Гармония чисел (fb2)


Использовать online-читалку "Книгочей 0.2" (Не работает в Internet Explorer)


Настройки текста:


Гармония чисел

Золотая пропорция

Деление отрезка АС на две части таким образом, что больший отрезок АВ относится к меньшему ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (то есть, АВ: ВС=АС : АВ). Принцип З.п. используют в архитектуре, изобразительном искусстве.

Термин ввел Леонардо да Винчи.


Гармонический ряд

Это числовой ряд 1 + 1/2 + 1/3…+ 1/n…. Называют его так потому, что каждый член ряда, начиная со второго, равняется среднему гармоническому двух соседних.

Члены Г.р. с увеличением числа уменьшаются и приближаются к нулю, однако частичные суммы Sn = 1 + ½ + 1/3… + 1/n неограниченно возрастают.


Малая теорема Ферма

Невероятно, но факт: числа, составленные из одних 9, имеют удивительные свойства. Какое бы простое число p, отличное от 2 и 5, вы бы не взяли, всегда можно указать такое число, составленное из одних девяток, которое будет делиться на p. Например, на 3 делится 9; на 7 – число 999999; на 11 – число 99; на 13 – снова-таки 999999; на 17 – число 9999999999999999; на 19 – число 999999999999999999 и т.д.

Вот общая формула, получившая название Малой теоремы Ферма: если p – простое число, a – натуральное число, то ар делится на p.


Простые числа

Натуральные числа большие, чем 1, которые делятся лишь на себя и единицу. Это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Количество П.ч. бесконечно.

В 2008 г. энтузиасты из проекта распределенных вычислений GIMPS обнаружили самое большое на сегодняшний день простое число, длина десятичной записи которого превышает 10 миллионов символов.


Простые числа Мерсенна

Это числа вида Мр = 2р -1 , где р – простое число. До 1750 г. их было найдено всего 8.

И не удивительно: дело это весьма трудоемкое. Например, в рамках Международного проекта поиска простых чисел Мерсенна (тому, кто первым установит такое с более чем 10 миллионами знаков, Electronic Frontier Foundation выплатит премию в размере $100 тысяч) канадцу Майклу Камерону пришлось следить за работой 800-мегагерцового компьютера в течение 45 дней. Но он таки «вычислил» очередную таинственную «цифирь». На бумаге число выражается следующим образом – 213466917 – 1 и состоит из 4 миллиона 53 тысячи 946 знаков. Только на графическое изображение сего простого числа уйдет …три недели.

Математики Калифорнийского университета (США) продвинулись еще дальше: в 2008 г. они открыли простое число с 12978189 миллионов знаков. Оно стало 45-м известным числом М.

Что касается поиска простых чисел Мерсенна, имеющих вид 2n – 1, то 15 мая 2004 г. было открыто сорок первое из них – 224036583-1. В нем приблизительно на миллион цифр больше, чем в известном к тому времени другом наибольшем простом числе. Чтобы хоть как-то представит себя эту величину, можно вспомнить, что общее количество атомов во Вселенной записывается …всего девятью десятками цифр.

До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количеств чисел Мерсенна.


Простые числа Ферма

Это числа 22k+1. При k = 0, 1, 2, 3, 4 это числа 3, 5, 17, 257, 65537.


Дружественные числа

Это такие два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы.

Следующая пара дружественных чисел – 17296 и 18416 (найдены в 1636 г.). Последующие числа открыли Декарт, Эйлер и Лежандр.

Шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир сообщением в том, что числа 1184 и 1210 – тоже дружественные. Невероятно, но факт: пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели до тех пор все знаменитые математики мира.


Совершенные числа

Натуральные числа, которые равняются сумме всех своих делителей (за исключением самого числа). Например, 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Ученым известны свыше трех десятков С.ч. Наибольшее из них получаем при р = 132049 (это число с 39751 десятичным знаком). Соответствующее ему С. ч. 286242 (286242 – 1) имеет 79502 десятичных знаков.

Все известные до сегодняшнего дня С.ч. (их общее количество неизвестно) – парные. Не найдено ни одного непарного совершенного числа, хотя в его поисках проверены все числа вплоть до 1050.

Брайен Такхерман (США) высказал предположение, что, если такое число и существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.


Идеальные числа

Совокупность чисел, принадлежащих к конкретному числовому кольцу (в случае произвольного кольца – совокупность его элементов) и имеющих следующие свойства:

1. Сумма и разность двух чисел данной совокупности принадлежит этой же совокупности;

2. Произведение числа из этой совокупности на любое другое число кольца также принадлежит этой же совокупности.

Пример: 3k + (2 + √-5)L, где K и L – любые целые рациональные числа.


