Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 2 [Александр Григорьевич Мордкович] (pdf) читать онлайн
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
УЧЕБНИК
для общ еобразовательных
организаций
(углублённый уровень)
Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации
15-е издание, стереотипное
щ
}«!
ШЯ
Москва 2021
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721+ 22.141я721.6
А45
На учебник получены положительные заключения по результатам трёх экспертиз:
научной (Российская академия наук, № 004948 от 19.12.2016),
педагогической (Российская академия наук, № 005055 от 19.12.2016)
и общественной (РШБА, № 0Э/16-0383 от 26.12.2016)
Авторы:
А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев, Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский,
Л. А. Александрова, П. В. Семенов
Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных орА45 ганизаций (углублённый уровень). В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Морд
кович и д р .]; под ред. А. Г. Мордковича. — 15-е изд., стер. —
М .: Мнемозина, 2021. — 287 с . : ил.
ISBN 978-5-346-04597-7
Учебник написан в соответствии с требованиями Федерального госу
дарственного образовательного стандарта и Примерной образовательной
программы основного общего образования, в нём реализованы принципы
проблемного, развивающего и опережающего обучения.
Вторая часть учебника содержит практический материал. Подбор
и последовательность разноуровневых упражнений и их значительный
объём позволят школьнику освоить предмет как на базовом, так и на углу
блённом уровне, а учителю построить индивидуальную образовательную
траекторию обучения для каждого учащегося.
Итоговое повторение обеспечит полноценную подготовку к Основному'
государственному экзамену.
УДК 373.167.1:5X2
ББК 22.141я721+ 22.141я721.6
ISBN 978-5-346-04595-3 (общ.)
ISBN 978-5-346-04597-7 (ч. 2)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие девятиклассники!
Вы держите в руках вторую часть учебника для изучения ал
гебры в 9-м классе. Обе части неотделимы друг от друга:
— нельзя изучить курс, пользуясь только первой (теоретиче
ской) частью и не решая задачи из второй;
— нельзя изучить курс, пользуясь только второй (практиче
ской) частью, не читая часть первую.
Во всех параграфах представлены упражнения трёх уровней
сложности. Первый уровень — устные и полуустные упражне
ния; второй — задания средней трудности (слева от номеров та
ких заданий поставлен значок
третий
задания повы
шенной трудности (слева от номеров таких заданий помещён значок
К большинству упражнений второго уровня и ко всем
упражнениям третьего уровня приведены ответы.
Прежде чем решать упражнения из того или иного параграфа
второй части, откройте первую часть и прочитайте материал со
ответствующего параграфа. А ещё лучше
положите первую
часть учебника рядом с собой и посматривайте в неё в случае воз
никших затруднений, тем более что в ряде мест даны непосред
ственные ссылки на те фрагменты учебника, кото
рые следует прочитать, чтобы решать соответству
ющие задания. Значок укажет на номер нужной
страницы первой части учебника.
Наш учебник рассчитан на учеников классов, изучающих ма
тематику на углублённом уровне. Поэтому вам встретится очень
много упражнений, при решении которых надо проявить смекал
ку, осуществить какие-то нестандартные шаги. Естественно, что
в таких случаях далеко не всегда в первой части учебника вы
сможете найти подсказки, будьте к этому готовы.
Желаем вам успехов!
ГЛАВА
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.
СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ
НЕРАВЕНСТВ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
выражение f(x) = х(х ЕЯ Дано
переменной, при которых:
I'------1.351
a) f{x) > 0;
*
~
22 - 4х
>
0.
2)2(х + 1)3(х + 5). Найдите значения
б) fix) < 0;
в) fix) > 0;
г) fix) < 0.
1 1.36 к * в Дано выражение fix) = х 10(х + l ) u(x - 5)(х + 2). Найдите значения
переменной, при которых:
a) fix ) > 0;
б) fix) > 0;
в) fix) < 0;
г) fix) < 0.
Дано выражение fix) =
^ 2дг +-—• Найдите значения пе
ременной, при которых:
a) fix) > 0;
б) fix) < 0;
у 2 / у
в) fix) > 0;
г) fix) < 0.
п
Дано выражение fix) = 3?
б) Какое из чисел -3; 1,5; 4,8 является решением системы нера[4* - 7 < О,
венств
Зх + 2 > 5?
Решите систему неравенств:
х < 8,
х > 12;
При каких значениях х:
а) значения двучлена 3 - 5х принадлежат интервалу (-6; 6);
2х + 1
б) значения дроби —-— принадлежат отрезку [-4; 0]?
О
а) Решите двойное неравенство 0 < 1 + 4 х < 1 7 и укажите наменьшее и наибольшее целые числа, которые являются его ешениями.
б) Решите двойное неравенство 0 < 1 - 5 х < 1 3 и укажите наменьшее и наибольшее целые числа, которые являются его ешениями.
a) J { x - 3)(jc - 5) + д/(1 - д)(7 - x);
/Злг + 2 , I 4 - х
в) ^(д - 2Х х - 3) + V(5 - д)(6 - ж);
/4* + 1 , |2д + 1
г ) 'IT 7 T * • h r r r
а) V * 2 - 16 + >/7д - х 2;
в) >/д:2 - 5д + 6 + >/*2 - 1;
б) V * 2 - Зд + 2 + V'9 - x 2;
г)
а) ^/(2д - 5)(д + 4);
в)
б) ,/(2д - 5) •V * + 4;
г)
яч 1 + V36 - х2 ,
. 4 - >/2 - бас
в -----1---------;
х2 + *
'
6х + 30
’
й?\
-JSx + 1
б) хг - Зх + 2
V2 ^ 1 3 .
’ J 21- X - 2'
1+ , / t ^ t a
2- J l - x
1 + >/*2 - 7х .
х + >/х + 1
ч/э-х2
•Jx + 2 - х '
г)
>/д 2 + 8д + 7 + >/25 - л:2.
Зд? + 2
д: - 5 ’
л/Зд + 2
•Jx - 5
1 + V4дс - х2
3* - 9
, 5 - J2x + 3
В) 1 - V 4 - X ;
г)
л/дг2 - Зх - 4
sjx + 3 - 3
в)
1 + >/5х2 - З х .
х + -Jx
, 5 + ix*+2x
Г)
'
а) Докажите, что max {/(* ), #(д )} < р(д) тогда и только тогда,
когда
f(x) < р(х),
£(д) < р(х).
б) Докажите, что min {/(* ), £(д)} > р(х) тогда и только тогда,
когда
f(x) > р(д),
£(*) > р(д).
§3. Системы неравенств
Решите неравенство:
а) тах{3 * - 1; 11 - х 2} < 2;
б) m a x ji; бдг —дг21 < л:;
в) т а х { -3 * 2 + 12*; -8 * + х 2} < 33;
*
4х - х 2 I
* - 1’
г) max]
х
а) min {б - 2х; х - х 2} > 0;
в) min{3* - 1; 11 - х 2 } >2;
б) m in{ f ; J r} > х + !;
г) m in j^ ; б* - * 2J > *.
При каких значениях параметра р система неравенств:
[* < 3,
* < 7,
Г* < 5,
f
г) \
б)
ъ
в)
[* > р;
[х > р;
* > р;
1
имеет решения; не имеет решений?
Решите двойное неравенство:
B l K ^ - f f
ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
Решите неравенство:
а)
1
„
1 .
Vx + 10 2 - х '
л) 2 Г
3 •
} 3-х
V4X + 5 ’
1 , 4 .
1+ х
у ]3 -2 х ’
1 .
1
2+х
^/-1 - 2х
X
б)
1~
- 2x2 -- 1 < 1;
1 - х
\ \14х - хг - 3 - 6 + Зх ^ ,
г)--------г л --------* h
Найдите середину отрезка числовой прямой, являющегося реше
нием неравенства:
а) Jb x - 7 < 2;
б) 4>/8 + 2х - х 2 > 1 2 - Зх.
Найдите длину отрезка числовой прямой, являющегося решени
ем неравенства:
а) Ху[ х + 5 < 5л[х + х;
б) 2xsfx - 3 < 6-Ух - х.
Найдите отношение длины отрезка, являющегося областью опре
деления функции у = V 5 - х - s]2x - 1, к длине отрезка, на кото
ром эта функция неотрицательна.
НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Для каждого значения параметра а решите систему неравенств:
х > -3,
х > -3,
х < -3,
х < а;
х > а;
х < а;
Для каждого значения параметра а решите неравенство:
а) (х - 3)(х - а) < 0;
в) (х + 2)(х - а) > 0;
б) i L l ! < 0;
г)
a) (jc - 2а)(х - а) > 0;
> 0;
х - 2а
в) (2х - а)(х - а) < 0;
2х - 4а
х- а
х-а
х
~
а
х+4
> 0.
38
7.121
| Дано неравенство (х + 2)(х —а) < 0. При каких значениях Г8?®'
метра а:
а) решением неравенства является отрезок [-2; 7];
б) для всех точек отрезка [-2; 7] выполняется данное нерв®1'
ство;
в) данное неравенство выполняется хотя бы для одной точке i выполняй
2Ь - х
2
при всех значениях Ь, лежащих на отрезке [1; 2]?
49
При каких значениях х неравенство
х + ^ > 0 выполняй
1+ Ь - х2
при всех значениях Ь, лежащих на интервале (0; 1)?
50
При каких значениях х неравенство Зх2 + bx + x - b < 4 выпоУ
ется при всех значениях Ь, лежащих на отрезке [-2; 1]?
51
При каких значениях параметра с все значения функн
у = х2 + 2х на промежутке (-2; с] не превышают числа 8?
,
-
При каких значениях параметра а множество значений функции
+ их ~ 2
У - ~х 2 _ х + i содержится в промежутке (-°°\ 2)?
При каких значениях параметра а множество значений функции
-х2 +х + а
У = j-------- г содержит хотя бы одно число, не лежащее на отх2 - х + 1
резке [-1; 1]?
