ГЕОМЕТРИЯ
к учебникам
* Л.С. Атанасяна и др.
(М.; Просвещение)
• А.В. Погорелова и др.
(М.: Просвещение)
Издание
второе,
переработанное
О класс
МОСКВА • «ВАШ
УДК 372.851
ББК 74.262.21
К64
Издание допущено к использованию
в образовательном процессе в соответствии
с приказом Министерства образования и науки РФ
от 14.12.2009 N° 729 (в ред. от 13.01.2011).
Издание соответствует требованиям ФГОС
на основании сертификата N° 1Ш.ИОСО.П00568
системы «Учсерт» Российской академии образования.
Р е ц е н з е н т - Соросовский учитель,
учитель высшей категории ГБОУ СОШ N° 192 г. Москвы
М.Я. Гаиашвили
К64
Контрольно-измерительные материалы. Геометрия.
8 класс / Сост. Н.Ф. Гаврилова. —2-е изд., перераб. —
М.: ВАКО, 2014. —96 с. —(Контрольно-измерительные
материалы).
ISBN 978-5-408-01596-2
В пособии представлены контрольно-измерительные материалы
(КИМы) по геометрии для 8 класса. Тесты тематически сгруппиро
ваны, соответствуют требованиям школьной программы. Структура
КИМов аналогична структуре тестов в формате ЕГЭ, что позволит
постепенно подг отовить учащихся к работе с подобным материалом.
В конце пособия предложены тексты самостоятельных и контроль
ных работ, а также ключи к тестам.
Издание адресовано учителям, школьникам и их родителям.
УДК 372.851
ББ К 74.262.21
От составителя
Цель данного пособия — помочь учителю организо
вать качественный контроль знаний, умений и навыков,
полученных учащимися в процессе изучения геометрии
в 8 классе. В пособии представлены 16 тематических те
стов, 4 теоретических теста, 4 теста на обобщение прой
денного материала и один итоговый тест по программе
8 класса, 20 самостоятельных и 6 контрольных работ
(включая итоговую), рассчитанных на уровень учащихся
общеобразовательных школ. Контрольно-измерительные
материалы могут также успешно использоваться учителя
ми классов с углубленным изучением математики.
Для повышения результата подготовки учащихся
к ЕГЭ необходимо применять различные виды контроля.
Тестовые задания дают возможность сэкономить время
на уроке, решить большее количество задач. Самостоя
тельные и контрольные работы позволяют учителю на бо
лее высоком уровне проверять знание теоретического ма
териала и умение использовать полученные знания при
решении задач, но в то же время на это тратится достаточ
но много времени. Разумнее чередовать различные виды
проверки. Все работы даны в двух равноценных вариантах
с некоторым превышением степени трудности. Сделано
это по нескольким причинам: во-первых, каждый учитель
сможет уменьшить количество заданий, заменить те или
иные задачи, увеличить или уменьшить отведенное для
выполнения работы время; во-вторых, задачи, предло
женные в работах, можно использовать в классах с разным
уровнем подготовленности учащихся, а также в качестве
домашних самостоятельных и проверочных работ.
Данное пособие может быть использовано учителем
на любом этапе урока —повторения, закрепления изучен
ного, актуализации знаний учащихся и т. д. Также оно
может быть использовано и при организации индивиду
альной работы.
3
Контрольно-измерительные материалы помогут орга
низовать качественную проверку знаний, умений и навы
ков учащихся и сэкономят время при подготовке к урокам.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
• основные понятия и определения геометрических
фигур по программе;
• формулировки основных теорем и их следствий.
В результате изучения курса учащиеся должны уметы
• пользоваться геометрическим языком для описания
предметов окружающего мира;
• распознавать геометрические фигуры, различать их
взаимное расположение;
• изображать геометрические фигуры, выполнять
чертежи по условию задач, осуществлять преобра
зования фигур;
• решать задачи на вычисление геометрических вели
чин, применяя изученные свойства фигур и формулы;
• решать геометрические задачи, опираясь на из
ученные свойства фигур и отношений между ними,
применяя дополнительные построения, алгебраиче
ский аппарат, соображения симметрии;
• проводить доказательные рассуждения при решении
задач, используя известные теоремы, обнаруживая
возможности для их применения;
• решать простейш ие планиметрические задачи
в пространстве;
• владеть алгоритмами решения основных задач
на построение.
В результате изучения курса учащиеся должны исполь
зовать приобретенные знания и умения в практической дея
тельности и повседневной жизни для:
• описания реальных ситуаций на языке геометрии;
• решения практических задач, связанных с нахожде
нием геометрических величин (используя при необ
ходимости справочники и технические средства);
• построения геометрическими инструментами (ли
нейка, угольник, циркуль, транспортир);
• владения практическими навыками использования
геометрических инструментов для изображения фи4
гур, а также для нахождения длин отрезков и вели
чин углов.
Рекомендации по оцениванию результатов работ
Вопросы и задания тестовых работ разделены на три
уровня сложности: А, В, С.
Уровень А является базовым и включает задания на зна
ние теории и ее применение при решении простейших задач.
Содержит 4 вопроса в тематических тестах и 7 —в обобщаю
щих и итоговом. В тестах 6,12,18 и 24 дано по десять теоре
тических вопросов. К каждому заданию этого уровня даны 4
варианта ответа, только 1 из которых является верным.
Уровень В более сложный и содержит задачи на умение
использовать теоретические знания не только по изучае
мой теме, но и по ранее изученному материалу. Темати
ческие тесты содержат 2 задачи уровня В, а обобщающие
и итоговый - 3.
Уровень С содержит одну или две задачи повыш енно
го уровня сложности, большинство из них предполагает
несколько вариантов правильных ответов.
На выполнение тематических тестов отводится от 10
до 20 мин в зависимости от уровня подготовленности уча
щихся. По своему усмотрению учитель может сократить
количество заданий тематических тестов. Обобщающий
и итоговый тесты выполняются в течение 45 мин.
За каждое верно выполненное задание в части А уча
щийся получает 0,5 балла, в части В — 1 балл, в части С —
2 балла. М аксимальное количество баллов за тематиче
ский тест —8, за обобщающий и итоговый — 10,5.
Критерии оценивания в зависимости
от количества набранных баллов
Обобщающий
и итоговый
Количество баллов
Менее 1,5
1,5-2,5
3 -4
1
00
Оценка
2
3
4
5
2
3
4
5
4^
Тест
Тематический
Менее 2
2 -4
4 ,5 -6
6,5-10,5
5
Тест 1. Многоугольники
Вариант 1
А1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого
«-угольника?
□ 1) 180° (я - 2 )
□ 2) 180° ( я + 2)
□ 3) 180°-я
□ 4) 180°: я
А2. Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?
□ 1) 360°
□ 2) 540°
□ 3) 900°
□ 4) 720°
АЗ. Чему равен внешний угол правильного девятиуголь
ника?
□ 1)60°
□ 3) 90°
□ 2)40°
□ 4 )1 4 0 °
А4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если
сумма его углов равна 2520°?
□ D14
П3)16
□ 2)12
П4)18
В1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°.
Найдите число сторон этого многоугольника.
В2. В выпуклом четырехугольнике длины сторон отно
сятся как 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 68 см. Найдите
наименьшую сторону четырехугольника.
С1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары
равных между собой смежных сторон: АВ —AD, ВС = CD,
О — точка пересечения диагоналей четырехугольника.
Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.
С2. В выпуклом многоугольнике имеется пять углов с гра
дусной мерой 140° каждый, остальные углы острые. Най
дите число сторон этого многоугольника.
6
Тест 1. Многоугольники
Вариант 2
А1. Чему равна сумма внешних углов выпуклого «-уголь
ника, взятых по одному при каждой вершине?
□ 1) 180° • (« - 2)
□ 2) 180° -(и + 2)
□ 3) 360°
П 4) 360° •«
А2. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
□ 1)360°
□ 3)900°
□ 2)540°
□ 4) 720°
АЗ. Чему равен внешний угол правильного восьмиуголь
ника?
□ 1)22,5°
□ 3) 40°
□ 2)45°
П 4)1 3 5 °
А4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если
сумма его углов равна 2160°?
□ 1)14
П 3 )1 6
□ 2)18
П 4 )1 2
В1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 140°.
Найдите число сторон этого многоугольника.
В2. В выпуклом пятиугольнике длины сторон относятся
как 5 : 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 117 см. Найдите
наибольшую сторону пятиугольника.
С1. Диагональ А С невыпуклого четырехугольника ABCD
разделяет этот четырехугольник на два треугольника, при
чем АВ > ВС, АВ = AD, ВС = CD, а прямые, содержащие
диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О.
Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA.
С2. В выпуклом многоугольнике имеется четыре угла
с градусной мерой 120° каждый, остальные углы острые.
Найдите число сторон этого многоугольника.
7
Тест 2. Параллелограмм
Вариант 1
А1. Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из сто
рон в два раза больше другой. Чему равна наименьшая
из его сторон?
□ 1)6 см
[□ 3) 9 см
□ 2) 12 см
Д 4 ) 8 см
А2. Если в параллелограмме ABCD ZA + ZB + ZD = 252°,
то чему равен угол А?
□ 1) 90°
□ 3) 84°
□ 2)72°
□ 4 )1 0 8 °
АЗ. В параллелограмме ABCD диагональ АС со сторонами
АВ и ВС образует углы, равные соответственно 45° и 25°.
Чему равна величина угла С?
□ 1)25°
□ 3) 70°
□ 2)45°
0 4 )1 1 0 °
А4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересе
кает сторону ВС в точке К так, что ВК = 7 см, КС = 3 см.
Чему равен периметр параллелограмма?
□ 1) 20 см
□ 2) 26 см
□ 3) 34 см
□ 4) 30 см
В1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сто
рону CD, делит ее пополам и образует с диагональю BD
угол 30°, АВ = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.
В2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов В и D пе
ресекают стороны AD и ВС в точках Ми К соответственно
так, что MD = 5 см, КС = 7 см. Найдите периметр ABCD.
C l. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отме
чены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН
и MD пересекаются в точке О; ZBHD = 95°, ZDMC = 90°,
ZBOD = 155°. Найдите углы параллелограмма.
8
Тест 2. Параллелограмм
Вариант 2
А1. Периметр параллелограмма равен 32 см, а две из его
сторон относятся как 3:1. Чему равна наибольшая из его
сторон?
□ 1)5 см
□ 3)8 см
□ 2) 12 см
П 4) 4 см
А2. Если в параллелограмме ABCD ZA + ZB + ZC = 237°,
то чему равен угол В?
□ 1)57°
□ 3)123°
□ 2)79°
Q 4)90°
АЗ. В параллелограмме A BCD диагональ BD со сторонами
АВ и AD образует углы, равные соответственно 52° и 26°.
Чему равна величина угла ВР.
□ 1)52°
□ 3)102°
□ 2)26°
0 4 )7 8 °
А4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересе
кает сторону AD в точке М так, что AM = 8 см, MD = 4 см.
Чему равен периметр параллелограмма?
□ 1) 40 см
□ 2) 24 см
□ 3) 32 см
□ 4) 36 см
В1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сто
рону CD, делит ее пополам и образует со стороной ВС
угол 30°, АВ = 12 см. Найдите периметр параллелограмма.
В2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и С пе
ресекают стороны ВС и AD в точках М и К соответственно
так, что АК= 4 см, ВМ= 6 см. Найдите периметр ЛИС/).
