не может. Такое встречается иногда н в других областях, например, в политической деятельности. Но там трусость и связанное с ней самоослепление чреваты страшными последствиями (вспомните судьбу «теоретиков», оправдывавших и обосновывавших нацизм), в то время как в математике или в других близких научных вопросах добровольное отгораживание себя от реальности не приводит к трагической развязке. Ферматист сколь угодно долго может пребывать в не приносящем ему особой радости, но устойчивом состоянии равновесия.

Мышление математика последовательно и бескомпромиссно. Как бы ни были ему неприятны какие-то выводы, он принимает их, если они неизбежно следуют из достоверных фактов или принятых аксиом. Он стремится дойти во всяком рассуждении до самых основ, обрести полную ясность.

Самая большая любовь математика — любовь к простоте. Она является основной движущей силой его деятельности. Ему ненавистны завуалированность, недосказанность, двусмысленность, намеки, многозначительные недоговорки. Когда он сталкивается с запутанной ситуацией, которую многие другие люди, например, некоторые представители художественных профессий, очень любят (считая, что запутанность означает сложность, а сложность означает богатство содержания), у него появляется дьявольски сильное желание разрубить ее прямолинейным ударом меча.

Именно с прагматизмом математика, с его непреоборимой тягой к определенности и конкретности результата связано его равнодушное отношение к шахматам. Возможно, математик, если бы захотел, играл бы несколько лучше нематематика. Но все дело в том, что для него эта игра не представляется интересной. Вот если бы она была несколько попроще — вроде «игры в 15» — и допускала бы полный обсчет, тогда бы этот обсчет представлял для математика любопытную задачу, которую он мог бы взяться решить. Но дать точную теорию шахматной игры пока невозможно. А выигрывать отдельные партии — занятие частное, не допускающее обобщения, не имеющее «выходов» в какие-то другие части интеллектуального царства, короче говоря, в прагматическом смысле бесперспективное. Играть в шахматы можно учиться всю жизнь, но никогда нельзя научиться играть абсолютно правильно. Поэтому с точки зрения математики шахматы являются чем-то вроде теоремы Ферма — топтанием на месте, упражнением, не приводящим к результату. В этом и заключается частичное объяснение парадокса Пуанкаре.

Можно спросить: так что же, «вечные» проблемы математики так и обречены оставаться нерешенными? Так их и будут обходить ученые, боясь зря потратить время?

Разумеется, нет. Ярчайшим опровержением служит недавнее разрешение американским молодым математиком Полем Коэном одной из казавшихся безнадежных задач. Она была сформулирована 80 лет назад, и в последние годы уже мало кто относился к ней серьезно. Однако Коэн взялся за эту проблему, не будучи ни в малейшей степени ферматистом. Просто он является ученым самого высокого класса, обладает огромными знаниями, талантом. Большому кораблю — большое плавание, говорят в народе. Коэн как математик так силен, что, выбирая задачу себе по плечу, остановился «всего-навсего» на проблеме континуума. И решил ее.

После этих вводных слов давайте приступим к проверке вашего качества № 2, необходимого математику, — стремления к конкретности, любви к результату, научного реализма. Ответьте на нижеследующие вопросы с максимальной честностью, иначе все предприятие лишается смысла.

1. Когда вы в детстве задавали взрослым традиционные «почему?», старались ли вы докопаться до самого корня, нанизывая вопросы один за другим, как шашлык на шампур, или удовлетворялись первым же ответом, хотя бы и совершенно бессмысленным?

2. Слушая чей-то рассказ о некоторых событиях, пытаетесь ли вы во что бы то ни стало уловить основную мысль, вывод или вам доставляет удовольствие сам процесс словоизъявления, радует чистая, так сказать, риторика?

3. Рассказывая что-то другим, подчеркиваете вы в конце основную свою мысль или вам приходится частенько слышать реплики «Ну и что же из этого следует?» и «Что же ты хочешь этим сказать?»?

4. Возникало ли у вас когда-нибудь сильное желание узнать, из каких частиц состоит материя и какова структура Вселенной, или вы изучали атомную физику и астрономию только потому, что они входили в учебные программы?

5. Являетесь ли вы решительным противником того мнения, что древние люди, например, эллины, населявшие природу мифологическими существами, жили более интересной эмоциональной жизнью, чем мы, которым открыта вся «подноготная» явлений окружающего мира, или вы согласны с этим мнением?

6. Предпочитаете ли вы Хемингуэя Голсуорси или ставите второго выше первого?