№£& л
При каких значениях параметра а график функции у = а*2 * * + ^
располагается между прямыми |/ = - 1 и у = З и н е имеет с этими
прямыми общих точек?
....
, ^
. л
*
ill
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Прочитайте пп. 1 и 2 в § 8 учебника
Является ли пара чисел (3; 1) решением уравнения:
а) 3х + у = 10;
в) 5х3 - у = 134;
г) - + 2 = -5i/?
У
Какая из следующих пар чисел является решением уравн^
2х2 - у2 = 1:
а) (1; 1);
Укажите уравнение, неравносильное уравнению 4х2 - 4ху + у2 = 0:
1) (2х - у)2 = О;
3) 3(2х - у)10 = 0;
2х - у _
2) у - 2х = 0;
= 0.
4)
Укажите уравнение, неравносильное уравнению
2х2 + Ъху _ 2у2
х + 2у
х + 2у'
U 2x2 +
+ 2у2
х + 2у
.
2) 2х2 + Ъху + 2у2 = 0;
3) 2х + у = 0;
.. 2л:2 + 2у2 _
* х + 2у
Ъху
х + 2у '
Из данных многочленов вида р(х; у) выберите однородные и назо
вите степень каждого из них:
1) Р(х\ У) = х гУ + 5*3 - 4у3;
3) р(х; у) = х 2 - 7лсу + 2у;
2) р(х; у) = х + 7у;
4) р(х; у) = х 2 + ху - 3у 2.
Н .!> _
ШШт
Назовите однородные уравнения и укажите степень каждого из
них:
1) ле3 + 8у3 = 0;
3) 4л:2 + Зл:у - у2 = 0;
2) 2х + 4у = -5 ;
4) х2у - ху2 + Ту - 0.
Решите уравнение:
а) 4л: - 5у = 0;
б) у 2 - 2ху + 3у 2 = 0;
в) (х - 4)2 + (у - I)2 = 9;
г) (х + I)2 + (у - З)2 = 4.
а) х 2 + ( у - З)2 = 36;
б) ( * + 2)2 + у2 = 9;
в) х 2 + (у + 6)2 = 4;
г) (х - 4)2 + у2 = 25.
Напишите уравнение окружности с центром в точке 0(0; 0) и ра
диусом:
а) 5;
б) >/3;
в) i ;
г) 1.
Напишите уравнение окружности:
а) с центром в точке А(1; 2) и радиусом 3;
б) с центром в точке В(-3; 8) и радиусом 11;
в) с центром в точке С(0; -10) и радиусом 7;
г) с центром в точке D(-5; -2) и радиусом 4.
Составьте уравнение окружности, изображённой:
а) на рис. 1;
б) рис. 2;
в) рис. 3;
г) рис. 4.
у1
/
1
1
\\
о
/
-V3Г
ч
Рис. 1
Рис. 2
X
49
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Составьте уравнение окружности:
а) с центром в точке (-5; 2), касающейся оси у\
б) с центром в точке (12; -5), проходящей через начало координат;
в) с центром в точке (-4; -6), касающейся оси х;
г) с центром в точке (2; 1), проходящей через точку (-4; -7).
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является
отрезок А В , если:
а) А (-4; 7), В(6; -3);
б) А ( - 1; -6), В(7; 0).
Составьте уравнение окружности:
а) с центром на оси х, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0);
б) с центром на оси у, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2).
Постройте на координатной плоскости ха график уравнения:
а) (х - 3)(а - 1) = 2;
в) (а - 3)(|ж| - 1) = 2;
б) (|а| - 3)(х - 1) = 2;
г) (|х| - 3)(|а| - 1) = 2.
Постройте на координатной плоскости ха график уравнения и
определите все значения а , при каждом из которых уравнение
имеет на заданном промежутке хотя бы одно решение относи
тельно переменной х:
а) (х - 3)(а - 1) = 2, х е (5; + °°);
б) (|а | — 1)(х - 3) = 2, х е [-1; 1)
в) (а - 1 ) ( |х |- 3 ) = 2, х е (-1 ; 1)
г) ( | х | - 3 ) ( | а | - 1 ) = 2 , х е (3; 5).
Постройте на координатной плоскости ха график уравнения:
в) а = >/-х2 + 4|х|;
а) а = л/- * 2 + 4х;
б) Iх | = л/-а2 + 4а;
Постройте множество точек (х; у), координаты которых удовлет
воряют уравнению -^|x + 5| + ^ | i / - l | = 2, и определите, при ка
3
5
ких значениях а среди этих точек найдётся хотя бы одна, коор
динаты которой удовлетворяют уравнению:
а) х = а;
б ) х + у = а;
в) у = а;
г) у - х = а.
Найдите решения уравнения:
а) (х + 2)2 + (у - З)2 = 0;
в) (Зх - 4)2 + у2 = 0;
б) sj2x - 1 + |2j/ + 3| = 0;
г) J \ x | - 2 + yj2x + у - 3 = 0.
Прочитайте п. 3 в § 8 учебника
Найдите целочисленные решения уравнения:
т
а) 2х - 3у = 7;
б) 2х + Зу = 1;
в) 5х + Зу = 13;
г) 4i/ - 5х = 19.
а) 9х2 - 4у2 = 5;
б) ху = 2х + у;
в) х 2 - 9i/2 = 7;
г) 2х2 + ху - у2 = 5.
“
■
•
*
se. Уравнения с двумя переменными
Е*Ж а) Найдите двузначное число, которое в 6 раз больше суммы сво
их цифр.
б) Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых в 4 раза
меньше самого числа.
| При каких значениях параметра а прямая у = а имеет с графи
ком уравнения
2\х + 1| - 2\х - 2| + | jc - 6| = Зу +х
единственную общую точку?
1 н-бйЕ Ш При каких значениях параметра b прямая х = Ъ имеет с графиком
N
уравнения
2\у + 3| - 2\у - 2| + \у - 4| = у + 2х
ровно две общие точки?
НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Ч0А
Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетво
ряющих условию:
| а) х < 5;
Ж
б) у > -3;
в) х > -4;
а) х - 3 < 0;
б) 2х + 5 > 0;
в) у + 2 > 0;
г) 0,2у - 1 < 0.
а) х + у < 0;
б) х - 2у < 0;
в) х + у > 0;
г) 2х + у > 0.
а) * - у > -4;
б) Зх + 2у > -5;
в) х + 2у < 3;
г) 2х - Зу > 6.
г) у < 2.
Решите графически неравенство:
а) у - х 2 > 0;
в) х 2 - 2у > 0;
б) у < 2х2;
г) х 2 + у > 0.
а) ху > 0;
б) ху < 1;
в) ху < 0;
г) ху > 2.
Не выполняя построений, докажите, что точки А(-1; 2) и В{2; 3)
лежат по одну сторону от прямой 13x+7i/ + 6 = 0, а точки А и
С(~13; -11) — по разные стороны.
1 •'
«*
ц 1
Укажите на координатной плоскости х у множество всех точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) х 2 + у2 < 4;
в) х 2 + у 2 > 9;
б) (х - 2)2 + у 2 > 4;
г) х 2 + (у + З)2 < 9.
Решите графически неравенство:
а) (х - 2)2 + (у + З)2 < 4;
в) (х + З)2 + (у + I)2 < 25;
б) {х + 4)2 + ( у - 2)2 > 9;
г) (х - З)2 + (у - 4)2 > 16.
Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, ко
ординаты которых удовлетворяют неравенству:
а) (х - З)2 + (у - 2)2 < 1;
в) (х - З)2 + (|р| - 2)2 > 1;
б) (|*| - З)2 + (у - 2)2 > 1;
Г) (|*| - З)2 + (|р| - 2)2 < 1.
При каких значениях параметра с точки А(-1; 7) и В(2; Ц ) лежат:
а) по одну сторону относительно прямой 3* + су = 5;
б) по разные стороны относительно прямой 5* - 4у = с?
Постройте график уравнения:
а) у]3х - у - 1 = yj2x + у - 1;
б) J x + у - 1 = ^ 2 х - у.
а) у]1 - у = V1 - 2хг ;
б)
а)
Jy +1 =
б) ,/- 2 * - у
sjy2 - 1 = yj2x - 1.
*;
в) ^2х у + у 2 = х + у;
- 1 = -* ;
г) ^ 2 х у + х 2 = х - у.
а) |*2 - у\ = х 2 + *;
б) |2 |х |- у\ = х 2 + 2х;
в) |у + х 2\ = - х 2 + 4;
г) \у - 2\х\\ = х 2.
Укажите на координатной плоскости ха множество точек (*; а),
координаты которых удовлетворяют неравенству, и определите
все значения а, при которых данное неравенство имеет хотя бы
одно решение:
а ) |*| + | а | < 4 ;
в) 2|х| + 3|а| < 6;
б) \а - 3| + |* + 1| > 5;
Г)
+ l « + i l > 5.
2
5
Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:
а) х 2 + у 2 < 2(|х| + |ч/3 • у|);
б) 8|х| + 6|у| > х 2 + у2
Н О . Основныв понятия, связанные с
системами уравнений и и*Р«внСТ,‘
g5
| Для всех точек (дс; у), удовлетворяющих условию
\х - 1| + 3|jc —3| + у < 1,
найдите наибольшее значение выражения у + 2х.
| Найдите наименьшее значение выражения х + у, если
у > 15х + 2\ + |5 * - 3|.
| Найдите наибольшее значение выражения 5х + у, если
у < —(|4а: —8| + 116 —4л|).
J Постройте график уравнения \2у + х\ - 1 + Зу = \у\. Среди полу
ченных точек найдите точку с наибольшей ординатой.
| Найдите целочисленные решения неравенства:
a) 2yj~x - у + 3 + ^2х - 4у + 1 < 1,8;
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Прочитайте п. 1 в § 10 учебника
10.1
| Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:
| * 2 + у2 = 13,
[2х + у = 7;
Найдите все значения параметра а, при которых являются равно
сильными системы уравнений
\х + ау = 3,
х + у = За,
и
IЗх - у = 2а
Зх - у = 2.