С1. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты
точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересека
ются в точке О; ZBOD = 140°, ZDKB = 110°, ZBMC = 90°.
Найдите углы параллелограмма.
9
Т е ст 3 . Трапеция
Вариант 1
А1. В трапеции ABCD основания равны 8 см и 14 см. Чему
равна ее средняя линия?
□ 1) 22 см
Г~13) 11 см
□ 2) 7 см
| 14) 6 см
А2. В трапеции ABCD /LA = 37°, Z C = 126°. Чему равна
сумма градусных мер углов В и D?
□ 1)163°
□ 3 )9 1 °
□ 2)269°
□ 4 )1 9 7 °
АЗ. В трапеции ABCD из вершины угла В проведена пря
мая, параллельная стороне CD и пересекающая сторо
ну AD в точке Е так, что ZABE = 75°, ZA = 40°. Чему равен
угол СBE?
□ 1)65°
□ 3) 40°
□ 2)75°
□ 4 )1 1 5 °
А4. В равнобедренной трапеции угол при основании ра
вен 60°, а основания равны 6 см и 10 см. Чему равен пе
риметр трапеции?
□ 1) 28 см
□ 2)26 см
□ 3)20 см
□ 4) 24 см
В1. В трапеции ABCD AD и ВС —основания, AD > ВС.
На стороне AD отмечена точка К так, что KBCD — па
раллелограмм. Периметр треугольника АВК равен 25 см,
DK= 6 см. Найдите периметр трапеции.
В2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС пер
пендикулярна боковой стороне, /.D = 60°, AD = 20 см,
ВС= 10 см. Найдите периметр трапеции.
С1. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, кото
рый составляет меньшая диагональ с меньшим основани
ем, равны 60°. Найдите отношение оснований.
10
Тест 3 . Трапеция
Вариант 2
А1. В трапеции ABCD основания равны 10 см и 16 см.
Чему равна ее средняя линия?
О 1)26 см
1 13> 8 см
□ 2) 13 см
I 14> 6 см
А2. В трапеции ABCD /.В = 128°, Z.C = 115°. Чему равна
сумма градусных мер углов А и D?
□ 1)117°
□ 3)193*
□ 2)243°
□ 4 )1 6 7 *
АЗ. В трапеции ABCD из вершины угла В проведена пря
мая, параллельная стороне CD и пересекающая сторонуЛ/)вточке А"так, что /.АКВ = 65°, ZA = 35°. Чему равен
угол BCD?
□ 1)65°
□ 3)100’
□ 2)35°
Q 4 ) 115е
А4. В равнобедренной трапеции высота образует с боко
вой стороной угол 30°, а ее основания равны 11 см и 5 см.
Чему равен периметр трапеции?
□ 1) 28 см
□ 2) 27 см
□ 3)26 см
Q 4 ) 32 см
В1. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, AD > ВС.
На стороне AD отмечена точка Е гак, что EBCD — парал
лелограмм. Периметр трапеции равен 32 см, DE = 5 см.
Найдите периметр треугольника АВЕ.
В2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD
перпендикулярна боковой стороне, ZA = 60°, AD = 24 см,
ВС — 12 см. Найдите периметр трапеции.
С1. В прямоугольной трапеции диагональ перпендику
лярна боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите
отношение оснований.
11
Тест 4. Прямоугольник. Ромб. Квадрат
Вариант 1
А1. Диагонали ромба составляют с его стороной углы,
один из которых на 20° меньше другого. Чему равен боль
ший угол ромба?
□ 1)55°
□ 3)110°
□ 2)100°
□ 4) 80°
А2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются
в точке О. Е — середина стороны АВ, ZBAC = 50°. Чему
равен угол EOD?
□ 1)140°
□ 3)120°
□ 2)130°
□ 4 )1 5 0 °
АЗ. В ромбе ABCD угол А равен 60°, АВ = 6 см. Из верши
ны В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ
и ВК соответственно. Чему равна сумма длин отрезков
MDnCJC!
□ 1) 8 см
Q 3 ) 12 см
□ 2) 6 см
□ 4) 4 см
А4. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отмече
ны соответственно точки Р, М, Е н А'так, что АР = ВМ —
= СЕ = DK= 3 см, ZAPK = 60°. Чему равен периметр че
тырехугольника РМЕЮ.
□ 1) 20 см
□ 3) 24 см
□ 2) 36 см
□ 4) 12 см
В1. В ромбе ABCD высота АК, проведенная к стороне ВС,
пересекает диагональ BD в точке Е, ZADE —40°. Найдите
величину угла ЕАС.
В2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка М так, что тре
угольник AMD равносторонний. Найдите величину угла/1Л/Д.
С1. Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN
перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пе
ресекающая стороны KL и MN в точках А и В соответ
ственно. Известно, что АВ = ВМ = 6 см. Найдите большую
сторону прямоугольника.
12
Тест 4. Прямоугольник. Ромб. Квадрат
Вариант 2
А1. Диагонали ромба составляют с его стороной углы,
один из которых на 40° меньше другого. Чему равен мень
ший угол ромба?
□ 1)70°
П 3 )6 0 °
□ 2)50°
0 4 )8 0 °
А2. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются
в точке О. Отрезок ОА является высотой треугольника
MOP, ZAOP = 15°. Чему равен угол ОНК?
□ 1)105°
□ 3)135°
□ 2)150°
П 4 )7 5 °
АЗ. В ромбе ABCD угол А равен 30°. Из вершины В на сто
роны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ и ВК со
ответственно. ВМ= 5 см. Чему равен периметр ромба?
□ 1)40 см
П З ) 30 см
□ 2) 20 см
П 4) 50 см
А4. На сторонах АД ВС, CD и AD квадрата ABCD отмечены
соответственно точки Р, М, Ей А-так, что АР = ВМ = СЕ=
= DK = 4 см, ZBMP = 60°. Чему равен периметр четырех
угольника РМЕК1
□ 1)32 см
□ 3)24 см
□ 2) 16 см
П 4 ) 8 см
В1. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сто
рону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N,
ZAMC= 120°. Найдите величину угла АА Д
В2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка Е так, что тре
угольник ВЕС равносторонний. Найдите величину угла EAD.
С 1. Через середину диагонали АС прямоугольника ABCD
перпендикулярно этой диагонали проведена прямая,
пересекающая стороны ВС и AD в точках К и Е соответ
ственно. Известно, что КЕ = АЕ= 8 см. Найдите большую
сторону прямоугольника.
13
Тест 5. Обобщение темы
«Четырехугольники»
Вариант 1
А1. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
□ 1)360°
□ 2) 900°
□ 3) 540°
□ 4) 720°
А2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 100°.
Чему равны три оставшихся угла?
□ 1)80°, 80°, 100°
□ 2) 75°, 75°, 110°
□ 3) 70°, 70°, 120°
□ 4) 60°, 60°, 120°
АЗ. Смежные стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.
Чему равны его диагонали?
□ 1) >/28 СМ и л/28 см
П 2) 10 см и 10 см
□ 3) 7 см и 7 см
□ 4) 14 см и 14 см
А4. В ромбе ABCD / Л = 70°. Чему равен угол АВС!
□ 1) 20°
□ 2) 110°
□ 3) 55°
□ 4) 70°
А5. В параллелограмме разность смежных сторон равна
5 см, а его периметр равен 38 см. Чему равна меньшая
сторона параллелограмма?
[~~11) 7 см
П 2) 12 см
□ 3) 9 см
□ 4) 9,5 см
А6. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Чему
равен наибольший угол ромба?
□ 1) 60°
□ 2) 150°
14
□3)90°
□4)120°
А7. Ромб, не являющийся квадратом, имеет п осей сим
метрии. Чему равно значение л?
□ D1
□ 2)2
3)3
4)4
В1. Найдите наименьший угол параллелограмма, если
одна из его диагоналей является высотой и равна одной
из его сторон.
□
□
В2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна
боковой стороне АВ, ZADB = ZBDC = 30°. Найдите дли
ну AD, если периметр трапеции 60 см.
ВЗ. В ромбе ABCD биссектриса утла ОСА перпендикуляр
на стороне АО. Найдите больший угол ромба.
С1. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ром
ба ABCD, образует со стороной АВ угол 30°, AM = 4 см.
Найдите длину диагонали ромба ВО, если точка М лежит
на стороне AD.
С2. В параллелограмме ABCD АО = 6 см. Биссектрисы
углов АВС и BCD пересекаются в точке Л/,. На прямых АВ
и CD взяты точки К и Ртак, что А—В—К, D—C—P. Биссек
трисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2. Найдите
длину МХМТ
15
Тест 5. Обобщение темы
«Четырехугольники»
Вариант 2
А1. Чему равна сумма углов выпуклого семиугольника?
□ 1)900°
□ 2) 1260°
□ 3) 1080°
□ 4) 1620°
А2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 110°.
Чему равны три оставшихся угла?
□ 1) 75°, 75°, 100°
□ 2) 70°, 70°, 110°
□ 3) 70°, 70°, 120°
□ 4) 60°, 60°, 110°
АЗ. Одна из сторон прямоугольника равна 12 см, а его
диагональ — 15 см. Чему равна другая сторона прямо
угольника?
□ 1) 12 см
□ 2) 13,5 см
□ 3) 7 см
□ 4) 9 см
А4. В ромбе ABCD Z.B = 50°. Чему равен угол ВАШ
□ 1) 130°
□ 2) 100°
□ 3) 50°
□ 4) 80°
А5. В параллелограмме отношение смежных сторон рав
но 2, а его периметр равен 24 см. Чему равна большая сто
рона параллелограмма?
□ 1) 6 см
П 2) 8 см
□ 3) 12 см
□ 4) 4 см
А6. Диагонали ромба равны. Чему равен наименьший угол
ромба?
□ 1) 30°
□ 2) 60°
16
□ 3) 120°
□ 4) 90°
А7. Прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет п
осей симметрии. Чему равно значение я?
□ D1
□ 2)2
□ 3)3
□ 4)4
В1. Найдите больший угол параллелограмма, если одна
из его диагоналей является высотой и равна половине не
перпендикулярной к ней стороны параллелограмма.
В2. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна
боковой стороне CD и является биссектрисой угла А.
Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см,
ZD = 60°.
ВЗ. Высота ромба делит его сторону пополам. Найдите
меньший угол ромба.
С1. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба
ABCD, образует со стороной АВ угол 30°, длина диагона
ли АС равна 6 см. Найдите длину AM, если точка М лежит
на продолжении стороны AD,
С2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС
и BCD пересекаются в точке Л/,. На прямых АВ и CD взяты
точки К к Р так, что А—В—К, D—C—P. Биссектрисы углов
КВС и ВСР пересекаются в точке Mv М ХМ2 = 8 см. Най
дите длину AD.