7. Раздражаетесь ли вы, когда вам рассказывают содержание фильма, который вы собираетесь посмотреть, или же, наоборот, вы любите предварительно послушать такой рассказ?

Эти вопросы, конечно, не идеальны с точки зрения качества теста, а может быть, и просто плохи. Они подбирались без помощи какой-либо психологической теории, вроде тех, которые употребляются при изучении умонастроения избирателей перед выборами президента США или при измерении интеллектуальных способностей призывников в тех же США. И все же, если вы в каждой из семи альтернатив укажете на первую часть, это будет означать, что вас можно рекомендовать к следующему туру испытания.

На этот раз поговорим о качестве № 3 — качестве, которое чрезвычайно характерно для математика. Это способность к логическому мышлению. Четкая логика нужна в математике в большей степени, чем в какой бы то ни было иной области, кроме, может быть, юриспруденции. Логический склад ума — первейшая жизненная необходимость для математика, его воздух, вода и хлеб насущный.

Человек, обладающий логикой, всегда является реалистом (в математическом, а не в практическом смысле), значит, нельзя быть реалистом, не обладая логикой. Экзамен на логику, таким образом, более труден, чем экзамен на реализм, — качество № 3 распространено реже, чем качество № 2. Вы ждете, когда он начнется, этот логический тест? Он уже начался. Вас не покоробила фраза, стоящая в начале этого абзаца? Если в вас обостренно развито логическое чутье, она должна была покоробить: фраза составлена логически неправильно. Перечитайте ее еще раз как можно внимательнее. Ничего не заметили? Тогда объясню.

Из утверждения «логик всегда является реалистом» не вытекает (как это подразумевает употребление слова «значит») утверждение «реалист всегда есть логик» — точно так же, как из посылки «лошадь есть млекопитающее» не следует вывод «млекопитающее есть лошадь». Если бы качество № 2 являлось следствием качества № 3 и наоборот, то они были бы тождественными и нельзя было бы сказать, что третий экзамен труднее второго (что совершенно верно). Способность к логике проявляется только некоторыми из реалистов, и можно быть реалистом, не имея этой способности.

Человек с логической одаренностью очень чуток к ошибкам в рассуждении, подобным той, которую я сознательно допустил в обсуждаемой фразе. Такой человек иногда выглядит настоящим занудой для окружающих: он придирается ко всякой неточности, которыми изобилует человеческая речь. Но он делает это не из-за скверного характера — просто такого рода неточности, совершенно не замечаемые другими, ранят его душу, как фальшивые ноты ранят душу музыканта. Не замечали ли вы за собой этого стремления «ловить блох»? Если тяготение к логической завершенности высказываний в вас развито достаточно сильно, оно должно было обязательно проявиться, ибо не только в устной речи, но и в книгах, журналах и газетах, в статьях, песнях и стихах то и дело допускаются погрешности против логики. Фразы вроде той, которую я сконструировал намеренно, постоянно просачиваются на страницы печатного текста по халатности авторов, по «логической глухоте» редакторов и т.д. Удел врожденного логика — постоянно страдать из-за этих фраз. Испытывали вы такое страдание?

Если вопрос кажется вам слишком расплывчатым, поставлю его яснее. Вы наверняка знаете слова популярной песни:

Нравятся вам эти строки? Бесспорно, они очень образны и поэтичны, но... логика они заставят поморщиться. Если кораблям не спится, то как же они могут видеть сны, а если они видят сны, значит, они спят, а следовательно, им спится. Нехорошо получается, товарищ поэт, скажет бдительный страж безупречности рассуждений, неувязочка-с! И для него уже безразлично будет, хороши ли эти стихи по другим статьям, — ошибка в логике сразу обесценит в его глазах многочисленные достоинства стихов, лишит их привлекательности (в скобках говоря, я готов с ним согласиться: ведь существуют стихи одновременно и очень точные и очень художественные, значит, эти два достоинства не являются взаимно исключающими, так пусть поэты соединяют их вместе во всех случаях!).

Я не случайно взял «литературный» пример. Именно в сфере речи проявляется логическая мощь ума. Математические рассуждения, в которых необходима логика, тоже являются словесными, они есть продолжение и утонченное развитие тех логических рассуждений, которые всеми нами употребляются в повседневной жизни.

Человек с полным отсутствием логики не справится с простейшими бытовыми задачами. Человек с хорошей логикой может быть полноценным исполнителем почти любого интеллектуального дела. Но чтобы быть крупным математиком, необходимо обладать гениальной логикой — как для того, чтобы быть композитором, нужно иметь гениальный, особый музыкальный слух.