Прочитайте п. 2 в § 10 учебника
Постройте на координатной плоскости ху множество точек, удов
летворяющих системе неравенств:
а)
||*1 < 3.
f*2 > 9;
4,
6 {г/2
Г| jc
> 1;
2,
в) [\
у \| <
г
г){
[\у\ < 3;
Решите графически систему неравенств:
|у < - х -
| у - х < 1,
[2х + у > 4;
2,
[у > Зх + 6;
\у > х + 1,
[У < Зх - 1;
fum о
X —у > 1,
а) X + у < 1,
х < 2у;
(у + 1 < X,
[2 х + у < 2
х - у > 2х,
б) X + у < Зу,
5х « 2у - 7.
[ х2 + у < О,
\у ~ 2х > 0 ;
х 2 - 4х < у - 3,
х - у > 1;
J у - ^ х < О,
|2х - у + 3 < 0.
1У - у/х > 0,
\х - 2у > 0;
[ 10.21
а)
б)
ху < 4,
У ~ х > 0;
*2 + (У ~ I)2 < 4,
1*1 - » < 1;
.
в)
г)
I ху + 3 > О,
I Зх + у < 0 ;
|Ы - * > 1,
I (х - 2)2 + у2 < 9.
510. Основные понятия, связанные с системами у р а в н е н и й 59
■ а ш м н и в «м аМ Я П Я
Постройте на координатной плоскости ху множество всех точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
4 “ *2
0;
в) ЗХ~ 2j/- - 6- < 0;
У2 - 9
г , г , : < о;
И + \у\ - 2
> 0.
г) -T-ijfММ
Найдите площадь треугольника, заданного системой неравенств:
х < 2,
в) Зу - х < 4,
У > -х;
х + 2у < 8,
г) у - Зх < 4,
5у + 8 > ж.
Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
*| < 2,
У\ < 2,
jc2 + г/2 > 4;
б)
х\ > 4,
И > 3,
х 2 + у 2 < 25.
Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:
а) (х2 + у2 - 16)(|х| + |i/| - 4) < 0;
б) (4|х| + 3\у\ - 12)(дс* + у 2 - |§ ) < 0.
Постройте множество точек координатной плоскости, координа
ты которых удовлетворяют неравенству (х - Зу)(2х + у) < 0, и
укажите все значения у, при которых любое значение х из проме
жутка [1; 4] удовлетворяет данному неравенству.
. Среди по-
ЩПостройте график уравнения 2у + у - — = 4 -
лученных точек найдите все точки с наибольшей ординатой и
укажите их абсциссы и ординату.
| Найдите целочисленные решения системы неравенств:
^]х - 2у + 5 < л/3 —1,
_____I____ > 2 .
(2х + у)2 + 2
5’
х + 2у +
2
<
\/20
б)
(х + 2)2 + (у - I)2
— 2,
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1ЯНЯВИЯМ
В двух группах более 52 студентов. Известно, что число студентов
первой группы превышает число студентов второй группы, умень
шенное на 21, более чем в 2 раза, а число студентов второй груп
пы более чем в 5 раз превышает число студентов первой группу
уменьшенное на 16. Сколько студентов в каждой из групп?
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Прочитайте п. 1 в § 11 учебника
Решите систему уравнений методом подстановки:
[«/ = * - ! >
\х2 - 2у = 26;
[х + у = 1;
[2 х + у2 = 14;
(5х2 + 2у = -3,
[ х + у = 8,
[ху = 12.
[Зу - х = 10;
J 2х2 - ху = 33,
[4 х - у = 17;
[ 2х2 - у2 = 32,
I2х - у = 8;
\ х 2 - у2 = 24,
\2у - х = -7.
х + у 2 = 2х - у,
у + х 2 = 2у - х.
(х + I)2 + ( у - 2)2 = 2,
(х - I)2 + (у + 2)2 = 34
Прочитайте п. 4 в § 11 учебника
Решите систему уравнений методом замены переменных:
2
Решите систему уравнений:
X + у = 6,
х 2 - у 2 = 12;
X - у = 1,
х 2 + у 2 = 5;
ММ] о
х 2 - у 2 = 3,
х 4 - 1/ 4 = 15;
х 2 - 2у 2 = 1,
мка о
в)
г)!
в)
х 2 + у 2 = 10,
х4 + у 4 = 82.
г)!
(х + у )(х - 2) = 0,
х - 2 у = -1;
в)
х2
у 2 = 9,
-
ху = 20;
9х2
у2
+
х2 -2 у
х 2у
+
х4
+
13;
3,
=
27;
=
х2
=
у
=
х2у
10,
=
90;
(х + у)(х2 - 25) = 0,
х - Зу = 8;
г)
х2 - у 2 + х + у = 0,
Зх - 2у = 5.
в)
х2 + у 2 = 20,
ху = 8;
г)
2х2 - у2
ху = 20.
в)
х + у 2 = 2,
2у2 + х 2 = 3;
ху = 2,
1Ш о
2х2 - Зу2 = 15,
х 4 - у 4 = 80;
х 4 + 3у 4 = 129;
х 2 - 4у 2 + 27 = 0;
иш о
х 2 - у 2 = 8;
X + у = 5,
х 2 + у 2 = 17.
(х - у )(х - 2 у ) = 0,
ига о
х - у = 2,
г)
х 2 + у2 + х + у = 2,
2 х 2 - у2 + 2х - у = 4;
в)
х 2 + у 2 - 2х + Зу = 31,
х„ 92 +. у. . 92 - г»..
2х - у.. = 115;
г)
х2 + у4
ху2
х2
=
5у2
+
Зх2
+
—9
34,
5,
2.
у2
+
=
=
-
5х
у
+
5х2 + х
+
=
5у
2,
=
36;
у2 + Зх + у = 18,
...
у_. 92 +
х - у.. = г?6.
“гЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
______ _
l l 1.24
f (X + у ) 2 - (х - у) - 8 = О,
1(.х + у ) 2 + (х - у) - 10 = 0;
£ , У _ 10
у
х
3’
х - у = 6;
[ 2х + у + (х - 2у)г = 3,
[ х 2 - 4xiI + 4у2 = 9 - 3{2х + у);
х 2 - З х - 2у =
56,
х 2 + 2х у + у 2 = 1
- ху-,
х у - 2х + Зу
у 2 + Зх - у =
у2
"■
в)
1,
в)
(х - з Х у - 2 ) = з,
г)
3
х 2 - 2х + у = -5 ;
х у - 2х - 2у
х
у -г
х -
х 2 + Зх - 4 у = 20,
х + х у + у = 5,
г).
- 3) = 1,
* " 2 = 1;
х 2 + 4у + 4 у 2 = 2у + 4 х
+1
+ 4 = 0.
^
У - з
[(х + 1)(у - 3) = 4;
X
11.2 8 И »
3 у;
= 6,
+ 6 х - 2 у = 1;
(х - 2 ) 0 /
- З у = -1 ;
х + 2у = 2,
—Злг + 5у = 11;
2ху
х 2 - 6 x 1/ + 9 у 2 = х х
3,
4х2 - 4ху + у2 = 2х +
11.27
в)
у + ху = 6.
+ 3 - 2.
У- 1
*
II
00
2х - у =
+ х + 2 у = 4;
Зх - ху = 10,
г).
= 54;
х + у = -2,
n.26 к»:
х2
1
ху + у
18;
+ З у = 3,
Ь-ь
ху + х =
х 2 + 2х
’)
+
х 2 + х - 3у =
4,
СаЭ
11.25
ПОД О
tl№!l О
f (jc + у)2 + 2х = 35 - 2у,
U x -y )2 -2 у = 3 -2 х ;
X2
-
Xу
и2
х 2 - ху
-
хи
у2 - ху
5’
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:
а) А(3; 13), В ( - 7; - И ) , С(10; 6);
б) А(7; -7), В (-2 ; -4), С(6; 0).
Прочитайте п. 5 в § 11 учебника
Решите систему уравнений, используя метод почленного умноже
ния или деления:
х 2у 6 = 1,
[ х ъу 2 = 1 ;
= 1;
[ (х + у)(2х - у) = 8,
(х - у)2(х + 2у) = 4,
[ (* + г/)(2л: + у) = 24;
(дс - у)(х + 2у)2 = 16.
Прочитайте п. 2 в § 11 учебника
Решите систему уравнений:
тл о
2х + у = 3,
2х + у = 4,
4х - 2у = 2,
4х - 2у = 2,
- х + 2у = 1;
- X + у = 1.
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
66
х + 2 г/ = 3,
х + у = 3,
а) У + z = 4,
г + х = 5;
б) 2i/ + 3z = 4,
3z + х = 5.
И
11
а) - х + г / - | 2 = |,
-^ х 6
б 1'
+г=
» +!2 '!-
б)
2’
Рассмотрите решение примера 11 в § 11 учебника
Решите систему уравнений:
хг/ = 1,
а) у г = 2,
zx = 2;
*У2 = 4,
б) У2г = 16,
Z 2X = 16.
Сорок девятиклассников отвечали на вопрос о том, читали ли они
книги А, В, С. Результаты выглядят так: кто-то не читал ня одну
из этих книг, книгу А прочитали 25 учеников, книгу В — 22 уче
ника, книгу С — 22 ученика; хотя бы одну из книг А или В про
читали 33 ученика, хотя бы одну из книг А или С прочитали
32 ученика, хотя бы одну из книг В или С — 31 ученик. Все три
книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников:
а) прочитали только по одной книге;
б) прочитали ровно две книги;
в) не читали ни одной из указанных книг?
[ох + у = 1,
При каких значениях а система уравнении
б) [ х + 2\у\ = 2;
в)
г)
в)
г)
в)
г)
I0,5 л: -
\у -
l| = -1,
[у ~ х = 2;
\х - у\~ У = -1.
2х + у = 2.