17
Тест 6. Четырехугольники
(теоретический)
А1. Сумма углов выпуклого я-угольника равна:
□ 1) 180° ( п - 2)
□ 2) 360°
□ 3) 180° я
□ 4) 360° я
А2. Четырехугольник является параллелограммом, если
у него:
П 1) две стороны равны, а две другие параллельны
□ 2) диагонали пересекаются и точкой пересечения де
лятся пополам
П 3) две пары равных сторон
П 4) все стороны параллельны
АЗ. Трапеция называется равнобедренной, если у нее:
П 1) две стороны равны
П 2) два угла равны
Г~13) основания параллельны и равны
П 4) боковые стороны равны
А4. Прямоугольником называется:
П 1) параллелограмм, у которого все стороны равны
П 2) параллелограмм, у которого все углы прямые
I 13) четырехугольник, у которого диагонали равны
Q 4 ) четырехугольник, у которого противолежащие сто
роны равны
А5. Четырехугольник является ромбом, если у него:
П 1) диагонали перпендикулярны
□ 2) диагонали равны
П 3) диагонали перпендикулярны и точкой пересечения
делятся пополам
I 14) диагонали точкой пересечения делятся пополам
А6. Квадратом является:
□ 1) параллелограмм, у которого все углы прямые
П 2) ромб, у которого все углы прямые
П 3) параллелограмм, у которого диагонали равны
П 4) прямоугольник, у которого диагонали равны
18
А7. Всякий прямоугольник является:
□ 1) квадратом
Г~12) ромбом
П 3) трапецией
□ 4) параллелограммом
А8. Выберите верное утверждение:
0 1) если в четырехугольнике диагонали равны и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырехуголь
ник —прямоугольник
Г~12) если в четырехугольнике две стороны параллельны
и равны, то этот четырехугольник —ромб
□ 3) если в четырехугольнике две стороны равны, а два угла
прямые, то этот четырехугольник —прямоугольник
1 14) если в четырехугольнике диагонали равны, а один
из углов прямой, то этот четырехугольник —квадрат
А9. Внешний угол правильного «-угольника равен:
□ 1) 180° / «
□ 2) 180° (я —2) / «
□ 3) 360° (л —2) / я
□ 4) 360°/ л
А10. Многоугольник называется выпуклым, если:
О 1) все его стороны являются выпуклыми
□ 2) его нельзя разрезать на два других многоугольника
П 3) он лежит по одну сторону от каждой прямой, прохо
дящей через две его соседние вершины
| 14) все его углы являются выпуклыми
19
Тест 7. Площадь многоугольника.
Площадь прямоугольника
Вариант 1
А1. Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его
сторон на 1 см больше другой. Чему равна площадь пря
моугольника?
Ц 1)20 см2
П 3) 16 см2
2) 72 см2
I 14) 25 см2
А2. Площадь квадрата равна 36 см2. Чему равен его пе
риметр?
□ 1)12см
□ 3)24 см
□ 2) 18см
П 4 )3 6 с м
АЗ. В прямоугольнике ABCD сторона А В равна 12 см. Рас
стояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны
равно 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.
□ 1) 48 см2
П 3) 24 см2
Q 2) 192 см2
П 4) 96 см2
А4. Периметр прямоугольника равен 40 см, а одна из его
сторон равна 4 см. Прямоугольник имеет такую же пло
щадь, что и квадрат. Чему равен периметр квадрата?
□ 1)16см
□ 3)64 см
П 2) 40 см
П 4) 32 см
В1. Найдите сумму площадей квадратов, построенных
на сторонах прямоугольника со сторонами 5 см и 7 см.
В2. Через вершину/! прямоугольника ABCD проведена
прямая, пересекающая продолжение стороны ВС в точ
ке Е так, что ВС = СЕ. Периметр прямоугольника равен
46 см, а сторона ВС на 5 см больше АВ. Найдите площадь
треугольника АВЕ.
С1. Высота BD треугольника АВС равна 8 см и делит сто
рону АС на отрезки, равные 5 см и 6 см. Найдите площадь
треугольника.
20
Тест 7. Площадь многоугольника.
Площадь прямоугольника
Вариант 2
А1. Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его
сторон в два раза меньше другой. Чему равна площадь
прямоугольника?
□ О 18 см2
0 3 ) 36 см2
□ 2) 32 см2
0 4 ) 9 см2
А2. Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его пло
щадь?
□ 1) 12 см2
□ 3)81 см2
□ 2) 36 см2
0 4) 24 см2
АЗ. В прямоугольнике ABCD сторона ВС равна 18 см. Рас
стояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны
равно 7 см. Найдите площадь треугольника BCD.
□ 1) 126 см2
0 3 ) 63 см2
□ 2) 252 см2
0 4) 64 см2
А4. Периметр квадрата равен 24 см. Прямоугольник имеет
такую же площадь, что и квадрат, а одна из его сторон
равна 9 см. Чему равен периметр прямоугольника?
0 1 ) 32 см
0 3 ) 24 см
0 2) 26 см
0 4) 28 см
В1. Найдите сумму площадей квадратов, построенных
на сторонах прямоугольника со сторонами 4 см и 9 см.
В2. Через вершину В прямоугольника ABCD проведена
прямая, пересекающая продолжение стороны AD в точ
ке К так, что AD — DK. Периметр прямоугольника равен
42 см, а сторона ВС на 3 см больше АВ. Найдите площадь
треугольника АВК.
С1. Высота BD треугольника АВС делит сторону А С на от
резки, равные 7 см и 4 см. Площадь треугольника равна
55 см2. Найдите длину BD.
21
Тест 8. Площадь параллелограмма,
ромба и треугольника
Вариант 1
А1. Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол
между этими сторонами равен 150°. Чему равна площадь
этого параллелограмма?
□ 1)60 см2
□ 3 )1 5 с м 2
□ 2) 30 см2
□ 4) 120 см2
А2. Чему равна площадь ромба, диагонали которого рав
ны 8 см и 6 см?
□ 1) 12 см2
□ 3)96 см2
□ 2) 48 см2
□ 4) 24 см2
АЗ. Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол
между ними 30°. Чему равна площадь треугольника?
□ О 27 см2
Д 3 ) 5 4 см2
□ 2) 108 см2
□ 4) 36 см2
А4. Стороны параллелограмма 10 см и 12 см, меньшая
высота 5 см. Найдите ббльшую высоту параллелограмма.
□ 1)5-J: см
□ 3)6 см
6
□ 2) 4 j см
П4)4см
6
В1. В треугольнике АВС АА = 45°, ВС = 10 см, а высо
та BD делит сторону АС на отрезки AD — 6 см, DC = 8 см.
Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную
к стороне ВС.
В2. В треугольнике АВС АА = 75°, АВ = 30°, АВ = 10 см.
Найдите площадь треугольника.
С1. Высоты, проведенные из вершины тупого угла парал
лелограмма, составляют угол, равный 45°. Одна из высот
делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 3 см
и 7 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь
параллелограмма.
22
Тест 8. Площадь параллелограмма,
ромба и треугольника
Вариант 2
А1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол
между этими сторонами равен 30°. Чему равна площадь
этого параллелограмма?
□ 1) 192 см2
I 13) 24 см2
Г~12) 96 см2
□ 4) 48 см2
А2. Чему равна площадь ромба, диагонали которого рав
ны 10 см и 12 см?
□ 1) 60 см2
□ 2) 120 см2
□ 3) 30 см2
Г~14) 240 см2
АЗ. Найдите площадь треугольника, две стороны которого
равны 6 см и 8 см, а угол между ними 30°.
□ 1)48 см2
□ 3) 96 см2
□ 2) 12 см2
□ 4) 24 см2
А4. Высоты параллелограмма 6 см и 8 см, ббльшая сто
рона 12 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
□ 1) 10 см
Q 3 ) 16 см
□ 2) 9 см
Д4)4см
В1. В треугольнике ЛВС Z.C = 45°, АВ = 10 см, а высо
та AD делит сторону СВ на отрезки CD = 8 см, DB = 6 см.
Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную
к стороне АВ.
В2. В треугольнике ABC ZA = Z B = 75°. Найдите дли
ну ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.
С1. Высоты, проведенные из вершины тупого угла парал
лелограмма, составляют угол, равный 45°. Одна из высот
делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 5 см
и 8 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь
параллелограмма.
23
Т е с т 9. Площ адь трапеции
Вариант 1
А1. Основания трапеции равны 5 см и 9 см, ее высота —
6 см. Чему равна площадь трапеции?
□ О 54 см2
□ 3)42 см2
0 2 ) 21 см2
О 4) 84 см2
А2. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см
и 10 см, а угол при основании равен 45°. Чему равна пло
щадь трапеции?
О 1) 16 см2
О 3)8 см2
Q 2) 32 см2
О 4) 24 см2
АЗ. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см
и 9 см, а меньшая боковая сторона —4 см. Чему равна
площадь трапеции?
О 1)36 см2
О 3) 14 см2
О 2) 56 см2
О 4) 28 см2
А4. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны
и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции?
□ 1) 108 см2
О 3) 54 см2
О 2) 216 см2
СИ 4) 162 см2
В1. В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание на два
отрезка, больший из которых равен 26 см. Найдите пло
щадь трапеции, если ее высота равна 10 см.
В2. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно пер
пендикулярны, высота трапеции равна 18 см. Найдите
площадь трапеции.
С1. Основания и высота трапеции относятся как 5 : 6 : 4 .
Найдите меньшее основание трапеции, если площадь тра
пеции равна 88 см2.
С2. В трапеции ABCD ВС и AD —основания, ВС : AD =
= 3:4. Площадь трапеции равна 70 см2. Найдите площадь
треугольника АВС.
24
Тест 9. Площадь трапеции
Вариант 2
А1. Основания трапеции равны 4 см и 8 см, ее высота —
9 см. Чему равна площадь трапеции?
□ 1)54см2
Щ З) 108 см2
I 12) 27 см2
0 4) 72 см2
А2. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см
и 16 см, а угол при основании равен 45°. Чему равна пло
щадь трапеции?
□ 1) 24 см2
I 13> 72 см2
□ 2) 96 см2
П 4) 48 см2
АЗ. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см
и 10 см, а меньшая боковая сторона —5 см. Чему равна
площадь трапеции?
О 1) 80 см2
□ 3) 20 см2
П 2) 40 см2
□ 4) 30 см2
А4. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны
и равны 14 см и 16 см. Чему равна площадь трапеции?
□ 1)168 см2
П 3) 56 см2
□ 2) 224 см2
□ 4) 112 см2
В1. В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание на два
отрезка, больший из которых равен 18 см. Найдите пло
щадь трапеции, если ее высота равна 12 см.
В2. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно пер
пендикулярны, высота трапеции равна 14 см. Найдите
площадь трапеции.
С1. Высота трапеции равна меньшему основанию и едва
раза меньше большего основания. Найдите высоту трапе
ции, если ее площадь равна 54 см2.
С2. В трапеции ABCD ВС и AD —основания, В С : AD =
—4 :5 . Площадь треугольника ACD равна 35 см2. Найдите
площадь трапеции.
25
Тест 10. Теорема Пифагора
Вариант 1
А1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см
и 8 см. Чему равна его гипотенуза?
□ 1) 9 см
I 13) 11 см
□ 2) 10см
П 4 )1 2 с м
А2. В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся
как 12 : 5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна мень
шая сторона прямоугольника?
□ 1)24 см
|~13) 16 см
О 2) 20 см
□ 4) 10 см
АЗ. Один из внешних углов прямоугольного треугольни
ка равен 135°, а его гипотенуза - 4л/2 см. Чему равны ка
теты данного треугольника?
□ 1)4 см и 4 см
I 13> 3 см и 3 см
□ 2) 2 см и 2 см
□ 4) 4л/2 см и 4л/2 см
А4. Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна
сторона ромба?
□ 1)21 см
□ 3) 15 см
П 2) 30 см
□ 4) 20 см
В1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна
25 см, а большее основание —24 см. Найдите площадь
трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см.
В2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см
и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь
трапеции.