Рациональные числа

Числа вида m/n, где m и n целые числа, а n не равняется нулю. В свою очередь, любое Р.ч. есть алгебраическое число.


Иррациональные числа

Числа, которые невозможно точно выразить с помощью дроби m/n, где m и n – целые числа. Они могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например, 0,10100110001…, у которого количество нулей между единицами все время увеличивается на один или дробь, которая есть любое иррациональное число, напр., √3.


Трансцендентные числа

Числа, не удовлетворяющие ни одно алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами. Все они – иррациональные.

Например, это p = 3,1415926…; е = lim (1 + 1/n)n = 2,71828…; десятичный логарифм любого целого числа, которое не изображается единицей с нулями.


Фибоначчи числа

Числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, в которой каждый следующий член равняется сумме двух предшествующих.

Кстати, подобные числовые закономерности очень часто встречаются в природе. Так, черенки прилегают к стеблям по спирали, проходящей между двумя соседними листочками: 1/3 полного витка у орешника; 2/5 – у дуба; 3/8 – у тополя и груши; 5/13 – у плакучей ивы. Чешуйки елочной шишки, ячейки ананаса, семена подсолнуха в гренке тоже расположенные по спирали, причем количество спиралей каждого направления, как правило, – числа Фибоначчи.


Треугольные числа

В давние времена люди считали с помощью камешков и обратили внимание на то, что в ряде случаев их можно составить в виде правильной геометрической фигуры. Первейшая – это треугольник. Прослеживается такой ряд: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15 и т.д.

Иными словами, Т.ч. равняются сумме всех целых чисел от 1 до n.


Прямоугольные числа

Не труднее составить камешки и в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (расположить их в одну линию: 6 х 2; 4 х 3; 3 х 4; 2 х 6), а число 13 – лишь расположив камешки в одну линию. Однако такое число древние не считали П.

Таким образом, прямоугольными являются все составные числа, а непрямоугольными – простые числа.


Пятиугольные числа

Чтобы сосчитать Пг.ч., его разбивали на три треугольные после чего оставалось еще n точек. В результате получали, что Пг.ч. равняется n + 3 n (n – 1)

Таким образом, можно создать любые многоугольные числа.

Формула для n-го k-угольного числа такая: Pkn= n + (k-2) n (n – 1)


Квадратные числа

Их получают вознесением данного числа в квадрат: например, 25 = 52; 49 = 72; 100 = 102 и так далее.

Представьте себе квадрат со стороной 5; перемножьте на другую сторону (тоже 5, на то фигура и квадрат) и получите 25. То же именно: 49 = 7 х 7; 100 = 10 х 10 и так далее.

Иными словами, квадратное число равняется n2.


Пирамидальные числа

Пир.ч. получают, если камешки составляют так, как когда-то складывали ядра возле пушек. Нетрудно увидеть, что n-е пирамидальное число равняется сумме всех треугольных чисел – от первого к n-му.

Вот формула Пр. числа: nn= n (n + 1)(n + 2)


Алгебраические числа

Числа, которые соответствуют алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, где есть корни уравнений вида а0хn + а1хn-1 + …+аn=с, где а0, а1, аn – целые числа.

Примерами могут служить 1 + √2 (корень уравнения х2-2х – 1 = 0); 3√11 (корень уравнения х3-11 = 0). По сути, алгебраическое – каждое рациональное число p/q, поскольку оно есть корнем уравнения р = 0.


Комплексные числа

Так называют числа вида a + bi, где a и b – соответствующей действительности числа, а i – особое число, квадрат которого равняется -1(i2 = -1). Действия с К.ч. выполняют так, как и с многочленами. При этом i2 заменяют на -1.

Например, (2 + 3i) + (4-8i) = 6-5i.


Священные числа

Св.ч. – это числа, которым приписывается сверхъестественный смысл. Вот они:

3, 7, 9, 12, 40, 60.


Дьявольские числа

13      Следует за счастливым «12»

666*      Сумма числовых значений имени «Нерон» на иврите

*Дьявольские свойства ему стали придавать из-за фразы в главе 13-й Откровения Иоанна Богослова: «Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо число это человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть».


Самое таинственное число

Никакое другое число не является таким загадочным, как «Пи (π)» – отношения длины окружности к диаметру – с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Как и всякое другое иррациональное число, оно представляется бесконечной непериодической десятичной дробью 3,141592653589793238462643...

Практического значения проблема не имеет: например, чтобы вычислить длину окружности с диаметром, равным диаметру Вселенной, с погрешностью меньше диаметра одного атома водорода, достаточно всего 39 знаков «Пи». Однако именно с количеством этих цифр связано много теоретических вопросов, для которых подобного рода исследования - фактически экспериментальная проверка тех или иных гипотез.