\х + 2| —у = 2,
х + 3|у| = 4;
| Для каждого значения параметра а найдите число решений си
стемы уравнений:
II* + 2| - у = -2,
\\х + а\ - у = -2,
а)
б)
I а * + Зу = 3;
\х + Зу = 3.
N3.211
Найдите все значения параметра а, при которых система уравнеf X2 + у2 =1,
ний: I
, .
имеет ровно четыре решения.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
Задачи с числами
Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведенне на
553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
| Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение ia 11
меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.
Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих ци1)р и
в 3 раза больше произведения цифр?
Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к заданному чис
лу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифра
ми, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
514. Системы уравнений как модели реальны*
Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить
по 1, то дробь станет равна
а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите ис
ходную дробь.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого
числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифра
ми, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Если задуманное двузначное число умножить на цифру его еди
ниц, то получится 376, а если из задуманного числа вычесть
двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке, то получится 45. Какое число задумано?
Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно
720. Если первое число разделить на второе, то в частном полу
чится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?
При умножении двух натуральных чисел, разность которых рав
на 7, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увели
чена на 4. При делении полученного (неверного) произведения на
меньший множитель получилось в частном 52 и в остатке 26.
Найдите исходные числа.
Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в част
ном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число раз
делить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в
остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите ис
ходное число.
Задачи геометрического содержания
1ЕЖО О ЩДиагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен
28 см. Найдите стороны прямоугольника.
Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его
гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника.
| Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а
его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.
| Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см2, гипотену
за равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.
Рассмотрите решение примера 1 в § 14 учебника
В первом зрительном зале 350 мест, а во втором — 480. В) вто
ром зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом раду на
10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько (ест в
ряду в каждом зале?
В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В краном
зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места
меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом
зале кинотеатра?
В треугольник со сторонами 13, 11 и 20 вписана окруж 1°стьНайдите длины отрезков, на которые каждая из сторон размена
точками касания.
Задачи на движение
Рассмотрите решение примера 2 в § 14 учебника
Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. ,1одка
проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течен!Я за
2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скоростьтечения реки.
Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а поуче
нию 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против Уче
ния — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки i ско
рость течения реки.
Турист проплыл на лодке по реке из города А в город В и об>агно
за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что т,гРист
проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5
по
течению, а расстояние между городами равно 20 км.
Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одно
временно навстречу друг другу отправляются два поезда и icipeчаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч р#ыне
первого, то они встретятся через 2 ч после отправления пегого
поезда. Найдите скорость каждого поезда.
Расстояние между двумя посёлками, равное 24 км, первый jeineход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость двия 4?
х, если х < 0;
Дана функция у = /(*), где f(x) = х 2, если 0 < х < 2;
4, если 2 < х < 4.
а) Укажите D(f).
б) Вычислите: Д-2), /(0), /(2), Д4), /(8).
в) Постройте график функции.
г) Найдите E{f).
. .
[ 2х2 4х + 1, если х < 2;
Дана функция у = f(x), где f(x) = \
-3(х - 2)2 + 1, если 2 < х < 3.
а) Укажите D(f).
б) Вычислите: ДО), Д2), ДЗ), Д4), Д5).
в) Постройте график функции.
г) Найдите E(f).
тт
llifffcl
о
.
,,
.
.
-
х + 1, если - 3 < х < 0;
Дана функция у = f(x), где Дх) = х2 - 4х + 1, если 0 < х < 2;
а)
б)
в)
г)
—, если х > 2.
х
УкажитеD(f).
Вычислите: Д-5), Д -2), ДО), Д2), Д4).
Постройте график функции.
Найдите E(f).
а) При каких значениях параметра а функция у = 3 - д/х - а
определена во всех точках промежутка [-11; 7]?
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
б) При каких значениях параметра а функция у = 3 - у/х- 3
определена во всех точках промежутка [а - 1; а + 1]?
I
КЩ
115.60
Ш»}
Ш Щ Ц Ц Н Н
Найдите область определения функции у = f{x), где
f i x ) = \ Х - 3 + ч/ах - 4.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
ешйшш
______
Прочитайте п. 1 в § 16 учебника.
щщкяшят"
тШШШж
Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура,
изображённая:
а) На рис. 28;
б) рис. 29;
в) рис. 30;
г) рис. 31?
ц§
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
516. Способы задания функций
а) На рис. 32;
б) рис. 33;
Рис. 32
Рис. 33
Рис. 34
Рис. 35
Является ли графиком какой-либо функции линия, изображённая
на заданном рисунке? Если да, то задайте эту функцию аналити
чески (придумайте возможный вариант), учитывая, что на
рис. 36 51 изображены прямые, параболы (или ветви парабол) и
гиперболы.
| а) Рис. 36;
б) рис. 37;
в) рис. 38;
г) рис. 39.
а) Рис. 40;
б) рис. 41;
в) рис. 42;
г) рис. 43.
а) Рис. 44;
б) рис. 45;
в) рис. 46;
г) рис. 47.
а) Рис. 48;
б) рис. 49;
в) рис. 50;
Рис. 50
г) рис. 5 1 .
Рис. 51
Задайте формулой у = ах2 + Ьх + с функцию, график которой изо
бражён:
а) на рис. 52;
б) рис. 53;
в) рис. 54;
г) рис. 55.
Функция у = f(x) определена на отрезке [-1; 7] и задана таблицей:
фШШ
-1
0
1
2
3
4
5
6
У
2
-1
5
0
3
2
2
-5
щ
Известно, что график функции состоит из 8 отрезков, со
единяющих соседние точки, заданные в таблице.
а) Постройте график функции.
б) Найдите множество значений данной функции.
Рис. 54
Рис. 55
Постройте график функции у = f(x), если известно, что для всех це
лых значений х значение функции равно 1, а для всех нецелых -1.
Функция задана формулой s = 90*, где s — путь (в км) и * — вре
мя (в ч). Найдите:
а) s(l), s(2,5), s(4);
в) s, если * = 15 мин;
б) *, если s = 1800 км;
г) * (в мин), если s = 450 м.
Функция задана формулой * =
мя (в ч). Найдите:
а) *(36), *(2,7), *(144);
б) s, если * = 4,5 ч;
где s — путь (в км) и * — вре
в) *, если s = 150 м;
г) s (в м), если * = 45 с.
ию. п я я и г а а я н я я н и г д щ щ f f
ГЛАВА 3.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Функция задана формулой s = 2t2 + 4t, где s — путь (в км) и t —
время (в ч). Найдите:
а) s(l), s(2,5), а(4);
в) s, если t = 45 мин;
б) t, если s = 240 км;
г) t (в мин), если s = 645 м.
Функция задана формулой V = ^Sh, где V — объём пирамиды (в м3)
S — площадь её основания (в м2), h — высота пирамиды (в м).
а) Выразите каждую переменную через две другие.
б) Найдите значение V, если s = 2 м2, h = 140 см.
в) Найдите значение S, если V = 45 дм3, h = 0,4 м.
г) Найдите значение Л, если V = 5 м3, S = 2500 см2.
Выразите, если это возможно, каждую величину, стоящую в пра
вой части равенства, как функцию величин, записанных в его ле
вой части:
а) s = vt;
б) v = v0 + at,
v0 = const;
=та;
at2
г) S = v0t + ~Y~,
в)
a
v0 = const,
= PRt;
r> « - T ‘ -
б» 7 ' й ;
Найдите область определения, множество значений и значения в
точках х и х2, х3 для функции, изображённой:
а) на рис. 56;
б) рис. 57.
У/ к
У/ 1
/
/1
\
/
\
\
\
/
/
о
пт
V
\
/X
I !
(
\
X
1
\
\
\
Рис. 56
Рис. 57
/
г *
S 16. Способы задания функций
99
Найдите все значения аргумента, при которых значение функции
равно заданному числу а, для функции, изображённой:
а) на рис. 58;
б) рис. 59.
Рис. 59
Пусть f(x) = х2 - Зх + 2. Задайте аналитически функции:
а) у = Я-*);
в) у = Я3 - х);
б) У = Я* +2);
г) у = 4 - /(*)■
Задайте линейную функцию (у = kx + b), зная два её значения:
а) i/(3) = 5; у(5) = 3;
б) у ( - 2) = i/(2) = 7;
в) j/(1000) = 100; 1/(10 000) = 1000;
г) у(-2) = 3; i/(0) = 0.
о
НОШ
Задайте (если это возможно) квадратичную функцию у = ах2 +
+ Ьх + с, (а * 0), зная три её значения:
а) у(3) = 31; у ( - 1) = 3; г/(0) = 1;
в) у(-4) = у(4) = 5; у( 1) = 20;
б) у(~2) = у(2) = 7; i/(l) = 5;
г) у ( - 2) = -2; у(2) = 2; г/(1) = 1.
Пусть для любых значений аргумента функция у = f(x) удовлет
воряет условию f(x) + 10ЯЗ - х) = 11. Найдите:
а) Я 1,5);
б) ЯЗ);
в) f(x).
Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функ
ция у = f(x) удовлетворяет условию f(x) + 2/f — ] = х - —. Най\х J
х
дите:
г) f(x).
а) /(2);
б) Я-2);
в) /(1);
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Постройте график функции:
а) у = Vl
-
ж2;
б) у = Vl6 - х 2-,
в)
и
0,5V1 - 4хг;
г) у = -2-J9 - х 2
в) у = V 4
" (х +
З)2;
г) у = V4х - х 2.
Прочитайте п. 2 в § 16 учебника
Вершина А треугольника АВС лежит на параболе у = х2 - 2х + 2,
•8(0; 1), С(0; 2). Задайте площадь треугольника АВС как функ
цию /80
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
16
.
Для функции Римана у = R(x) (см. задачу 16.41) найдите все зна
чения х, при которых Л(х) = 0,25.
Пусть для любого натурального числа п число я(п) равно ко
личеству простых чисел, не превосходящих натуральное чис
ло п.
а) Найдите значение п(п) для следующих значений п:
1; 2; 3; 4; 5; 29.
б) Найдите все такие натуральные числа п, для которых выпол
нено неравенство 1 < п(п) < 7.