Та девочка, о которой я уже говорил выше, — настоящий бич для всех, кто не следит тщательно за своей речью. Она не прощает ни малейшего отступления от железной логики. Однажды при мне ей читали стихи Чуковского:

Дальше читающий решил пошутить и допустил «отсебятину»:

— Кто говорит?! — возмущенно оборвала его слушательница. — Кто говорит?

Ее резануло нововведение чтеца: ей было ясно, что персонаж сменился — раньше «говорил» Крокодил, а теперь повествование повелось от лица автора поэмы, а следовательно, сохранять присказку «говорит» стало логически бессмысленным...

Вот еще несколько из многочисленных случаев «реакции математика» на представляющиеся обычным людям вполне правомерными тексты.

Преподаватель вуза, очень тонкий математик, сказал однажды, что знаменитая русская песня о замерзающем «в степи глухой» ямщике кажется ему нелепой по своему содержанию. Такую оценку песни он пояснил следующим образом: в тексте говорится, что ямщик, замерзая, «товарищу отдавал наказ». Из этого следует, что товарищ надеялся добраться до дому и передать всем, кому следует, предсмертную волю несчастного ямщика. Значит, товарищ не подвергался угрозе замерзания, на которое был обречен герой песни. Но как можно представить себе ситуацию, в которой один из двух друзей прекрасно себя чувствует и собирается ехать или идти домой, а второй погибает от холода? Если даже предположить, что товарищ пойдет домой пешком, то, поскольку он не подвергается опасности замерзнуть, можно заключить, что он тепло одет. Почему же в таком случае он не дал часть своей одежды второму?

Подумав, я должен был согласиться, что вообразить такое стечение обстоятельств, в котором произошло бы описываемое в песне событие, очень трудно. Но миллионы людей, слушающих знакомую с детства песню, не обращают ни малейшего внимания на необычность действия...

Другой мой знакомый, физик, проявляет особую придирчивость к стихам русских поэтов прошлого века, не' затрагивая, правда, Пушкина. Немало достается от него, например, Фету. Известный романс последнего, в котором есть четверостишие, принимаемое большинством совершенно нормально:

он не может слышать из-за того, что нужно сказать не «все бледней», а «тем бледней» (поскольку выше есть слово «чем»).

Можно иронизировать над такой требовательностью, но нельзя отрицать, что в ней есть что-то справедливое. Если бы все читатели имели «абсолютный логический слух», поэтам пришлось бы работать над своими произведениями более тщательно. То, что подавляющее большинство людей обладает некоторой логической глухотой, показывает твердо установленный факт: почти все люди (вероятно, и вы тоже), цитируя по памяти прославленные строки из «Евгения Онегина», произносят:

У Пушкина же стоит: «тем легче нравимся мы ей», а это придает мысли почти противоположный смысл — несравненно более точный и глубокий. Верность и целенаправленность пушкинской мысли подчеркивается последующими словами: «и тем ее вернее губим средь обольстительных сетей». «Легче» и «вернее» сочетаются, гармонируют, резонируют. Но «больше» и «вернее» не выражают совместно ничего определенного. Идея, которой мы подменяем пушкинскую, не только расплывчата, но и просто неправильна.

Кто из нас не употреблял фразы типа «если во Франции производится столько-то стали, то в Московской области...». Такие обороты кажутся нам вполне нормальными. На самом же деле под сочетанием «если ...то» подразумевается причинно-следственное соотношение, а в приведенном примере его абсолютно нет (а если бы во Франции не производили столько стали, то в Московской области тоже перестали бы ее производить?).

Итак, ответьте мне, как следует подумав, проявляли вы когда-нибудь свойства рьяного защитника логической непорочности? Находят ли в вашей душе отклик приведенные выше примеры, замечали ли вы перечисленные выше огрехи в популярнейших фразах или другие, о которых здесь не говорилось, но имеющие ту же природу и тот же уровень ошибочности? Нравятся вам такие обиходные выражения, как «дождь перестал», не режут ли они вам слух?

Как видите, на сей раз вашу экзаменационную оценку предлагается выставить вам самим. Но не пытайтесь завышать ее. Сказав, «у меня хороший слух», еще не станешь музыкантом. Коль скоро у вас нет явного обостренного логического восприятия, никакие упражнения его не создадут (хотя и могут несколько улучшить). В этом случае быть творцом в математической науке вам не суждено.