С 1. В параллелограмме ABCD BD= 2л[41 см, АС =26 см,
AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей парал
лелограмма О проведена прямая, перпендикулярная сто
роне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разде
лила сторону AD.
26
Тест 10. Теорема Пифагора
Вариант 2
А1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см
и 5 см. Чему равна его гипотенуза?
□ О 14 см
□ 3) 13 см
I 14) 12 см
□ 2) 11 см
А2. В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся
как 3 :4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая
сторона прямоугольника?
Q 1) 16 см
П 2) 12 см
□ 3) 14 см
Q 4 ) 15 см
АЗ. Один из внешних углов прямоугольного треугольни
ка равен 135°, а его гипотенуза — 5л/2 см. Чему равны ка
теты данного треугольника?
Q 1)4 см и 4 см
I 13) 3 см и 3 см
□ 2) 5 см и 5 см
I 14) 5л/2 СМи 5ч/2 см
А4. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна
сторона ромба?
□ 1) 10 см
□ 3) 15 см
□ 2) 20 см
I 14) 14 см
В1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна
17 см, а большее основание — 15 см. Найдите площадь
трапеции, если ее меньшее основание равно 9 см.
В2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см
и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь
трапеции.
С1. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются.
Расстояние между их центрами О, и 0 2 равно 14 см. Об
щая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок 0 ,0 2
в точке К. Найдите ОхК и К 02 (О, —центр окружности
радиуса 13 см).
27
Тест 11. Обобщение темы «Площадь»
Вариант 1
А1. Сторона ромба равна 5 см, а одна из его диагоналей —
6 см. Чему равна площадь ромба?
О 1) 30 см2
[~| 2) 24 см2
Q 3) 15 см2
Q 4 ) 12 см2
А2. Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает
сторону ВС в точке Е так, что BE = 4,5 см, СЕ - 5,5 см.
Чему равна площадь прямоугольника?
□ 1) 55 см2
Q 2 ) 100 см2
□ 3) 110 см2
□ 4) 45 см2
АЗ. Чему равна площадь ромба со стороной 8 см и углом,
равным 60°?
□ 1) 32 см2
П 2) 32>/3 см2
Q 3) 32 см2
□ 4) 16л/3 см2
А4. Чему равна площадь прямоугольного треугольника
с гипотенузой 26 см, один из катетов которого равен 24 см?
Q 1) 120 см2
□ 2) 60 см2
П 3) 312 см2
□ 4) 240 см2
А5. Одна из сторон треугольника равна 16 см, а высота,
проведенная к ней, —9 см. Чему равна высота, проведен
ная к стороне треугольника, равной 24 см?
□ 1) 5 см
П 2) 12 см
Q 3) 13 см
[~~14) 6 см
А6. Площадь квадрата равна 48 см2. Чему равен периметр
данного квадрата?
П 1) 12л/з см
28
□ 2) 8\/з см
□ 3) 16л/3см
□ 4) 144 см
А7. Площадь ромба равна 36 см2, а одна из его диагоналей
в два раза меньше другой. Чему равна сторона ромба?
□ О Зсм
Г~| 2) 3\/5см
□ 3) 3\/3 см
□ 4) 3\/2 см
В1. В трапеции ABCD ZA = 60°, ZD = 45°, основание ВС
равно 3 см, BF и СЕ —высоты трапеции, ED = 4 см. Най
дите площадь трапеции.
В2. В треугольнике АВС биссектриса AD равна 7 см,
АВ = 6 см, АС = 8 см. Найдите SABD: SACD.
ВЗ. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 8 см
и 12 см, диагональ АС равна 40 см и пересекает диаго
наль BD в точке О. Найдите разность Л О и СО.
С1. В параллелограмме A BCD диагональ BD перпенди
кулярна стороне АВ, один из углов параллелограмма ра
вен 120°, AD = 12 см, О —точка пересечения диагоналей.
Найдите диагонали параллелограмма и площадь треуголь
ника CDO.
С2. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание
равно меньшей боковой стороне. Диагональ, проведенная
из вершины тупого угла, перпендикулярна большей бо
ковой стороне, равной 8л/2 см. Найдите периметр и пло
щадь трапеции.
29
Тест 11. Обобщение темы «Площадь»
Вариант 2
А1. Чему равна площадь квадрата со стороной 5л/2 см?
□ 1) 50 см2
□ 2) 25 см2
□ 3) 75 см2
П 4 ) 100 см2
А2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD пересекает
сторону AD в точке К так, что АК = 6,5 см, KD = 3,5 см.
Чему равна площадь прямоугольника?
□ 1) 35 см2
□ 2) 100 см2
П 3) 65 см2
□ 4) 32,5 см2
АЗ. Чему равна площадь ромба со стороной 10 см и углом,
равным 60°?
□ 1) 50 см2
□ 2) 50ч/3см2
Г~| 3) 100 см2
□ 4) 25л/3 см2
А4. Чему равна площадь равнобедренной трапеции с ос
нованиями 10 см и 16 см и боковой стороной 5 см?
□ 1) 104 см2
Г~] 2) 52 см2
□ 3) 42 см2
□ 4) 65 см2
А5. Одна из сторон параллелограмма равна 14 см, а высо
та, проведенная к ней, - 12 см. Чему равна высота, про
веденная к смежной стороне, равной 21 см?
П 1) 8 см
□ 2) 12 см
П 3) 10 см
□ 4) 19 см
А6. Периметр квадрата равен 20л/2 см. Чему равна пло
щадь данного квадрата?
□ 1) 200 см2
□ 2) 25 см2
30
□ 3) 100 см2
П 4) 50 см2
А7. Площадь прямоугольника равна 24 см2, а его стороны
относятся как 2:3. Чему равна диагональ прямоугольника?
□ 1) л/ГЗ см
□ 2) зТГз см
Щ З ) 2л/Гз СМ
□ 4) 13 см
В1. В трапеции ABCD АА = 60°, AD = 45°, основание ВС
равно 5 см, BF yl СЕ —высоты трапеции, ED = 4 см. Най
дите площадь трапеции.
В2. В треугольнике АВС биссектриса АН равна 8 см,
АВ = 6 см, АС = 9 см. Найдите SABH: SACH.
ВЗ. В параллелограмме MNKPдиагональ МК равна 20 см.
Точки В и С —середины сторон Л Т и /^соответственно.
Отрезок ЯС пересекает диагональ МК в точке Е. Найдите
разность ME и ЕК.
С1. В треугольнике ЛЯС через точку пересечения медиан
проведена прямая, параллельная стороне АС и пересе
кающая стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно.
Найдите АС, если КЕ — 12 см. Найдите площадь треуголь
ника ВКЕ, если площадь треугольника АВС = 12 см2.
С2. В равнобедренной трапеции MNKP диагональ МК
является биссектрисой угла при нижнем основании МР.
Меньшее основание NK равно 8 см. Найдите площадь
трапеции, если один из углов в два раза меньше другого.
В каком отношении высота КЕ делит основание МР1
31
Тест 12. Площадь (теоретический)
А1. Выберите верное утверждение:
□ 1) если два многоугольника имеют равные площади,
то они равны
П 2) если многоугольник составлен из нескольких мно
гоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников
П 3) квадратный сантиметр - это фигура, стороны кото
рой равны 1 см
□ 4) площадь квадрата равна произведению его сторон
А2. Высотой трапеции называется:
П 1) перпендикуляр, проведенный к ее основанию
□ 2) отрезок, пересекающий основание трапеции под
прямым углом
П 3) перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции
П 4) перпендикуляр, проведенный из любой точки одного
из оснований к прямой, содержащей другое осно
вание.
АЗ. Если высоты двух треугольников равны, то:
Q 1) их площади относятся как основания
Г~12) их площади равны
Г~| 3) эти треугольники равны
□ 4) основания, к которым они проведены, равны
А4. Площадь параллелограмма равна:
Q 1) произведению стороны параллелограмма на высоту
□ 2) произведению его основания на высоту, проведен
ную к данному основанию
П 3) половине произведения его основания на высоту,
проведенную к данному основанию
Q 4) произведению смежных сторон параллелограмма
А5. Площадь прямоугольного треугольника равна:
□ 1) произведению его катетов
□ 2) произведению его гипотенузы на один из его катетов
□ 3) половине произведения его катетов
П 4) произведению стороны на высоту
32
А6. Площадь трапеции равна:
П 1) произведению полусуммы оснований на половину
высоты
П 2) произведению суммы оснований на высоту
□ 3) произведению суммы оснований на половину вы
соты
0 4) произведению оснований и высоты
А7. Теорема Пифагора гласит:
Ц 1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
сумме катетов
□ 2) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов
| 13) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме катетов
1 14) если квадрат одной стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон, то треугольник
прямоугольный
А8. Если в треугольнике ЛВС АС2 = АВ2 + ВС2, то:
□ 1) угол В прямой
□ 2) угол С прямой
П 3) угол А прямой
I 14) угол С или угол А прямой
А9. Египетским называется треугольник, длины сторон
которого:
I 11) удовлетворяют теореме Пифагора
| 12) удовлетворяют теореме, обратной теореме Пифагора
□ 3) равны 3,4 и 5
П 4) равны целым числам
А10. Как записывается формула Герона для вычисления
площади треугольника АВС со сторонами а , Ь и с ?
□ *) SABc = 'h>(P-a){ P -b) ( P - c)’ ГДер = (а + Ь + с)
□2> = p ( p - a ) ( p ~ b ) ( p - c ),гдер =(а + Ь +с)
□3) = 4^Р~а) { р - Ь) ( р - с ) , где р =(а +b +с) / 2
□4)SABC= ^ P ( P - a^ P ~ b^ P - c'>' гдер = (а + b + с) / 2
sabc
sabc
33
Тест 13. Определение подобных
треугольников
Вариант 1
А 1. Треугольники KPF и ЕМ Т подобн ы , причем
К Р : ME = PF : МТ = K F : ЕТ, ZF = 30°, Z E = 49°. Чему
равен угол Ml
□ 1)49°
□ 3)101°
□ 2)30°
П 4 )7 9 °
А2. Две сходственные стороны подобных треугольников
равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника 8 см2.
Чему равна площадь второго треугольника?
□ 1) 20 см2
□ 3) 40 см2
□ 2) 3,2 см2
П 4) 50 см2
АЗ. Периметры подобных треугольников относятся как
2 : 3 , сумма их площадей равна 260 см2. Чему равна пло
щадь меньшего треугольника?
□ 1)80 см2
П З ) 104 см2
□ 2) 180см2
Q 4 ) 156см2
А4. Биссектриса BD делит сторону АС треугольника АВС
на отрезки AD и CD, равные соответственно 7 см и 10,5 см,
АВ = 9 см. Чему равен периметр треугольника АВС1
□ 1)35 см
□ 3) 39 см
□ 2) 40 см
□ 4 ) 3 2 ,5 см
В 1. Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны
равны 24 см и 32 см. Найдите отрезки, на которые биссек
триса треугольника делит его третью сторону.
В2. Диагональ АС делит трапецию A BCD на два подобных
треугольника АВС и DCA. Основания трапеции ВС= 8 см,
AD = 18 см. Найдите длину диагонали А С.
С1. В равнобедренном треугольнике точка Е —середина
основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении
2: 5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором
прямая BE делит отрезок АК.
34
Тест 13. Определение подобных
треугольников
Вариант 2
А 1. Т реугольники АВС и МКЕ подобны , причем
АВ : КМ = ВС : ЕК = АС : ЕМ, ZA = 40°, Z E = 56°. Чему
равен угол В?