щ
ШШуШ-
'тШшШШ
§17
шшшшж
Пусть для любого натурального числа п число ср(п) равно количе
ству чисел ряда 1; 2; 3; ...; п —1, взаимно простых с п.
а) Найдите значение функции у = ф(л) для следующих значений
п: 1; 2; 3; 4; 5; 29; 50.
б) Проверьте, что ср(24) = 0) возрастает;
в) функция у = -f(x) убывает;
г) функция у = k • f(x) (k < 0) убывает.
Докажите, что если функция у = f(x) убывает на промежутке I,
то на этом промежутке:
а) функция у = а + f(x) убывает;
б) функция у = k • f(x) (ft > 0) убывает;
в) функция у = -f(x) возрастает;
г) функция у = ft • f(x) (ft < 0) возрастает.
Используя доказанные в предыдущих номерах факты, исследуй
те на монотонность функции:
а) у = х2 + 2;
в) у = 2х3 - 3,7;
Докажите, что функция:
а) у = ах2 (а > 0) убывает на (-оо; 0] и возрастает на [0; +°о);
б) у = о(х - т)2 + р (а > 0) убывает на (-°о; т ] и возрастает
на [т\ +°о);
в) у = ах 2 + Ьх + с
(а > 0 )
убывает на [
~~~
и возрастает
на
Докажите, что функция:
а) у = ах2 ( а < 0 ) возрастает на ( - о о ; 0 ] и убывает на [ 0 ; +оо);
б) у = а(х - т)2 + р (а < 0 ) возрастает на ( - о о ; т ] и убывает
на [т\ +оо);
в) у
=
на
ах2 + Ьх + с (а < 0) возрастает на
-о о ; — —
V
2а
и
убывает
S 17. Свойства функций
а) Пусть функция у = f(x) возрастает на промежутке [а; б] и на
промежутке [б; с]. Докажите, что функция у = f(x) возрастает
и на промежутке [а; с].
б) Пусть функция у = f(x) убывает на промежутке [а; б] и на про
межутке [ft; с]. Докажите, что функция у = f(x) убывает и на
промежутке [а; с].
! -3;
х < -1;
б) у = X
V3 - х - 3, х > -1.
а) Докажите, что если функции у = g(x) и у = f(x) возрастают на
одном и том же промежутке I, то и функция у = g(x) + f(x) воз
растает на этом промежутке.
б) Докажите, что если функции у = g(x) и у = f(x) убывают на од
ном и том же промежутке I, то и функция у = g(x) + f(x) убы
вает на этом промежутке.
Докажите, что функция возрастает:
а) у = хъ + 3jc;
б) у = х4 + 3jc, х > 0;
игпа о
а) у =
х + 3'
х > -3;
б)у = т г г > х <
в) у = 2х3 + х;
г) у = 2 Х 4 + х,
х
+
х > 0.
3
2-х
Докажите, что функция убывает:
в) у = х 4 - 5х, х < 0;
а) у = - х3 - 2х\
г) у = -З * 5 - х.
б) у = хв - 0,5х, х < 0;
Найдите промежутки монотонности функции у = f(x) и сравните
f(a) и f(b), если:
а) /(*) = 3 ,7 л:2 - 7,4л: - 9, а = 2,9, b = 3,1;
б) /(*) = - 4 ,1 jc2 - 16,4л: + 3, а = -1 ,8 , b = -1,3;
в) f(x) = 1,9л;2 + 5,7л: + 4, а = -5,2, b = -2,2;
г) f(x) = -3,3л:2 + 3,3л;, а = 0,55, b = 0,53.
Найдите промежутки монотонности функции:
а) у = 2х2 - Зх + 4;
в) у - х;
х + 4_
б) У = х
-
2;
г) У = х + 2 ‘
__
;
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
а) Пусть функция у = /(*) возрастает на J и принимает на J толь
ко положительные значения. Докажите, что функция у = —
/(*)
убывает на J.
б) Пусть функция у = /(*) возрастает на J и принимает на J толь
ко отрицательные значения. Докажите, что функция у = —
f(x)
возрастает на J.
в) Пусть функция у = f(x) убывает на J и принимает на J только
положительные значения. Докажите, что функция у = —
/(*)
возрастает на J.
г) Пусть функция у = f(x) убывает на J и принимает на J только
отрицательные значения. Докажите, что функция у = —if(x)
убывает на J.
Найдите промежутки монотонности функции:
а) у = х2 + 6х + 10;
,ч
б) У
_
6
6*
6х
10
12
х 2 + 6л + 10’
а) Докажите, что если функции у = g(x) и у = f(x) возрастают и
положительны на одном и том же промежутке I, то и функция
у = g(x) • f(x) возрастает на этом же промежутке.
б) Докажите, что если функции у - g(x) и у = f(x) убывают и по
ложительны на одном и том же промежутке 1, то и функция
у = g(x) ■f(x) убывает на этом же промежутке.
IШf тf
ц t $'ill ill ill II
Шш
ШпШг'*1'
S 17. Свойства функций
«mVlUWVLUJ4MU«M
в) Докажите, что если функции у = g(x) и у = Дх) возрастают и
отрицательны на одном и том же промежутке I, то функция
у = g(x) • f(x) убывает на этом же промежутке.
г) Докажите, что если функции у = g(x) и у = Дх) убывают и от
рицательны на одном и том же промежутке I, то функция
у = g(x) • f(x) возрастает на этом же промежутке.
Исследуйте функцию на монотонность:
а) у = х • у/х;
в) у = (f3 + 5) • yjt - 2;
б) у = (х2 + 7)(х2+ 1 1 );
г) у = (о2 - 4и + 11) • yj3v - 10.
а) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только поло
жительные значения на промежутке J . Докажите, что
У = (Я *))2 возрастает на промежутке J .
б) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только отрица
тельные значения на промежутке J . Докажите, что у - (f(x))2
убывает на промежутке J .
в) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только положи
тельные значения на промежутке J . Докажите, что у = (f(x))2
убывает на промежутке J .
г) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только отрица
тельные значения на промежутке J . Докажите, что у = (/(х))2
возрастает на промежутке J .
Найдите промежутки монотонности функции:
а) у = (х2 - I)2;
б) у = (х2 - Зх - 10)2.
Найдите промежутки монотонности функции у - (/(х))2, если гра
фик функции у = f(x) изображён:
а) на рис. 64;
б) рис. 65;
в) рис. 66;
г) рис. 67.
*к
/V
! \ /о
Ун
1
Рис. 64
s
X
О1
Рис. 65
ГЛАВА 3
.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Mi
г
V
\
к
1
N
t
\
7
/ 0]
X
Рис. 67
Рис. 66
Найдите промежутки монотонности функции у =
если гра
фик функции у = f{x) изображён:
а) на рис. 68;
б) рис. 69;
в) рис. 70;
г) рис. 71.
\>1 к
1
о
\/
/
Рис. 69
Рис. 68
Mi
\
0
«1 к
1
1
1
/
f
У
\У
\
X
X
/
/
/\
/ \
0
1
7
т
7 5
\г
1
__
Рис. 70
Рис. 71
что если функция у = f(x) возрастает на отрезке
оЩ а) Докажите,
[а; б] и для некоторого числа с из промежутка (а; Ь) значение
функции f(c) = С, то: 1) для всех х из промежутка [а; с) верно
неравенство /(*) < С; 2) для всех х из промежутка (с; b] верно
неравенство f(x) > С.
109
§ 17. Свойства функций
б) Докажите, что если функция у = f(x) убывает на отрезке [а; Ь]
и для некоторого числа с из промежутка (а; Ъ) значение функ
ции f{c) = С, то: 1) для всех х из промежутка [а; с) верно нера
венство f(x) > С; 2) для всех х из промежутка (с; Ь] верно нера
венство f(x) < С.
а) Докажите, что если функция у = f(x) возрастает на от
резке [а; &] и уравнение f(x) = т имеет на этом отрезке ко
рень х0, то других корней на этом отрезке уравнение f(x) = т
не имеет.
б) Докажите, что если функция у = f(x) убывает на отрезке [a; ft]
и уравнение f(x) = т имеет на этом отрезке корень jc0, то дру
гих корней на этом отрезке уравнение f(x) = т не имеет.
Докажите, что если функция у = f(x) возрастает на промежут
ке J , а функция у = g(x) убывает на промежутке J, то уравнение
f(x) = g(x) имеет на J не более одного корня.
| Решите уравнение, используя свойство монотонности:
в) х 2 + 3* = 5>/2;
а) хъ + 5х = 18;
б) х 2 + у/х = 9 + л/З;
r) i _ 3* =
х
3
Решите уравнение:
~ Р — = 32у[х;
а) у[х + у/х - 5 = 23 - 2х;
В)
б) у/х + у/х - 3 = 43 - б* - х 2
г) (х2 + 4х + 9)yjAx + 1 = 9.
xi +
1
Ограниченность
Прочитайте п. 1 в § 17 учебника.
Для данной функции установите, является ли она ограниченной
снизу, ограниченной сверху, ограниченной:
а) у = 1х + 2;
б) у = - З х + 1, х < 0;
в) у = 4х + 1, х > 0;
г) у = -2 х + 5, 0 < х < 5.
а) у = х 2;
в) у = у/х;
б) у = К
х > 0;
а) у = - х2 + 4х - 5, х > 0;
б) у = х г - 4х + 1, х < 0;
г) у = |х |, - 4 < х < 8.
в) у = 2х2 - 6х + 3, х > 0;
г) у = - З х 2 + 6х + 2, х < 0.
Докажите ограниченность функции:
б) у = -yj 16 - х 4.
а) у =
- х 2;
Исследуйте функцию на ограниченность:
в) у = V3 - х2 - 2х;
б) у
*
1
“
n/З
- * 2 - 2* '
Наибольшее и наименьшее значения
Прочитайте п. 2 в § 17 учебника
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а) у = 2х + 3, х € [0; 1];
б) I/ = -2 х 2, х € [-1; 1];
г) У = 2 * 2, х е (0; 2].