С давних времен π не дает покоя землянам… Так, немецкий король Фридрих Второй, далекий, кстати, от математики, даже посвятил ему…дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить «Пи».

Существует и Пи-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают новые данные о своем цифровом кумире и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, нужно запомнить как можно большее количество чисел после запятой. Рекорд запоминания принадлежит А. Слюсарчуку (Украина): он удержал в памяти 1 миллион знаков «пи».

Определять максимальное количество знаков – любимое занятие многих математиков. Так, японец Ясумаса Канада вычислил 1,2 биллиона чисел бесконечной последовательности, а француз Фабрис Беллар - 2,7 триллиона знаков. Но вскоре коллегу превзошел Николас Чже из технологической компании Yahoo, определивший уже 2000000000000000-ю цифру.

Последний рекорд, принадлежащий американцу А. Йи и японцу Ш. Кондо, - 10 триллионов знаков (2011)


Самая загадочная цифра

Если счастливой многие считают цифру 7, то наиболее загадочная, несомненно, 9. Знаете ли вы, например, что она невидимо присутствует в датах рождений всех без исключения людей?

Не верите?! Возьмем день рождения одного из авторов данного справочника — 2 марта 1951 г. Запишем дату, как одно число — 231951. Переставим цифры в любом порядке. Пусть это будет, к примеру, 921315. Теперь от большей цифры отнимем меньшую: 921315 – 231951 = 689364. Плюсуем цифры остатка: 6+8+9+3+6+4=36. Плюсуем две итоговые цифры: 3+6=9! Что и требовалось доказать.

Наиболее недоверчивым предлагаем переставлять цифры на собственное усмотрение, взяв даты рождения кого угодно — все равно получите вездесущую девятку. Более того, возьмите любую произвольную цифру и проделайте с нею такую же операцию: можете не сомневаться, вам на финише «улыбнется» добрая знакомая — загадочная «9».


Самое загадочное из существующих чисел – 10122?

Американский военный физик Скотт Фанкхаузер утверждает: если и существует таинственное число, то оно, несомненно, 10122. Почему?

Ну, во-первых, оно или числа, к нему близкие, присутствуют в описаниях соотношения значительного числа физических постоянных.

Так, количество способов размещения частиц во Вселенной - мера энтропии – именно 2,5x10122. А темная энергия, по некоторым расчетам, составляет 10-122 от энергии вакуума. Сопоставлять эти две величины, все равно что сравнивать галактику и кварк: а, поди ж ты, – «122» присутствует в каждой из них!

Скотт Фанкхаузер ссылается на Дирака и Эддингтона, обнаруживших в 1930-х годах другое "совпадение больших чисел" — 1040, которое, если уж на то пошло, - примерно корень кубический из 10122.

В свою очередь, отношение массы наблюдаемой Вселенной к минимально возможной массе (кванту массы) составляет 6x10121. Согласитесь, для таких огромных чисел расхождение - совершенно незначительно. Да и современные теории – далеки от совершенства.

На взгляд ученого, подобные «совпадения» не могут быть случайными. Скорее всего, в их основе лежит пока не установленная какая-то фундаментальная причина, могущая играть значительную роль в описании фундаментальных свойств Вселенной.


Магический квадрат

М.к. – квадратная таблица целых чисел от 1 к n2 расположенных так, что суммы элементов каждой строки, каждого столбца и обеих диагоналей одинаковы.

40 31 38 29 33 26 35 28

41 18 43 20 48 23 46 21

56 15 54 13 49 10 51 12

57 2 59 4 64 7 62 5

32 39 30 37 25 34 27 36

17 42 19 44 24 47 22 45

16 55 14 53 9 50 11 52

      1 58 3 60 8 63 6 61


Магический латинский квадрат

М.л.к. – квадратная таблица, состоящая из n разных чисел, всех – по n раз, расположенных так, что в каждой строке и в каждому столбце каждое из чисел встречается лишь один раз.

1 3 5 7

7 5 1       3

3 1 7       5

5 7 3       1

 

Магический греко-латинский квадрат

М.г.-л.к.- квадратная таблица, в каждом клетке которой расположены пары чисел таким образом, что первые и вторые компоненты этих пар являются латинскими квадратами.

8818 1111 8188 1881


8181 1888 8811 1118


1811 8118 1181 8888


1188 8881 1818 8111


Дьявольский квадрат

Чтобы получить такой, нужно свернуть квадрат трубочкой, затем растянем ее и изогнуть так, чтобы она превратилась в тор. В этом случае все строки, столбцы и диагонали квадрата превратятся в замкнутые кривые.