□ 1)84°
□ 3) 96°
□ 2)40°
□ 4) 56°
А2. Площади двух подобных треугольников равны 16 см2
и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см.
Чему равна сходственная ей сторона другого треугольника?
□ 1)2,5 см
□ 3)3,125 см
□ 2) 1,6 см
□ 4) 1,28 см
АЗ. Площади двух подобных треугольников равны 50 дм2
и 32 дм2, сумма их периметров равна 117 дм. Чему равен
периметр большего треугольника?
□ 1) 52 см
□ 3) 46 см
□ 2) 71 см
□ 4) 65 см
А4. Биссектриса BD делит сторону А С треугольника АВС
на отрезки AD и CD, равные соответственно 6 см и 9 см,
АВ = 8 см. Чему равен периметр треугольника АВС!
□ 1) 35 см
□ 3)33 см
□ 2) 34 см
□ 4) 36 см
В1. Периметр треугольника равен 40 см, две его стороны
равны 15 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые биссек
триса треугольника делит его третью сторону.
В2. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных
треугольника А ВС и DCА. Основания трапеции ВС = 5 см,
AD - 20 см. Найдите длину диагонали АС.
С1. В равнобедренном треугольнике точка Е —середина
основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении
3:7, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором
прямая Доделит отрезок АА".
35
Тест 14. Признаки подобия
треугольников
Вариант 1
РЛ.АВн CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см,
СО = 30 см, DO = 10 см. ZDOB = 52°, ZDBO = 61°. Чему
равен угол А СО?
□ 1)6Г
□ 3)67°
□ 4) 57°
□ 2) 52°
А2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника
АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соот
ветственно, BE = 8 см, /45=12 см, ВК = 6 см, ВС = 9 см,
ЕК= 10 см. Чему равна сторона АС?
□ 1) 13 см
П 2) 15 см
□ 3) 14 см
□ 4) 16 см
АЗ. В прямоугольном треугольнике ABC ZA = 40°,
ZB = 90°, а в треугольнике MNK углы М, N, К относятся
как 5 : 9 : 4 , АВ = 3 см, KN= 9 см. Чему равно отношение
BC k NM?
□ 1)1:3
03)1:2
□ 2)3:1
04)2:1
А4. Прямая, параллельная стороне АС треугольника
АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и Н соот
ветственно, МВ = 2 см, AM — 14 см, МН = 4 см. Чему равна
длина стороны АС?
□ 1) 30 см
□ 3) 28 см
□ 2) 4 см
□ 4) 32 см
В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС
пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС
и AOD относятся как 2: 3, А С - 20. Найдите длины отрез
ков ДО и ОС.
С1. Диагональ АС трапеции ABCD (АВ || CD) делит ее
на два подобных треугольника. Найдите площадь трапе
ции ABCD, если АВ= 25 см, ВС= 20 см, АС = 15 см.
36
Тест 14.Признаки подобия
треугольников
Вариант 2
А1. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции
ABCD пересекаются в точке О, AD = 5 см, ВС = 2 см,
АО = 25 см. Чему равен отрезок ВО?
□ 1)15 см
□ 3 ) 2 0 см
□ 2) 5 см
Q 4 ) 10 см
А2. Прямая, параллельная стороне MN треугольника
М/VA', пересекает стороны КМ и KN в точках Е и F соот
ветственно, КЕ= 6 см, КМ = 10 см, KF= 9 см, KN= 15 см,
MN= 20 см. Чему равна сторона EF?
I 11) 14 см
□ 2) 16 см
□ 3) 12 см
□ 4) 15 см
АЗ. В прямоугольном треугольнике ABC ZA = 40°,
ZB —90°, а в треугольнике MNK углы М, N, К относятся
как 5 : 9 : 4 , ВС = 10 см, NM = 15 см. Чему равно отноше
ние АС к КМ?
□ 1) 3 :2
□ 3)2:5
□ 2)2:3
□ 4)3:5
А4. В треугольнике АВС сторона ВС = 30 см. На сто
роне АВ отложен отрезок AD = 6 см, а на стороне АС —
отрезок АЕ = 8 см. Чему равна длина отрезка DE, если
BD = 9 см, СЕ = 12 см?
□ 1) 12 см
□ 3) 15 см
□ 4) 18 см
□ 2)20 см
В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС
пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС
и AOD относятся как 3 :5, BD —24. Найдите длины отрез
ков ВО и OD.
С1. Основания трапеции равны 9 см и 6 см, а высота равна
10 см. Найдите разность расстояний отточки пересечения
диагоналей трапеции до ее оснований.
37
Тест 15. Применение подобия
при решении задач
Вариант 1
А1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точ
ки К и Етак, что АК= КВ, ВЕ= СЕ, КЕ= 6 см. Чему равна
длина стороны АС?
□ 1) Зсм
Щ З) 12 см
□ 2) 6 см
□ 4) 9 см
А2. Точки К, Р н Е —середины сторон АВ, ВС и АС тре
угольника АВС. Периметр треугольника АВС равен 24 см.
Чему равен периметр треугольника КРЕ?
□ 1)12см
□ 3)24 см
Г~12) 48 см
□ 4) 6 см
АЗ. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямо
угольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, рав
ные 5 см и 15 см. Чему равен меньший катет треугольника?
□ 1)25 см
□ 3)12,5 см
П 2) 10 см
□ 4) 5л/з см
А4. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, CD —
высота треугольника, АС = 5 см, СВ = 10 см. Чему равно
отношение площадей треугольников ACD и CDB?
□ 1)1:4
□ 3) 4: 1
□ 2)1:2
□ 4) 2 : 1
В1. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два
отрезка так, что один из них на 4 см больше другого.
Найдите основания трапеции, если средняя линия рав
на 14 см.
В2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) прове
дена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше
длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треуголь
ника АВС.
С1. Найдите расстояния от точки пересечения медиан
до сторон в треугольнике со сторонами 15 см, 15 см и 24 см.
38
Тест 15. Применение подобия
при решении задач
Вариант 2
А1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точ
ки М и Р так, что AM = MB, BP = СР, АС = 14 см. Чему
равен отрезок МР!
□ 1) 21 см
□ 3) 14 см
□ 2) 28 см
□ 4) 7 см
А2, Точки М, К и F —середины сторон АВ, ВС и АС тре
угольника АВС. Периметр треугольника MKFравен 16 см.
Чему равен периметр треугольника АВС!
□ 1) 64 см
□ 3)24 см
□ 2) 32 см
Г~| 4) 8 см
АЗ. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины пря
мого угла С проведена высота СН. Чему равен отрезок ВН,
если А С = 6 см, АН = 4 см?
□ 1) I см
□ 3)3 см
□ 2) 18см
Q 4 ) 1 6 cm
А4. В прямоугольном треугольнике ABC Z.C = 90°, CD —
высота треугольника, АС = 4 см, СВ = 12 см. Чему равно
отношение площадей треугольников ACD и CDB7
□ 1)1:3
□ 3)3: 1
□ 2)1:9
□ 4) 9: 1
В1. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два
отрезка так, что один из них в 2 раза больше другого. Най
дите основания трапеции, если средняя линия равна 18 см.
В2. Высота, проведенная из вершины прямого угла пря
моугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу
на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Най
дите стороны треугольника.
С1. Расстояния от точки пересечения медиан равнобед
ренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см и 5 см.
Найдите стороны треугольника.
39
Тест 16. Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника
Вариант 1
А1. В треугольнике ABC Z C = 90°, ZA —41°, ВС = 5 см.
Найдите длину АС.
□ l)5 c o s 4 1 °
□ 3)5-tg41°
□ 2)5:tg41°
0 4 ) 5: sin41°
A2. sin a = — . Найдите tga.
АЗ. В треугольнике KCP(KC = CP) ZC = 68°, KC= 12 cm .
Найдите длину KP.
□ l) 12 • cos34°
□ 2) 6 -cos 34°
О 3) 24 • sin 34°
□ 4) 24: sin 34°
A4. Вычислите значение выражения sin260° —3tg45°.
□ 0 - 2 ,2 5
□ 3) —0,75
□ 2 )-1 ,2 5
П 4 ) - 1 ,5
B l. В треугольнике ABC ZC = 90°, CD — высота, ZA = a,
AB = k. Найдите длины АС, ВС, AD.
В2. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол
между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма.
С1. В прямоугольной трапеции меньшее основание рав
но 6, а меньшая боковая сторона — 2%/з . Найдите площадь
трапеции, если один из ее углов равен 120°.
С2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
ZA = 30°. Найдите высоту, опущенную к основанию, если
AD = 20 см (D € прямой АВ, CD -L АВ).
40
Тест 16. Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника
Вариант 2
А1. В треугольнике ABC ZC = 90°, ZB = 49°, ВС = 9 см.
Найдите длину АС.
□ l)9 :tg 4 9 °
□ 3) 9 : sin49°
□ 2) 9 • cos 49°
П 4 ) 9 • tg49°
А2. cos а = yy . Найдите tga.
□ D-
ПЗ) —
□ 2 )j
D 4 )|
8
15
АЗ. В треугольнике CDF (CD = DE) ZD = 78°, CE= 16 cm .
Найдите длину CD.
□ 1 )8 -sin39°
□ 2) 16 : sin 78°
□ 3)8- cos 51 °
□ 4) 8: sin 39°
A4. Вычислите значение выражения cos245° —4sin30°.
□ 1) —2
□ 3) —1,5
□ 2 )-3
□ 4) —2,5
B l. В треугольнике MNP ZP = 90°, PK —высота, Z N = p,
PN = b. Найдите длины MN, MP, KN.
B2. Стороны параллелограмма равны 6 см и 7 см, угол
между ними 60°. Найдите высоты параллелограмма.
С1. В равнобедренной трапеции меньшее основание рав
но 8, а высота — \/з . Найдите площадь трапеции, если
один из ее углов равен 150°.
С2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
угол при вершине равен 120°, CD —высота. Найдите дли
ну AD, если высота, проведенная к основанию, равна 10 см.
41
Тест 17. Обобщение темы
«Подобные треугольники»
Вариант 1
A l. ААВС ~ ААХВ ХСХ, АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС - 7 см,
А ХВХ= %см. Чему равна сторона ВХС{?
□ 1)3 см
□ 3)3,5 см
П 2) 12 см
□ 4) 14 см
АВ 3
А2. ААВС- ААХВХСХ, ----- = - , SABC = 90 см2. Чему равна
АхВх 5
площадь треугольника А ХВХС,?
□ 1)250 см2
□ 3)54 см2
□ 2) 150 см2
0 4 ) 3 2 ,4 см2
АЗ. В трапеции ABCD ВС и AD — основания, ВС = 3 см.
DO: ОВ = 4 : 3 , О —точка пересечения диагоналей. Чему
равна длина основания AD?
□ 1) ~ см
□ 3) 3 см
□ 2) у см
П4)4см
□ 1) cosa = — ; tg a = 1
□ 2) cosa =
□ 3) cosa =
tg a = %/3
tg a = 7 з
A5. Высота, проведенная к гипотенузе ЛС прямоугольного
треугольник АВС, делит ее на отрезки, равные 25 см и 9 см.
Чему равен больший катет треугольника АВС?
□ 1) 5л/34 см
□ 3) 3л/34 см
□ 2) 15 см
□ 4)30 см
42
А6. Отношение периметров подобных треугольников рав3
но Чему равно отношение их площадей?