у = у[зс, если:
а) х 6 [0; +оо);
б) х 6 [0; 3];
в) х 6 [1; 4];
г) х 6 (0; 2].
а) у = six - 4;
б) у = 3 - sfx;
в) у = sfx + 2;
г) у = 4 - sfx.
а) у = х2 + 4х - 3;
б) у = -4 х2 - 12х + 1;
в) у = 9х2 + 6х - 5;
г) у = -х 2 + 8х - 12.
а) у = | х | + 3, х € [-5; 1];
б ) у = - | 4x1+ 1, х € (-6; 2];
в) у = - | 2 х |- 1, х 6 [-1; 1];
г) у = IX | + 3, X € [-5; 1).
а) Докажите, что если функция у = /(х) возрастает на отрез
ке [о; 6], то наименьшее значение функции на этом отрезке
равно Да), а наибольшее равно f(b).
б) Докажите, что если функция у = Дх) убывает на отрезке [a; fe],
то наименьшее значение функции на этом отрезке равно f(b), п
наибольшее равно Да).
а) Докажите, что если функция у = Дх) возрастает на отрезке [а; 6|
и убывает на отрезке [Ь; с], то своего наибольшего значения нп
отрезке [а; с] функция достигает в точке Ь.
б) Докажите, что если функция у = Дх) убывает на отрезке fa;
и возрастает на отрезке [Ь; с], то своего наименьшего значении
на отрезке [а; с] функция достигает в точке Ь.
г
■■вШ ЙИ!
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х2 - 4л - 1
на данном промежутке:
а) [-3; 1];
б) [2; б];
в) [-2; 3];
г) [0; б].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -2х2 - х
на данном промежутке:
а) [-3; -1];
б) [-1; 7];
в) [0; 3];
г) [-3; 5].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = х 3 + 2х + 3 на отрезке [-1; 3];
б) у = %/l0 - х - X s - 2х + 3 на отрезке [1; 3].
У =
1
а - х на отрезке [а + 1; а + 4].
Для каждого значения параметра а найдите наименьшее и наи
большее значения функции:
а) у = х 2 + 4х + 5а на отрезке [-1; 1];
б) у = - х 2 + 4х - а на отрезке [-1; 3].
лт о
рм
а) у = х2 - 4х на отрезке [-1; а];
б) у = - х 2 + 2х - 3 на отрезке [а; 3].
а) у = х 2 - 4ах на отрезке [-1; 2];
б) у = - х 2 - 4ах + 7 на отрезке [-2; 3].
Экстремумы
Прочитайте п. 3 в § 17 учебника.
Назовите точки максимума и минимума функции, график кото
рой изображён:
а) на рис. 72;
б) рис. 73;
в) рис. 74;
г) рис. 75.
У,
\
у,
\
/ \
1
(
о
1
7
/
Lг
V
ЛZ
J
Рис. 72
/и
1
L1
\
_Jf
X
LЛ
1
О
\
Рис. 73
X
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
у,L
{
\ iУ
/ \
\ / \ (о
тж
V
V
\
X
Рис. 75
Рис. 74
Постройте и прочитайте график функции, укаж ите точки экстре
мума:
117.551
I17T561
—
117.57 И
У=
^
—, если х < -1;
х
j x + 1 - 2, если х > -1.
14 - 2л:2, если - 1 < х < 1;
| х + 1, если 1 < х < 3.
I Дана функция у = Дх), где f(x) =
j2 x 2 + 4х + 2, если - 2 < х < 0;
л: + 2, если х > 0.
а) Найдите: Д -3); ДО); Д5).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) Перечислите свойства функции.
да
Дана функция у = Я *) , где Я * ) -
1х - 1, если - 2 < х < 0;
+ 4 х . , если , > „
а) Найдите: Д -2 ); ДО); Д5).
б) Постройте график функции у = Дх).
в) Перечислите свойства функции.
Ш
Постройте и прочитайте график функции:
2, если - 3 < х < 1;
у =
у[х, если 1 < х < 4;
(х - 5)2 + 1, если 4 < х < 6.
О
ШЕЯ О
Шк
если х < 0;
х
- х 2 + 2х + 2, если 0 < х < 2;
х, если 2 < х < 4.
ЩЩ;
И|№| Ц•
518. Чётны» и нечётные функции
ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ
-
158
Прочитайте пп. 1 и 2 в § 18 учебника
Является ли симметричным заданное множество:
■ 1 а> [-3; *1;
11|4I
) О 11Ш
а> [-6; 2);
б) (-°°; +°°);
в) [-4; i ] ;
б) (-°°; 4);
В)
(-12; 12];
г)[0; +оо)?
г) (-оо; 0)?
Докажите, что функция является чётной:
а) у = Зх2 + х4;
в) у = 2х® - хв;
б) у = 4х® - х 2;
г) у = 5х2 + х10.
| Докажите, что функция является нечётной:
а) у = х г(2х - я 3);
в) у = х(5 - х2);
х* + 1
Зх
б) у =
г) у =
2х3 ’
х 6 +2
Докажите, что функция у = х 2 + х не является ни чётной, ни
нечётной.
Исследуйте на чётность функцию:
а) у = х2;
Щ
Ш
б) у = х т;
ъ) у =
х6;
г) у = х 3.
а) у = | х | , х € [-1; 1];
б) у = х5, х € [-3; 3);
В) у = | х | , х € [-2; 2);
г) у = X5, х 6 [-4; 4].
а) у = 2х3, х € [-2; 2];
б) у = -х 2, х € [-1; 0];
Г)
в) У = - х 2, X 6 ( - о о ; + 0 О);
у = 2х3, х € [-3; 3).
Исследуйте на чётность функцию:
а) у = -v/x + 1;
в) г/ = >/х —5;
г) у =
ш
а) г/ = 4х - 2х3 + 6х5;
х- 2 .
б) у =
х2 + 4
х +2
16
в) у = Vx;
г) г/ =
х2 + 8
х 2 - 9'
Ш
-
7 лава 3 .
Ш Ч 'Ш Н н ш щ д г
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Прочитайте п. 3 в § 18 учебника
Исследуйте на чётность функцию, график которой изображён:
; '■I'Zg'CX
а) На рис. 76;
б) рис. 77;
у,
■\
гу
L
л
1
L
\ /
о
Ш-1
■
в) рис. 78;
h-4
-4
X
fo ,
1
г) рис. 79.
-----
X
1
__
Рис. 77
Рис. 76
■
У,
\
\
у
н
У 0.
I
-1, если х < -1;
а) у = ха, если -1 < х < 1;
если х > 1;
х~3, если а: < -1;
б) у = - х 2, если -1 < х < 1;
х 4, если х > 1.
Решите графически неравенство:
а) х~2 > 2х - 1;
в) а~2 < 2х - 1;
б) х~3 < J x ;
г) а"3 > у[х.
Даны функции у = Да) и у = £(а), где f(x) = х5, g(x) = а"10. Дока
жите, что -^Ig— = 32 (^(а))"1.
Даны функции у = Да) и у = g(x), где Да) = a-3, g{x) = х4. Докажи
те, что (Да2))2 = (£(х))-3.
Даны функции у = Да) и у = g{x), где Да) = х2, g(x) = а-4. Докажите, что
16
fix 2)
/ . N V 1
f
8\
Найдите точки экстремума функции:
а) у = \х~1 - 3|;
б) у = \х~4 - 1|
Постройте и прочитайте график функции:
б) у = Iа~2 - 1
а) у = (Ы - 2)_3 + 1;
Решите уравнение:
а) yfx = 30(а + I ) '1;
б) х 2 = 4(х - I)"3;
Найдите все такие значения параметра Ь, для которых существу
ет такое число р , что график функции у = (|х| + Ь)~3 расположен
ниже прямой у = р. Д ля каждого такого b укажите все возмож
ные значения р.
а) Даны функции у = f(x), у = q(x), где /(х) = л/х, q(x) = 2. Решите
уравнение /(х - 1) = у(х).
б) Даны функции у = /(х), у = у(х), где f(x) = yfx, q(x) = х 2. Реши
те уравнение f(x 3 + 2) = q(x).
134
12 0 .3 7 1
ЕТПШ
| а) Дана функция у = f(x), где f(x) = Ух. Решите уравнение
2 f(x) = f{2x + 3).
б) Дана функция у = f(x), где f{x) = Ух. Решите уравнение
f(x2) = f(x + 20 ).
•Д Решите уравнение:
а) ^/9 - х + 2\]16 - х = 5;
б) з(9 - |х| + 2^16 - \х\ = 5;
ЕТПШ О Ц Решите неравенство:
a.) s[x > 1 ;
б ) У х > 2 - х;
120.461
в) % 9- х 2 + 2^/16 - л2 = 5;
г)
+
в) у/х < - 2 ;
, 5.
г) у/х < -х - 2.
I Постройте и прочитайте график функции
у=
Ух, если х < - 1 ;
х 5, если - 1 < х < 1;
Ух, если х > 1.
120.41
Постройте график функции у = /(ас), где
2{х + 4)2, если - 6 < х < -2;
/(я) =
- х 3, если -2 < х < 0;
если 0 < х < 8.
При каком значении параметра р уравнение f(x) = р имеет:
а) два корня;
в) четыре корня;
б) три корня;
г) не имеет корней?
I Постройте график уравнения:
а) $ х + у )(х 3 - у) = 0;
б) (2Ух - у )(х 2 + у2 - 4) = 0;
Решите графически систему неравенств:
х + у > 2,
а)
у - Ух > 0 ;
| ху + 1 > 0,
б) \у - Ух < 0 ;
\у + Ух > 0 ,
1‘/ + | * - 2 | < 4 ;
\ y - l f c < о,
\ х у - 1 > 0.
Постройте и прочитайте график функции:
б) у = 1 - 2*1\1 + х\.