* * *

Ну что ж, дорогой читатель, у нас с вами позади уже три очень серьезных испытания. Может быть, вы уже сдались и читаете статью из простого любопытства. Если дело обстоит не так, разрешите спросить вас: не надоели вам тесты, не устали вы от экзаменов, не появилось ли желание уклониться от дальнейших проверок?

Коли вы не боитесь новых испытаний, а тем более, коли вы жаждете их, чувствуете, что борьба становится все более важной для вас, то я приготовил вам сюрприз.

Я выиграл — вы можете претендовать на то, чтобы стать настоящим математиком. Ваши качества позволяют рассчитывать на этот высокий титул. Смелость в стремлении к цели была последним из этих качеств. По существу, математик не так уж сильно отличается от остальных людей. Но что-то должно присутствовать в нем от рождения, и это «что-то» присутствует в одной десятой части человечества. Не так уж мало!

Но не торопитесь считать себя готовым для математической карьеры. Не забудьте, как был сформулирован наш спор. То, что я выиграл, означает лишь, что у вас появился шанс сделаться математиком. Но стоит ли ловить этот шанс, об этом необходимо очень серьезно подумать, взвесив на этот раз уже не способности, а особенности темперамента, характера, воли.

Вначале мы обсуждали с вами привлекательность профессии математика. Да, слово «математик» звучит громко и современно. Но прежде чем решиться не на шутку пробовать свои силы, нужно дать себе ясный отчет в том, что, входя в «большую математику», человек бесповоротно обрекает себя на вечный, непрерывный труд. Можно возразить, что, мол, это относится и к любому другому делу. В какой-то степени это справедливо и по отношению к некоторым другим профессиям, но в такой ли степени, как по отношению к математике?

Вы можете накопить себе «научный капитал», обрести учеников, получить лабораторию, вырастить толковых помощников и сотрудников и к пожилому возрасту разрешить себе больше отдыхать, осуществлять идейное руководство или научное администрирование. Во многих занятиях у вас может возникнуть инерция имени, этакая пробивная сила славы. Ученые степени и прошлые научные заслуги играют большую роль при оценке трудов, сказываются в быстроте их публикования, в их распространении. Наконец, повсеместно огромное значение имеет опыт, хотя бы обычный жизненный опыт, не говоря уж о научном опыте: он позволяет делать работы с меньшей затратой сил как раз к тому времени, когда этих сил остается не так уж много. Короче говоря, представителям интеллектуальных профессий как бы помогает сама природа, и они вопреки возрасту могут непрерывно идти вверх по лестнице успеха — практически до самой смерти.

Математики — исключение!

Наука, которой они служат, беспощадна. Ее не интересуют ни накопленные заслуги, ни пышные звания, ни членские билеты академий. Ей нужны конкретные результаты. Ей нужен гигантский и притом непрекращающийся труд всей жизни.

Математики прекрасно понимают это и сами становятся беспощадными. Поговорите с математиком о математиках, спросите его: «А как вы расцениваете того-то?» Вы никогда не услышите в ответ: «Он много знает», или «Он эрудит», или «Он очень трудолюбив и образован». Ответы будут только двух типов: «Он сделал то-то и то-то» или «Он ничего давно уже не публикует». В первом случае ученый признается ученым, во втором — нет, какие бы степени у него ни были. Математика не проведешь на мякине, не обкрутишь вокруг пальца, не пустишь ему пыль в глаза с помощью сотрудников и помощников, с помощью обобщающих эссе. Ему подавай результаты, подавай всегда, каждый год, иначе тебя сбросят со счетов и никакая славная биография тебе не поможет. А ведь с годами добывать результаты становится все труднее.

Поэтому математика по судьбе можно сопоставить скорее со спортсменом, чем с ученым другой области науки. Он знаменит только до тех пор, пока остается сильным. Ослабел — дай место другим, сходи со сцены. Такова простая, жестокая и все-таки прекрасная логика самой логичной из наук.

Но математик, конечно, и отличается от спортсмена. Последнему нужны прежде всего мышцы, первому — ум. А сила ума может сохраняться значительно дольше силы мышц, но для этого человек должен все время работать. Поэтому, став профессиональным математиком, человек отрезает себе пути к расслаблению, к приятному пользованию нажитым. И само собой получается так, что вечный труд все больше и больше становится его образом жизни, его привычкой, а потом переходит в потребность и постепенно заменяет все — и радость физических наслаждений, и удовольствие широкого общения с людьми, и все то, без чего многие не представляют себе жизни.

Теперь, когда вы знаете и эту суровую правду о судьбе математика, делайте свой выбор — и да сопутствует вам успех!