□ o f
П З)|
□ 2 )|
П 4)|
А7. Если в треугольнике угол В прямой, ВС — 3 см,
А В = 4 см, /Л —а, то:
П 1) sina = 0,8; cosa = 0,6; tg a =0,75
[~~l 2) sina = 0,75; cosa = 0,8; tg a = 0,6
□ 3) sina = 0,6; cosa = 0,8; tg a = 0,75
□ 4) sina = 0,75; cosa = 0,6; tg a = 0,8
B l. Прямая пересекает стороны AB и ВС треугольни
ка АВС в точках М и К соответственно так, что МК | | АС,
В М : AM = 1 : 4 . Найдите периметр треугольника ВМК,
если периметр треугольника АВС равен 25 см.
В2. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке
О. Через точку О проведена прямая, параллельная сто
роне АС и пересекающая стороны А В и ВС в точках Е и F
соответственно. Найдите длину EF, если сторона АС рав
на 15 см.
ВЗ. В равнобедренном треугольнике АВС с основани
ем АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь
треугольника А ВС, если 0/4 = 13 см, ОВ— 10 см.
С1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диагонали
пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите
площадь треугольника ВОС, если площадь треугольни
ка AOD равна 45 см2.
С2. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пере
секаются в точке К, причем точка В —середина отрезка АК.
Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см.
43
Тест 17. Обобщение темы
«Подобные треугольники»
Вариант 2
A l. ААВС ~ ААХВ ХСХ, АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см,
АХВ Х= 15 см. Чему равна сторона Л,С,?
□ 1) 16 см
□ 3) 21 см
□ 2) 24 см
□ 4) 14 см
АВ 3
А2. ААВС ~ ААХВ ХСХ, —— = - , SABC —27 см2. Чему равна
А\В\ 5
площадь треугольника АХВ ХСХ?
□ 1)45 см2
□ 3)9,72 см2
□ 2) 16,2 см2
j )4) 75 см2
АЗ. Диагонали ромба равны 4 см и 4>/3 см. Чему равны его
углы?
□ 1) 30°, 150°, 30°, 150°
□ 2) 45°, 135°, 45°, 135°
□ 3)75°, 105°, 75°, 105°
□ 4) 60°, 120°, 60°, 120°
А4. Если cos а = ^ , то:
□ l)sin a = ^y-;tga = V2
□ 2) since =
2
tga = 7з
□ 3) since = 2 ^ ; tga = ^ 2
3
□ 4) since = —; tga = 1
A5. Высота, проведенная из вершины прямого угла пря
моугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки,
равные 25 см и 7 см. Чему равна эта высота?
□ 1)15 см
□ 3)16 см
□ 2) 5-Jl см
□ 4) 4\/2 см
А6. Отношение площадей подобных треугольников равно
16
Чему равно отношение их периметров?
9
□ i)f
Q3)i
□ 2 )^
16
Q 4)|
4
44
А7. Если в треугольнике угол С прямой, ВС = 5 см,
ЛС= 12 см, Z.A = а, то:
I—11ч •
5
12
5
□ 1) sin a = — ;c o s a = у ;tg a =
I□—| 2) sina
. 5=
12
12
— ; cosa = — ; tga = у
г - .,, .
12
5 t
12
M 3) sina = — ; cosa = — ; tga = —
LJ
13
13
5
12
12
12
П 4 ) sina = — ; cosa = — ; tga = —
LJ
13
13
5
B l. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О так, что
ZACO = ZBDO, АО : ОВ = 2: 3. Найдите периметр тре
угольника АСО, если периметр треугольника BOD равен
21 см.
В2. Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О.
Через точку О проведена прямая, параллельная сторо
не МК и пересекающая стороны MN и NK в точках А и В
соответственно. Найдите длину МК, если длина отрез
ка АВ равна 12 см.
ВЗ. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) ме
дианы пересекаются в точке О, ОВ = 10 см, ВС = 12 см.
Найдите гипотенузу треугольника.
С1. В трапеции ABCD (AD и ВС —основания) диагонали
пересекаются в точке О, SA0D = 32 см2, SBOC= 8 см2. Най
дите меньшее основание трапеции, если большее равно
10 см.
С2. В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пе
ресекаются в точке Е, причем К —середина отрезка ЕР.
Найдите разность оснований трапеции, если NK= 7 см.
45
Тест 18. Подобные треугольники
(теоретический)
А1. Отрезки АВ и СК пропорциональны отрезкам МР
и ЕО, если:
□ 1)АВ :М Р= С К: ЕО
С\2)АВ:СК=Е0:МР
□ 3) /15: ЕО = СК : МР
□ 4) АВ: МР = ЕО: СК
А2. Два треугольника называются подобными, если:
□ 1) углы и стороны одного треугольника пропорцио
нальны сходственным углам и сторонам другого
[~~| 2) стороны одного треугольника пропорциональны со
ответственным сторонам другого
□ 3) их углы равны
0 4) их углы соответственно равны и стороны одного тре
угольника пропорциональны сходственным сторо
нам другого
АЗ. Если два треугольника подобны, то:
Г~| 1) отношение их сходственных сторон равно квадрату
коэффициента подобия
□ 2) отношение их периметров равно квадрату коэффи
циента подобия
□ 3) отношение их площадей равно квадрату коэффици
ента подобия
Г~| 4) отношение их сходственных углов равно квадрату
коэффициента подобия
А4. Какой из признаков подобия треугольников соответ
ствует формулировке —если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого, то такие тре
угольники подобны:
П 1) третий признак подобия треугольников
1 12) первый признак подобия треугольников
□ 3) второй признак подобия треугольников
□ 4) ни один не соответствует
А5. Если треугольники АВС и МРК подобны, причем АВ :
МР= ВС : РК, Z B = ZP, то:
□ 1)АС :РК= ВС .МК
□ 3) АВ : МР = МК: АС
Q 2) АВ: PM = АС : МК
□ 4) ВС : РК = А С : РМ
46
А6. Средней линией треугольника называется:
| 11) прямая, проходящая через середины его сторон
П 2) отрезок, соединяющий точки, лежащие на его сторонах
□ 3) отрезок, соединяющий середины двух его сторон
□ 4) отрезок, равный половине его стороны
А7. Выберите верное утверждение:
[~~| 1) точка пересечения медиан делит каждую медиану
в отношении 2 : 1 , считая от вершины
□ 2) точка пересечения медиан делит каждую медиану
в отношении 1 : 2, считая от вершины
Г~13) медианы треугольника пересекаются в одной точке
и точкой пересечения делятся пополам
□ 4) точка пересечения медиан делит каждую медиану
в отношении 2 : 1
А8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла:
□ 1)есть среднее арифметическое между отрезками,
на которые делится гипотенуза этой высотой
□ 2) есть среднее геометрическое между катетом и от
резком гипотенузы, заключенным между катетом
и высотой
Q 3) есть среднее арифметическое между катетом и от
резком гипотенузы, заключенным между катетом
и высотой
□ 4) есть среднее пропорциональное между отрезками,
на которые делится гипотенуза этой высотой
А9. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С:
г-.,,.
. ВС
. АС t . АС
ш
АВ
АВ
ВС
г - ,., •
, ВС
. АС t . ВС
М 2) sin А = — ; cos А =
; tg А = ---l- J '
АВ
АВ
АС
г - ,,ч .
, АС
. ВС t . ВС
□ 3 ) Si M - — ; c o s ^ - — ; * A = —
Г~1 Л\
A l. АВ и ВС —отрезки касательных, проведенных из точ
ки В к окружности с центром О. ОА = 16 см, а радиусы,
проведенные к точкам касания, образуют угол, равный
120°. Чему равен отрезок ОВ?
□ 1) 8 см
□ 3) 32 см
□ 2) 16см
П 4) 24 см
А2. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса
4 см в точке А так, что ОВ = 4%/2 см. Чему равен отре
зок АВ?
□ 1)2\/2см
0 3 )4 л /2 с м
□ 2) 2 см
□ 4) 4 см
АЗ. АВ и ВС —отрезки касательных, проведенных из точ
ки В к окружности с центром О. ОВ = 10, АО = 5. Чему
равен угол АОС?
□ 1)120°
□ 3) 45°
□ 2)60°
□ 4) 90°
А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиу
са 6 см. Известно, что АВ = 16 см, АО = ОВ. Чему равна
длина АО?
□ 1)9 см
□ 3)8 см
□ 2) 6 см
Q 4 ) 10 см
В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются
окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно
так, что ВМ = 4 см, КС = 6 см, АР = 8 см. Найдите пери
метр треугольника АВС.
В2. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных
к окружности с центром О радиуса 10 см. Найдите пери
метр четырехугольника АВСО, если угол АОС равен 120°.
С1. Угол между диаметром АВ и хордой А С равен 30°. Через
точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ
в точке К. Найдите радиус окружности, если СК = 4 см.
48
Тест 19. Касательная к окружности
Вариант 2
А1. Отрезки касательных АВ и ВС, проведенных из точки
В к окружности с центром О, образуют угол, равный 60°,
ОБ = 28 см. Чему равен отрезок АО?
□ 1)28 см
П 3) 56 см
□ 2) 42 см
□ 4) 14 см
А2. Прямая АВ касается окружности с центром О ра
диуса 2 см в точке А так, что ОА = АВ. Чему равен отре
зок ОВ?
□ 1) 2-Л см
П З ) З Л см
□ 2) 2 см
□ 4) 4 см
АЗ. АВ и ВС —отрезки касательных, проведенных из точ
ки В к окружности с центром О. АВ — 6, ВО — 12. Чему
равен угол АВС?
□ 1)30°
0 3 )6 0 °
□ 2)120°
Ц 4 )9 0 °
А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса
5 см. Известно, что АО = ОВ = 13 см. Чему равна дли
на АВ?
□ 1) 24 см
О 3) 26 см
□ 2) 12см
□ 4 )1 0 с м
В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются
окружности с центром О в точках М ,К и Р соответственно
так, что ВМ = 5 см, PC = 1 см, а периметр треугольника
АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС.
В2. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных
к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите пери
метр четырехугольника АВСО, если угол АВС равен 60°.
С 1. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через
точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ
в точке Е. Найдите СЕ, если радиус окружности равен 6 см.
49
Тест 20. Центральные и вписанные углы
Вариант 1
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности,
АЛ —70°, АС = 30°. Чему равна градусная мера наимень
шей из дуг А С?
□ 1)60°
□ 3)100°
□ 2)140°
□ 4 )1 6 0 *
А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точ
ке О. kjAB: kjA C = 2:3 , *оАВ< 180°,и/1С< 180°, АВАС=55°.
Чему равен угол АОС1
□ 1)75°
□ 3)110°
□ 2)150°
□ 4 )1 0 0 *
АЗ. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. АЕ = 4 см,
BE = 9 см, СЕ = 12 см. Найдите длину DE.
□ 1)7 см
□ 3)3 см
□ 2) 6 см
□ 4) 27 см
А4. Через точку А проведены касательная АВ (В —точка
касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С
и АТтак, что/1С = 4см , А К = 16 см. Найдите длину А#.
□ 1)8 см
□ 3)24 см
□ 2) 16 см
Q 4 ) 10 см
В1. Точки А, В, С и АТлежат на окружности так, что А К —
диаметр, АСКВ = 25°, АСАК = 20°. Найдите величину
угла АКБ.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К. Найдите дли
ну CD, если АК = 4 см, ВК = 15 см, а длина СК на 7 см
меньше длины DK.