Шагнув из любой клетки на два шага по диагонали (то есть перепрыгнув через одну клетку), мы всегда окажемся в одной и той же клетке, в каком бы направлении ни шли. Ее называют «антиподом» той, из которой началось движение. Сумма чисел в любых двух антиподах всегда равна 17. Любая замкнутая полоска из четырех клеток, расположенных вдоль меридиана, параллели или по диагонали, содержит числа, сумма которых, так же как и для любых четырех клеток, образующих на поверхности квадрата «заплатку», равна 34.


Дьявольский квадрат остается дьявольским, если над ним производить пять различных преобразований: 1) поворот; 2) отражение; 3) перестановку строки сверху вниз и наоборот; 4) зачеркивание столбца справа или слева и переписывая его с противоположной стороны и 5) особую перестановку клеток. Комбинируя эти пять преобразований, можно получить 48 основных типов дьявольских квадратов (если считать, что к допустимым преобразованиям относятся повороты и отражения, то число типов возрастет до 384).

Ученые Дж. Б. Россер и Р. Дж. Уокер установили, что дьявольские квадраты возможны во всех порядках n, больших 4, за исключением четных n, не делящихся на 4, а количество их только пятого порядка равно 28800 (квадраты, получаются друг из друга при поворотах и отражениях, они считали различными).


Насик*


40

31

38

29

33

26

35

28


41

18

43

20

48

23

46

21


56

15

54

13

49

10

51

12


57

2

59

4

64

7

62

5


32

39

30

37

25

34

27

36


17

42

19

44

24

47

22

45


16

55

14

53

9

50

11

52


1

58

3

60

8

63

6

61


*В любом направлении – 260.


Магическая матрица

Как бы вы ни выбирали в этой матрице 6 чисел, из которых никакие 2 не находятся в одной строке или в одном столбце, их сумма будет всегда равняться 30.

«Магия» – в числах-генераторах (цифры вне квадрата). Они могут быть любыми. Но в каждый леток вписывается число, равное сумме двух генераторов, которые расположены возле той строки и того столбца, на перекрещивании которых расположен леток.

4 1 5 2 0 3

1 5 2 6 3 1 4

5 9 6 10 7 5 8

2 6 3 7 4 2 5

4 8 5 9 6 4 7

0 4 1 5 2 0 3

3 7 4 8 5 3 6


Мелодия цифр, положенных на музыку

Не так давно американский музыкант М. Блейк положил на музыку число Пи (2011).

Делал он это таким образом. Сначала присвоил нотам от «до» одной октавы до ноты «до» следующей октавы номера от 1 до 8. Затем взял запись числа Пи и переложил его на ноты в полном соответствии с созданной кодировкой. Ну и дальше – аранжировка полученной мелодии в темпе 157 ударов в минуту (то есть 314, деленное на два).

Проиграл друзьям – понравилось.

Воодушевленный первым успехом, М. Блейк по той же схеме создал мелодию числа Тау, равного 6,283185 (отношение длины окружности к ее радиусу). Звучала она, по всеобщему мнению, более гармонично.

Теперь фанатик «музыки цифр» решает, какую математическую константу он «аранжирует» следующей.


Толкование геометрических символов


Символ

Толкование


Круг

Космос, единство, бесконечность, совершенство


Квадрат

Земля, абсолютное равенство, истина, справедливость, порядок, прямота, честь


Диск (мандала)

Модель Вселенной, карта Космоса


Крест

Жизнь, бессмертие, дух и материя в единстве


Крест и круг

Сочетания мужского и женского


Крест и шар

Торжество духовного


Крест, якорь и сердце

Вера, надежда, милосердие


Крест и голубь

Озаренность Креста святым духом


Крест и дымка

Христос в могиле


Крест иерусалимский

Верность


Крест с ровными лучами

Связь вертикального и горизонтального


Крест с молнией

Божественная сила истинного учения, его торжество над порочными взглядами


Свастика

Свет, щедрость, счастье


Треугольник

Пламя; троица; стабильность, а также число «3» в разных вариациях: «тело – ум – душа», «мать – отец – ребенок», «рождение – жизнь – смерть»


Двойной треугольник

Север и юг


Три соединенных треугольника

Абсолют, а также масонская эмблема и пифагорейский символ здоровья


Треугольник вершиной книзу

Луна, вода, силы подземного царства


Треугольник вершиной кверху

Огонь, небесные силы


Треугольник на свастике

Космическая гармония


Треугольник, вписанный в квадрат

Божье и человеческое; небесное и земное; духовное и телесное


Треугольник внутри круга

Тройственность в едином


Два пересекающихся треугольника

Сочетание воды и огня, победа духа над материей


Пентагон

Вечность, совершенство; символ пяти ран Иисуса; тотем американських индейцев; знак успеха у евреев; легендарный ключ Соломона


Гексагон

Симметрия, гармония, красота, свобода, а также – образ человека


Меандр (линия, сломанная под прямым углом)

Вечность, отсутствие начала и конца