а) у = 2х - 1, х € (0; +°°);
б) у = 2х - 1, х 6 Q;
а) у =
б)У = Ч
* 6 (0; +оо);
^>
X&Q-,
Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька
тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на
землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния
сосульки? Является ли эта математическая модель числовой по
следовательностью?
Выясните, является ли указанное ниже соответствие последова
тельностью. Если да, то составьте формулу л-го члена последова
тельности и найдите её первые пять членов:
а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его ква
драт;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие его куб;
в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;
г) каждому натуральному числу ставится в соответствие обратное
число.
Назовите член последовательности (у„), который:
а) следует за членом у 31, уп, у„ + 9, У2 п\
б) предшествует члену г/91, г/639,
i. УзпНазовите все члены последовательности (а„), которые расположе
ны между членами:
а) а 638 и а645;
в) а„ +. 3 и а„ + 10;
б) а 1002 и а 1008;
г) а„ . 2 и а„ + 2.
Прочитайте п. 2 в § 21 учебника
Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных
приближений числа -\/3:
а) по недостатку;
б) по избытку.
Пусть (а„) — последовательность десятичных знаков в записи
13
числа —, т. е. ап — n-й десятичный знак числа 14 Так как
— = 0,9285..., то, например, ах = 9; а 2= 2; а3= 8 ; а 4- 5. Выпиши
14
те следующие шестнадцать членов этой последовательности и
найдите ап 7. Есть ли у этой последовательности наименьший
член? А наибольший?
Найдите гх, г2, г3, г17, г80, где гл - n-й десятичный знак числа а:
а) а = 0,(34);
в) а = 0,3(50);
а) Запишите несколько начальных членов возрастающей поело
довательности натуральных чисел, делящихся на 3, десятич
ная запись которых состоит только из цифр 7.
б) Запишите несколько начальных членов возрастающей после
довательности натуральных чисел, делящихся на 1 1 , десятич
ная запись которых состоит только из цифр 7.
§21. Числовые последовательности
в § 21 учебника
Прочитайте п.
По заданной формуле п-го члена последовательности вычислите
её первые пять членов:
а) о„ = 4га + 1;
б) сп = -7л + 3;
в) Ь„ = 5п + 2;
г) а„ = -3 п - 7.
а) а п =
в) сп = 2л + 4’
б) dn =
п + 5’
-2
г)
3 - 4л ’
х п = п2 + 1;
б) уп = - п 3 - Ю ;
а„ =
-3
4л - 1’
в) гп = -л 3 + 5;
г) w„ = п2 - 15.
По заданной формуле л-го члена последовательности вычислите
её первые пять членов и изобразите их в виде точек числовой
прямой:
а) а п = 2л + 3 ;
б) Ъп = ®;
в) х„ = п2 + 1;
г) уп = 2".
По заданной формуле л-го члена последовательности вычислите
её первые пять членов и изобразите их в виде точек на коорди
натной плоскости:
а) а п = л;
б) а п = (л - I)2;
в) ап =
+1;
г) а„ = 2".
Составьте одну из возможных формул л-го члена последова
тельности по её первым пяти членам:
в) 6, 7, 8, 9, 10, ...;
г) -1, —2, -3, —4, —5, ... .
в) 4, 6, 8, 10, 12,
г) 4, 8, 12, 16, 20, ....
в) 2, 5, 10, 17, 26, ...;
г) 1, 8, 27, 64, 125, ....
И »;
Hull
TO1UW
Ш
ГЛАВА 4.
138
ПРОГРЕССИИ
Докажите, что число А является членом последовательности (i/„),
если:
2л + 3
Ж -
л _ 11.
1
а>»- = Т 7 Р А " Т ’
в) у п = 3(п + 2) 2> А ~
б) Уп = 23п - п , А = 128;
г) у п = (п - 2)3 - 1, А = 342.
12
Является ли членом последовательности (уп) данное число В? Ес
ли является, то укажите номер соответствующего члена последо
вательности:
а) Уп = -п 5 + 3, В = -240;
в) уп = п2 + 15п + 16, В = 39;
б) У, =
V " » 4- ' В - Ь *
г>■ (V s)7*'*. В = 243.
л^ + 25
По заданной формуле л-го члена последовательности вычислите
её первые пять членов:
а) хл = (-2)";
в)Ь„ = 2 (-3)»->;
б) сп = (-1 )"+1 - (-1)";
г> dn = (-2)п + (-2)п' •
Последовательность задана формулой л-го члена. Вычислите её
первые три члена с чётными номерами:
а) уп = (-1)" + (-2)" +11
в) 2« = (_2^п “ ("2)П+1;
б) хп = (-2)" + 1 - (-2)” - *;
т
е
__
г) wn = (-1)" + 1 - (-2)".
Последовательность задана формулой л-го члена. Вычислите пер
вые три члена с нечётными номерами:
а) уп = (-1)" + 2";
б)
= (-2)" + 16;
в) z„ = (-2)" + 4л;
г) wn = (-1)" - 1.
Составьте одну из возможных формул л-го члена последователь
ности по первым пяти её членам:
,, 1 1 i
i
- 41 1 I I I
а) Все натуральные числа, делящиеся на 17, расположили в по
рядке возрастания. Пусть х„ — п-е число в этой последователь
ности. Найдите формулу, задающую хп.
б) Натуральные числа, которые при делении на 17 дают в остат
ке 7, расположили в порядке возрастания. Пусть хп — п-е чис
ло в этой последовательности. Найдите формулу, задающую хп.
Формулой n-го члена задайте последовательность чётных нату
ральных чисел, не делящихся на 4.
Прочитайте п. 4 в § 21 учебника
Выпишите первые шесть членов последовательности (х п):
а)
б)
в)
г)
Последовательность задана рекуррентным способом. Найдите её
первые шесть членов и изобразите их в виде точек на координат
ной плоскости:
а) ап + j = ап + 3, ах = -2 ;
в) а„ + х = -5 а„, dj = 0,2;
б) ап +х = — , аг = 2;
п
г )а п + 1 = (л + 1)а„, а1= 1.
Выпишите первые шесть членов последовательности (хя), у кото
рой x t = - 3 , х 2 = -2 и каждый член, начиная с третьего, равен
удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррент
ное задание последовательности.
Задайте последовательность рекуррентным способом:
а) 2, 2, 2, 2, 2, ...;
в) 9, 7, 5, 3, 1, ...;
б) 2, 4, 6, 8, 10, ...;
г) 5, - 5 , 5, -5 , 5, -5 , ....
Задайте последовательность рекуррентным способом:
а) 2, 6, 18, 54, 162, ...;
а) Задайте с помощью рекуррентного соотношения последова
тельность чётных натуральных чисел, делящихся на 37.
б) Задайте с помощью рекуррентного соотношения последова
тельность натуральных чисел, делящихся одновременно на 10
и на 14.
Постройте график последовательности:
а)
Уп
=
в)
Уп
= " 2 - 4;
.
Зл
г) и . - т Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены по
следовательности (хп) будут больше заданного числа А:
а) хп = 2л - 5, А = 10;
в) хп = п2 - 27, А = -2;
б) х„ = З "-1, А = 30;
г ) * „ = 2п~5, А = 1,5.
Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены по
следовательности (х„) будут меньше заданного числа А:
а) хп = 3 - 2л, А = -9;
в) = 2 - Зл2, А = -25;
б ) х„ = 34 л, А = 0,5;
г) хп = 25~ ", А = 0,75.
а) Выпишите все отрицательные члены последовательности
а„ = 9л - 73.
б) Пусть а„ = п2 - 9л. Выпишите все отрицательные члены после
довательности.
а) Найдите количество положительных членов последовательно134
с™
* *
*
б) Пусть Ьт =
Зт. - 1
Сколько положительных членов имеет
данная последовательность?
521. Числовые последовательности^
а) Пусть ап = п2 - 84га - 13. Найдите наименьший член последова
тельности.
б) Пусть ап = - З л 2 + 184л - 83. Найдите номер наибольшего члена
последовательности.
О|
Найдите номер члена последовательности ап = 0,3л - 11, наиболее
близкого к числу: а) 173; б) 1000; в) -4 ; г) Vl7.
1Ш о ЩНайдите
член последовательности Ьп = 2^_+
, наиболее близ-
2п + 3
кий к числу: а) 30; б) 17; в) 150; г) 1.
Последовательность (Ьп) такова, что Ьх = Ь2 = 0; Ьп при л > 2 равно
числу диагоналей выпуклого л-угольника. Найдите формулу
для Ьп при л > 2.
Укажите любую пару равных членов последовательности:
а) Ьп = п2 - 46л + 5;
в) Ьп = п2 + 36л - 55;
б) а„ = -З л 2 - 24л + 1;
г) ап = - 2 л 2 + 14л - 7.
Найдите член последовательности Ьп =
20л
, наиболее близкий
к числу: а) 3; б) 7; в) 150; г) 0.
■471
При каких значениях параметра р у последовательности
ап = л2 - 18л + р:
а) ровно один отрицательный член;
б) ровно два отрицательных члена;
в) ровно пять отрицательных членов;
г) все члены отрицательны?
При каких значениях параметра р у последовательности
а„ = -З л 2 + 84л + р:
а) ровно один положительный член;
б) ровно два положительных члена;
в) все члены положительны;
г) все члены отрицательны?
П ри каких значениях параметра р у последовательности
ап = -З л 2 + блл + р:
а) ровно один положительный член;
б) ровно два положительных члена;
в) все члены положительны;
г) все члены отрицательны?
522. Свойства числовых последовательностей
Дана ограниченная последовательность ап. Относительно каких
из указанных последовательностей можно утверждать, что они
тоже ограниченные:
1) Ь„ = 384 + 5а„;
3) dn = па„;
4) рп = (а„)70?