С1. Окружность касается сторон АВ, ВС, ЛС треугольника
АВС в точках М, N, К соответственно. Найдите градусную
меру дуги МК, если ААВС = 62°, ААСВ = 68°.
С2. Точка С делит хорду АВ на отрезки 12сми 16см. Най
дите диаметр окружности, если расстояние от точки С
до центра окружности равно 8 см.
50
Тест 20. Центральные и вписанные углы
Вариант 2
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности,
ZA = 50°, ZB = 45°. Чему равна градусная мера наимень
шей из дуг АВ?
□ 1)100°
□ 3) 90°
□ 2)170°
□ 4) 95°
А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром
в точке О. kjBC : kjAC = 3 : 4 , (jAB < 180°, иЛС < 180°,
ZBCA = 40°. Чему равен угол ВОС1
□ 1)160°
□ 3)120°
□ 2)60°
□ 4) 80°
АЗ. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К. АК = 6 см,
ВК = 8 см, СК = 4 см. Найдите длину DK.
□ 1)12см
□ 3 ) 5 ,3 см
□ 2) 3 см
□ 4) 6 см
А4. Через точку А проведены касательная АВ (В —точка
касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С
и Е так, что А—С—Е, АВ = 10 см, АЕ = 20 см. Найдите
длину А С.
□ О 10 см
□ 3)20 см
□ 2) 2 см
□ 4) 5 см
В1. Точки А, В, Си Е лежат на окружности так, что АЕ —
диаметр, ZBAC = 50°, ZBEA = 10°. Найдите величину
угла САЕ.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите дли
ну АВ, если СЕ = 8 см, DE = 9 см, а длина АЕ в два раза
больше длины BE.
C l. Окружность касается сторон MN, N K и МК треуголь
ника MNK в точках А, В, С соответственно. Найдите гра
дусную меру дуги АС, если ZMNK= 72°, ZNKM= 64°.
С2. Хорда АВ делится точкой С на отрезки 9 см и 12 см.
Найдите расстояние от центра окружности до точки С,
если диаметр окружности равен 24 см.
51
Тест 21. Четыре замечательные точки
окружности
Вариант 1
А1. В треугольнике АВС серединные перпендикуляры
к сторонам АВ и ВС пересекаются в точке О, ВО = 10 см,
ZACO = 30°. Найдите расстояние от точки О до сторо
ны АС.
□ 1)5 см
□ 3)20 см
□ 2) 10см
□ 4)15см
А2, В треугольнике АВС высоты АК и BE пересекаются
в точке О, ZCAB = 42°. Чему равен угол АВЕ?
□ 1)42°
[1|3)132°
□ 2)138°
□ 4) 48°
АЗ. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
высота ВК равна 3 см, а периметр треугольника АВК равен
10 см. Чему равен периметр треугольника АВС!
□ 1) 7 см
Q 3 ) 14 см
□ 2) 17 см
□ 4) 20 см
А4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, ме
дианы АЕ и СК пересекаются в точке М, ВМ = 6 см,
АС = 10 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
□ 1) 90 см2
□ 3)60 см2
I 12) 45 см2
□ 4) 120 см2
В1. В треугольнике АВС угол В прямой, АС = 10 см,
ВС = 8 см, К —середина стороны Л С. Из точки К опущен
перпендикуляр КЕ к стороне ВС. Найдите длину КЕ.
В2. Найдите углы треугольника, если его стороны из точ
ки пересечения серединных перпендикуляров видны под
углами 100°, 140°, 120°.
С1. В треугольнике АВС высоты ААХи СС, пересекаются
в точке Н. Найдите высоту, проведенную к стороне АС,
если HAt = 3 см, ВА{ = 4 см, АН= 4 см.
52
Тест 21. Четыре замечательные точки
окружности
Вариант 2
А1. В треугольнике АВС серединные перпендикуляры
к сторонам АВ и АС пересекаются в точке О, АО = 12 см,
ZBCO = 30°. Найдите расстояние от точки О до сторо
ны ВС.
О 1) 12 см
□ 3) 18 см
□ 2) 6 см
□ 4) 24 см
А2. В треугольнике АВС высоты АР и СК пересекаются
в точке О, ZCAB 56°. Чему равен угол АС1C!
□ 1)34°
□ 3)124°
□ 2)146°
□ 4) 56°
-
АЗ. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
высота BE равна 5 см, а периметр треугольника АВС равен
18 см. Чему равен периметр треугольника АВЕР.
□ 1)23 см
0 3 ) 11,5 см
□ 2) 13см
□ 4) 14 см
А4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ АС, медиа
ны ВК и СР пересекаются в точке М, AM = 4 см, ВС = 9 см.
Чему равна площадь треугольника АВС!
□ 1) 36 см2
□ 3) 54 см2
□ 2) 27 см2
□ 4) 72 см2
В1. В треугольнике АВС угол В прямой, АВ = 12 см,
ВС = 16 см, К середина стороны АС. Из точки К опу
щен перпендикуляр КЕ к стороне ВС. Найдите длину КЕ.
=
—
В2. Найдите углы треугольника, если его стороны из точ
ки пересечения серединных перпендикуляров видны под
углами 110°, 150°, 100°.
С1. В треугольнике АВС высоты ААХи СС, пересекаются
в точке Я. Найдите высоту, проведенную к стороне АС,
если НАХ= 6 см, ВАХ= 8 см, АН= 11 см.
53
Тест 22. Вписанные и описанные
окружности
Вариант 1
А1. Центр вписанной в треугольник окружности совпа
дает с точкой пересечения его:
П 1) медиан
I 12) биссектрис
□ 3) высот
П 4) серединных перпендикуляров
А2. Окружность называется описанной около много
угольника, если:
□ 1) все его стороны касаются окружности
I 12) все его стороны имеют общие точки с окружностью
□ 3) все его вершины лежат на окружности
П 4) все его стороны являются отрезками касательных
к данной окружности
АЗ. В равносторонний треугольник со стороной 8 см впи
сана окружность. Чему равен радиус окружности?
□ 1) 4>/3 см
□ 3) 8V3 см
□ 2) 8 см
4х/з
□ 4) — см
А4. Четырехугольник ABCD описан около окружности.
ВС = 6 см, AD = 9 см, АВ в два раза больше, чем CD. Най
дите длину АВ.
□ 1) 5 см
□ 2) 10 см
П 3) 12 см
□ 4) 18 см
В1. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см впи
сан в окружность радиуса 5 см. Найдите площадь этого
треугольника, если центр окружности находится внутри
треугольника.
С 1. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°)
АВ = 10 см, радиус вписанной в него окружности равен
2 см. Найдите площадь этого треугольника.
54
Тест 22. Вписанные и описанные
окружности
Вариант 2
А1. Центр описанной около треугольника окружности
совпадает с точкой пересечения его:
□ 1) медиан
□ 2) биссектрис
Ц 3) высот
□ 4) серединных перпендикуляров
А2. Окружность называется вписанной в многоугольник,
если:
I 11) все его стороны касаются окружности
П 2) все его вершины лежат на окружности
□ 3) все его стороны имеют общие точки с окружностью
П 4) все его стороны являются отрезками касательных
к данной окружности
АЗ. В равносторонний треугольник вписана окружность
радиуса 4 см. Чему равна сторона треугольника?
□ 1) 8уЗ см
□ 3)8 см
П 2)
см
Q 4) 4л/з см
А4. Четырехугольник ABCD описан около окружности.
АВ = 7 см, CD = 11 см, ВС в два раза меньше AD. Найдите
длину ВС.
1) 14 см
□ 2) 12 см
□ 3) 6 см
□ 4) 22 см
В1. Равнобедренный треугольник с высотой, проведен
ной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность
радиуса 10 см. Найдите площадь этого треугольника.
С1. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°)
АС + ВС = 17 см, радиус вписанной в него окружности
равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.
55
Тест 23. Обобщение темы
«Окружность»
Вариант 1
А1. Чему равен вписанный угол?
П 1) половине центрального угла, опирающегося на ту
же дугу
|~~12) центральному углу, опирающемуся на ту же дугу
□ 3) величине дуги, на которую он опирается
Г~| 4) удвоенной величине дуги, на которую он опирается
А2. Центром вписанной в треугольник окружности яв
ляется:
□ 1) точка пересечения высот треугольника
Г~| 2) точка пересечения биссектрис треугольника
□ 3) точка пересечения медиан треугольника
□ 4) точка пересечения серединных перпендикуляров
треугольника
АЗ. АВ и АС - отрезки касательных, проведенных к окруж
ности радиуса 9 см с центром О. Если АВ = 12 см, то чему
равна длина отрезка АСУ?
□ 1) 12 см
□ 2) 9 см
□ 3) 10,5 см
□ 4) 15 см
А4. Вписанный угол АВС равен 70°. Чему равен централь
ный угол, опирающийся на дугу АС?
□ 1) 35°
□ 2) 70°
□ 3) 140°
□ 4) 290°
А5. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е так, что
ME = 12 см, NE = 3 см, РЕ = КЕ. Чему равна длина от
резка РК?
□ 1) 6 см
□ 2) 12 см
I 13) 3 см
□ 4) 9 см
56
А6. Квадрат вписан в окружность диаметра 10 см. Чему
равен периметр квадрата?
□ 1) l o j l см
О 2) 20\/2см
□ 3)20 см
П 4)40 см
А7. Треугольник АВС вписан в окружность так, что гра
дусные меры дуг АВ и АС равны соответственно 120°
и 150°. Найдите углы треугольника.
□ 1) 45°, 60°, 75°
□ 2) 120°, 30°, 30°
□ 3) 75°, 30°, 75°
□ 4) 60°, 60°, 60°
В1. Точки А к В делят окружность с центром О на дуги
АМВ и АС В так, что дуга АС В на 60° меньше дуги AM В.
AM —диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ,
ABM, АСВ.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е так, что
АЕ = 3 см, BE = 36 см, С Е : DE = 3 : 4 . Найдите длину
хорды CD.
ВЗ. Окружность с центром О и радиуса 16 см описана око
ло треугольника А ВС так, что ZOAB = 30°, ZOCB = 45°.
Найдите длины сторон АВ и ВС треугольника.
С1. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную
трапецию окружности до концов большей боковой сто
роны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.
С2. В равнобедренном треугольнике основание равно
10 см, а высота, проведенная к нему, — 12 см. Найдите
радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и ра
диус окружности, описанной около этого треугольника.
57
Тест 23. Обобщение темы
«Окружность»
Вариант 2
А1. Чему равен центральный угол?
П 1) половине вписанного угла, опирающегося на ту же
дугу
□ 2) вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу
0 3) величине дуги, на которую он опирается
П 4) половине величины дуги, на которую он опирается
А2. Что является центром описанной около,треугольника
окружности?
□ 1) точка пересечения высот треугольника
П 2) точка пересечения биссектрис треугольника
Г~| 3) точка пересечения медиан треугольника
□ 4) точка пересечения серединных перпендикуляров
треугольника
АЗ. MN и МК — отрезки касательных, проведенных
к окружности с центром в точке О радиуса 5 см. Найдите
длину отрезка МК, если МО = 13 см.
□ 1) 12 см
1 12) 5 см
[~~13) 13 см
□ 4) 9 см
А4. Центральный угол ЛОВ равен 130°. Чему равен наи
меньший из вписанных углов, опирающихся на дугу ЛЮ.