При каких значениях параметра а последовательность является
ограниченной сверху; ограниченной снизу; ограниченной:
а) Ьп = ап + 11;
в) Ьп = 2п2 - ап - 23;
ал2 + 10
2л - 1
Прочитайте п. 2 в § 22 учебника
Приведите пример последовательности (заданной формулой об
щего члена), которая является:
а) возрастающей;
б) убывающей;
в) немонотонной;
г) немонотонной, но её подпоследовательность с чётными номера
ми возрастает, а подпоследовательность с нечётными номерами
убывает.
Приведите пример последовательности (заданной формулой об
щего члена), которая является:
а) неограниченной и возрастающей;
б) неограниченной и убывающей;
в) ограниченной и возрастающей;
г) ограниченной и убывающей.
Укажите, какая из данных последовательностей является возрас
тающей:
а) -3; -1; 1; ... ;
в) 0,01; 0,04; 0,09; ... ;
б) -3 ; 1; -1 ;
Укажите, какая из данных последовательностей является убыва
ющей:
а) -4; -7; -10; ... ;
в) 2 1; 2"2; 2“3; ... ;
ГЛАВА 4.
ПРОГРЕССИИ
а) Найдите несколько начальных членов возрастающей последо
вательности всех натуральных чисел, кратных пяти. Укажите
её шестой, девятый, двадцать первый, n-й члены.
б) Найдите несколько начальных членов возрастающей последо
вательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите
её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n -й члены.
а) Известно, что (ол) — возрастающая последовательность кубов
всех натуральных чисел. Найдите а1г а2, а3, а4, а„.
б) Известно, что (с„) — возрастающая последовательность всех
натуральных степеней числа 2. Найдите clt с2, с3, с4, сп.
Числовая последовательность задана формулой с„ = Зп - 9. Вы
числите первые четыре члена последовательности и определите,
возрастающей или убывающей она является.
I Числовая последовательность задана формулой хп = 6 - 1,5п. Вы
числите первые три члена последовательности и определите, воз
растающей или убывающей она является.
Докажите, что последовательность (уп) является возрастающей,
если:
а) уп = 3п + 4;
в) у„ = 7 п - 2;
б) у„ = 5л2 - 3;
г) уп = 4л2 - 1.
Докажите, что последовательность (уп) является убывающей,
если:
а) уп = -2л - 3;
в) уп = 4 - 5л;
г) у п = - л 3 + 8.
б) уп = -З л 3 + 4;
Докажите, что возрастает последовательность:
1
dn = л + Г
б)
■ Докажите, что убывает последовательность:
а) 0,1 = 2 л ’
б)
ь =
г) dn =
Hi
S 22. Свойства числовых послед!
Определите характер монотонности числовой последовательно
сти (у п), если:
а) у„ = л2 - 2л + 3;
в) у„ = л2 + 8п - 3;
б) уп = -л 2 - 4л + 5;
г) уп = - л2 + 2п - 1.
Для каждой из следующих последовательностей составьте выра
жение ап + t - ап, сравните это выражение с 0 и сделайте вывод о
монотонности последовательности:
а) ап = 5л + 327;
в) а„ = 5л2- 7л + 1;
б) ап = 5л2- 17л + 1;
г) ап = Зп ~ 1
Для каждой из следующих последовательностей с положи+1
тельными членами составьте выражение -----, сравните это выап
ражение с 1 и сделайте вывод о монотонности последователь
ности:
а) ап = (2,3)";
в) ап = (0,9)";
б) ап = (0,53)
Дана возрастающая последовательность (а п). Исследуйте на моно
тонность последовательность:
а) Ьп - 3 а п + 3;
б) Сп = Зга + а „;
в) Ъп --= 4 - 0 ,7 а „
г) Рп == а п - Зга.
а) dn = пап;
В) R n
б) К = (а п)2 + 3 ;
Г)С?Л == га + >/а 7 .
-
5 l у.
п
При каких значениях параметра а последовательность является
возрастающей; убывающей:
а ) 6„ = ап + 11;
в) Ьп = 13 - ап2-,
б) Ьп = -га2 + (8 - а 2)п + 17;
г) Ъп = 2 п2 - а п - 23?
Дана последовательность ап = л2. Исследуйте на монотонность и
ограниченность последовательность:
а) аП;
б)Ьп = а п+ 1 - ап;
в) с„ = — ;
an
г) dn =
ап
Дана последовательность ап = —-+ . Исследуйте на монотонность
п
и ограниченность последовательность:
а) а„;
б)Ьл = а л + 1 - а п;
в) с„ = — ;
ап
г) d = 5*±1
ап
Укажите какой-либо номер, начиная с которого для всех чле
нов последовательности а„ = п2 - 60п + 59 выполняется условие
а* + 1 > а* (с этого номера последовательность возрастает).
Укажите какой-либо номер, начиная с которого для всех членон
последовательности а„ = -Зга2 - 97л + 100 выполняется условие
ак 4 1 < а* (с этого номера последовательность убывает).
Л2
Для последовательности а п = — найдите такое k, что ^±1 > ],
2 ’'
аь
°*+ 1
а) Докажите, что последовательность периметров правильных
вписанных в окружность 2" + '-угольников является возрастаю
щей и ограниченной.
б) Докажите, что последовательность периметров правильных
описанных около окружности 2" + ‘ -угольников является убы
вающей и ограниченной.
!Г' “1
§23. Арифметическая прогрессия
э-
31
£
Прочитайте п. 1 в § 23 учебника
gj Определите, является ли приведённая ниже последовательность
арифметической прогрессией:
а) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ...;
в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,
б) 3, 0, -3, -6 , -8 ,
г) -7, -5 , -3 , -1, 1, ....
g Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (а„),
если:
a) eti = 3, d = 7;
в) а х = -2 1 , d = 3;
б) eti = 10, d = -2 ,5 ;
г) aj = -1 7 ,5 , d = -0,5.
g Запишите конечную арифметическую прогрессию (а„), заданную
следующими условиями:
а) a j = -2 , d = 4, п = 5;
в) аг = 2, d = 3, п - 6;
б) a x = 1, d = - 0 ,1 , п = 7;
г) а х= -6 , d = 1,5, п = 4.
Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии:
а) 1, 3, 5, 7, ...;
б) >/5, 6 + >/5, 12 + V5, 18 + J 5 , ...;
в) 100, 90, 80, 70, ...;
г) 3, 3 - л/2, 3 - 2V2, 3 - Зл/2, .. . .
а) Возрастаю щая последовательность состоит из всех натураль
ных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выяс
ните, является ли она арифметической прогрессией. Если да,
то укажите первый член и разность прогрессии.
б) Возрастаю щ ая последовательность состоит из всех натураль
ны х чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифме
тической прогрессией; укажите первый член и разность про
грессии.
тт
ГЛАВА 4.
148
ПРОГРЕССИИ
Выясните, является ли арифметической прогрессией последова
тельность (х„), заданная формулой л-го члена. Если да, то укажи
те первый член и разность прогрессии.
а) х„ = 3/1+ 1;
в) х п= л2;
б) хп = 3 • 2П;
г) х п = 4п - 3.
1
Докажите, что последовательность (а„) является арифметической
прогрессией, и найдите разность прогрессии:
a) a n= 2n + 1;
в) а „ = -3 л + 1;
б) а„= 0,5л - 4;
г) а „ = - - л - 1.
Прочитайте п. 2 в § 23 учебника
Зная формулу л-го члена арифметической прогрессии (а„), найди
те а х и d:
а) а„= Зл - 2;
в) а„ = -0,1л + 3;
б) а „= -1 -|;
г) а„ = 5 - 2л.
Составьте формулу л-го члена арифметической прогрессии:
а) 2, 5, 8, 11, ...;
в) 7, 5, 3, 1, ...;
г )-1 , - i f , - i f , - i f , ....
б) 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, ...;
Дана арифметическая прогрессия (а„). Вычислите:
а) а6, если a t = 4, d = 3;
б) а 15, если = -15, d = -5;
в) а 17, если а х= -12, d = 2;
г) а9, если а х= 101, d = f .
Найдите разность арифметической прогрессии (а„), если:
а) а х = 12, а5 = 40;
в) а х = -8, а ,, = -28;
б) а х = -3, а 15 = 53;
г) а, = 2,5, а ,0 = -3,5.
Найдите первый член арифметической прогрессии (ая), если:
а ) а7= 9 , d = 2;
в ) а 2в=-71, d =- 3;
б) а 87 = -69, d = -2,5;
г) о 14 = -б-Уб, d = -Уб.
23.141
Дана конечная арифметическая прогрессия (а„). Найдите а п, если:
а) Oj= 1, d = 2, л = 11;
в) a x = f , d = | , л = 17;
о
б) a x = - i f , d = -3,75, л = 21;
4
г) а х = 0,2, d = | , л = 13.
■М ММ
§23. Арифметическая прогрессия
,4 i r ^ ,
,
i 149
Дана конечная арифметическая прогрессия (а„). Найдите ах,
если:
а) d = 2, п = 15, ап = -10;
в) d = -0 ,6 , п = 17, ап = 9,5;
б) d, = i , п = 7, ап = ю |;
г) d = -0 ,3 , п = 15, а„ = -2,94.
Дана конечная арифметическая прогрессия (а„). Найдите d, если:
а) а х = 3, а„ = 39, п = 11;
в) а х = 5^, ап = 1^, п = 36;
о
б) а, = - 0 ,2 , а„ = -1 8 ,4 , п = 15;
4
г) а х = 3,6, а„ = 0, п = 37.
Дана конечная арифметическая прогрессия (а„). Найдите п, если:
а) а, = 1, d = | , а„ = 67;
в) a s = -6 , d =
а„ = ю |;
б) а, = 0, d = 0,5, а„= 5;
г) а х = -4 ,5 , d = 5,5, а„ = 100.
Докажите, что для любой арифметической прогрессии справедли
во соотношение:
а) * - ! •
q=
Ьп = ^ ;
б) by = 256, q =
0„ = 2;
в) 0, = 2,5, q =
r)by
Ъл = 4 • 10"3;
= ^ , ? = - 7 ,b n = -2401.
Найдите первый член и знаменатель q геометрической прогрес
сии (Ъп), если:
. .