□ 1) 130°
□ 3) 115°
□ 2) 65°
□ 4) 260°
А5. Хорды ЛВ и CD пересекаются в точке F так, что
AF= 4 см, BF= 16 см, CF = DF. Чему равна длина отрез
ка CD?
□ 1) 8 см
□ 2) 16 см
Г~13) 12 см
□ 4) 4 см
А6. Квадрат описан около окружности радиуса 6 см. Чему
равна площадь данного квадрата?
□ 1) 36 см2
58
Q 2) 72 см2
П 3) 108 см2
□ 4) 144 см2
А7. Треугольник ЛВС вписан в окружность так, что гра
дусные меры дуг АВ и АС равны соответственно 100°
и 140°. Найдите углы треугольника.
□ 1) 100°, 40°, 40°
□ 2) 140°, 20°, 20°
□ 3) 50°, 70°, 60°
□ 4) 80°, 40°, 60°
В1. Точки Ей Н делят окружность с центром О на дуги
ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на 80° меньше дуги ЕАН,
ЕА —диаметр окружности. Найдите величины углов ЕКА,
ЕАН, ЕКН.
В2. Хорды MN и РК пересекаются в точке А так, что
МА = 3 см, NA = 16 см, РА : КА = 1 : 3. Найдите длину
хорды РК.
ВЗ. Окружность с центром О радиуса 12 см описана около
треугольника MNK так, что ZMON = 120°, ZNOK —90°.
Найдите длины сторон MN и NK треугольника.
С1. Расстояния от центра вписанной в равнобедренную
трапецию окружности до концов боковой стороны равны
9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.
С2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона
равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, —
8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот тре
угольник, и радиус окружности, описанной около этого
треугольника.
59
Т е с т 24. Окруж ность (теоретический)
А1. Прямая и окружность имеют две точки пересечения,
если расстояние от центра окружности до прямой:
□ 1) больше радиуса окружности
□ 2) равно радиусу окружности
□ 3) меньше радиуса окружности
□ 4) не меньше радиуса окружности
А2. Касательной к окружности называется:
□ 1) прямая, которая пересекает окружность
□ 2) прямая, имеющая с окружностью только одну общую
точку
П 3) прямая, имеющая с окружностью общие точки
П 4) отрезок, имеющий с окружностью только одну об
щую точку
АЗ. Признак касательной к окружности гласит:
П 1) касательная к окружности перпендикулярна радиусу,
проведенному в точку касания
П 2) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий
на окружности, то она является касательной
□ 3)если прямая имеет с окружностью общие точки,
то она является касательной
□ 4) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий
на окружности, и перпендикулярна этому радиусу,
то она является касательной
А4. Центральным называется угол окружности, у кото
рого:
П 1) вершина совпадает с центром окружности
□ 2) стороны пересекают окружность
□ 3) вершина лежит внутри окружности
П 4) вершина лежит на окружности
А5. Градусная мера вписанного угла:
□ 1) равна градусной мере центрального угла, опираю
щегося на ту же дугу
□ 2) равна градусной мере дуги, на которую он опирается
□ 3) равна половине градусной меры дуги, на которую
он опирается
Q 4 ) вдвое больше градусной меры дуги, на которую он
опирается
60
на полуокружность,
на полуокружность,
на полуокружность,
на полуокружность,
А7. Если хорды АВ и МК пересекаются в точке Е, то вы
полняется равенство:
□ 1) А Е : М Е = В Е : К Е
□ 2) А Е : BE = M E : КЕ
□ 3)АЕ : BE = К Е : ME
Q 4) А Е : ME = К Е : BE
А8. Выберите утверждение, которое не является верным:
П 1) каждая точка биссектрисы неразвернутого угла рав
ноудалена от его сторон
□ 2) каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная
от сторон угла, лежит на его биссектрисе
П 3) точка пересечения высот треугольника совпадает
с точкой пересечения серединных перпендикуляров,
проведенных к сторонам треугольника
□ 4) биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке
А9. Центром вписанной в треугольник окружности яв
ляется:
П 1) точка пересечения биссектрис данного треугольника
П 2) точка пересечения высот данного треугольника
Q 3) точка пересечения медиан данного треугольника
□ 4) точка пересечения серединных перпендикуляров
данного треугольника
А10. В любом вписанном четырехугольнике:
П 1) суммы смежных сторон равны
П 2) суммы противоположных сторон равны
□ 3) сумма соседних углов равна 180°
П 4) сумма противоположных углов равна 180°
61
Тест 25. Итоговый по программе
8 класса
Вариант 1
А1. Чему равна площадь равностороннего треугольника
со стороной 6 см?
□ 1)9 см2
О 2) 9%/3 см2
□ 3) 18 см2
□ 4) 18V3 см2
А2. Биссектриса угла А параллелограмма ЛВС?) делит сто
рону ВС на отрезки ВК = 6 см и КС = 3 см. Чему равен
периметр параллелограмма?
П 1) 18 см
□ 2) 15 см
П 3)24 см
П 4)30 см
АЗ. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущен
ная из вершины В на большее основание AD, равна 4 см
и делит AD на отрезки, равные 5 см и 9 см. Чему равна
площадь трапеции?
□ 1)36 см2
П 3) 18 см2
□ 2) 72 см2
□ 4) 38 см2
А4. ABCD - квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ
и CD отложены отрезки AM и САГтак, что AM = С К = 3 см.
Найдите периметр четырехугольника MBKD.
□ 1) 14 см
□ 2) 12 см
□ 3) 10 см
□ 4) 16 см
А5. В трапеции ABCD основание ВС перпендикулярно
боковой стороне ЛВ, угол D равен 60°, диагональ АС пер
пендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите длину
основания ВС.
□ 1) 8 см
П 2 ) 12 см
П 3) 16 см
□ 4) 4 см
62
Аб. На окружности отмечены точки А и В так, что градус
ные меры образовавшихся дуг относятся как 11:7. Чему
равны величины данных дуг?
□ 1) 165°, 105°
□ 2) 110°, 70°
□ 3)220°, 140°
□ 4)240°, 120°
А7. Треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см вписан
в окружность. Найдите радиус окружности.
□ 1) 5 см
□ 2) 10 см
□ 3) 3 см
□ 4) 4 см
В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пере
секающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK =
= 28 см. Найдите произведение ВК и DK.
В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответ
ственно 6 см и 10 см. Диагональ А С, равная 32 см, пересе
кает диагональ BD в точке К. Найдите длину КС.
ВЗ. В параллелограмме ABCD АВ= 8 см, ВС= 12 см. Точ
ки А" и £ лежат соответственно на сторонах ВС и CD так,
что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диаго
наль АС в точке Р. Найдите отношение АР к PC.
C l. В треугольник АВС со сторонами АВ = 5 см, ВС= 8 см,
АС = 9 см вписана окружность, касающаяся стороны АС
в точке К. Найдите расстояние от точки АГдо точки М бис
сектрисы ВМ.
С2. В окружности проведены хорды АВ и СО. пересекаю
щиеся в точке К, АК= 8 см, СК = 6 см. Площадь треуголь
ника А КО равна 128 см2. Найдите площадь треугольни
ка СВК.
63
Тест 25. Итоговый по программе
8 класса
Вариант 2
А1. Чему равна площадь равностороннего треугольника,
высота которого 9 см?
□ 1) 13,5 см2
□ 2) 13,5-Уз см2
□ 3) 6,75 см2
□ 4) 27>/з см2
А2. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD делит сто
рону AD на отрезки АЕ = 7 см и ED = 4 см. Чему равен
периметр параллелограмма?
□ 1) 28 см
|~~12) 22 см
□ 3) 36 см
0 4) 30 см
АЗ. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущен
ная из вершины В на большее основание AD, равна 6 см
и делит AD на отрезки, равные 3 см и 7 см. Чему равна
площадь трапеции?
□ 1)84 см2
□ 3 )2 1 с м 2
□ 2) 42 см2
□ 4) 26 см2
А4. ABCD —квадрат со стороной 8 см. На сторонах АВ
и CD отложены отрезки AM и КС так, что AM = КС = 6 см.
Найдите периметр четырехугольника MBKD.
□ 1) 24 см
□ 2) 32 см
□ 3)28 см
□ 4)36 см
А5. В трапеции ABCD основание AD перпендикулярно
боковой стороне АВ, диагональ АС перпендикулярна
стороне CD. Найдите длину стороны CD, если ВС= 6 см,
ZBCA = 30°.
□ 1) 6 см
□ 2) 4>/Зсм
□ 3) 12 см
□ 4) 4 см
64
А6. На окружности отмечены точки М и К так, что градус
ная мера одной из образовавшихся дуг на 40° больше гра
дусной меры другой. Чему равны величины данных дуг?
□ 1) 160°, 200°
□ 2) 110°, 70°
□ 3) 115°, 155°
□ 4) 180°, 220°
А7. Треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см вписан
в окружность. Найдите радиус окружности.
□ 1)2,5 см
□ 2) 6,5 см
□ 3) 6 см
□ 4) 13 см
В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пере
секающиеся в точке £, АЕ = 12 см, СЕ = 8 см, DE — BE =
= 3 см. Найдите произведение BE и DE.
В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответ
ственно 8 см и 12 см. Диагональ BD, равная 25 см, пересе
кает диагональ А С в точке Е. Найдите длину BE.
ВЗ. В параллелограмме ABCDAB = 6 см, ВС =9 см. Точ
ки К и £*лежат соответственно на сторонах ВС и CD так,
что СК = 6 см, СЕ = 4 см. Отрезок КЕ пересекает диаго
наль АС в точке Р. Найдите отношение АР к PC.
C l. В треугольник АВС со сторонами/18 = 7 см, ВС= 9 см,
АС = 10 см вписана окружность, касающаяся стороны АС
в точке Е. Найдите расстояние от точки Едо точки К бис
сектрисы ВК.
С2. В окружности проведены хорды АВ и CZ), пересе
кающиеся в точке К , DK= 8 см, В К — 12 см. Площадь
треугольника AKD равна 24 см2. Найдите площадь тре
угольника СВК.
65
ПРИЛОЖЕНИЯ
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа № 1. Многоугольники
Вариант 1
1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.
2. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, тре
тья сторона на 3 см больше, четвертая в два раза больше
первой стороны, пятая на 4 см меньше четвертой. Найдите
стороны пятиугольника, если известно, что его периметр
равен 34 см.
3. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°.
Найдите число сторон этого многоугольника.
Вариант 2
1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.
2. В выпуклом шестиугольнике три стороны равны,
четвертая в два раза больше первой стороны, пятая на
3 см меньше четвертой, а шестая на 1 см больше второй.
Найдите стороны шестиугольника, если известно, что его
периметр равен 30 см.
3. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 165°.
Найдите число сторон этого многоугольника.
Самостоятельная работа № 2. Параллелограмм
Вариант 1
1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, АС = 20 см,
BD= 10см, АВ= 13см, CD= 13см. Диагонали ABCD пере
секаются в точке О. Найдите периметр треугольника COD.
66
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с ост
рым углом А проведен перпендикуляр ВК к прямой AD;
ВК = А В : 2. Найдите величины углов С, D.
3. На сторонах РА'и МН параллелограмма МРКН взяты
точки Л и 5 соответственно, Л/S = РА = ВН, ZMPA = 60°.
Найдите углы четырехугольника МАКВ.
Вариант 2
1. В четырехугольнике ABCD АВ\\ CD, SC || Л Д О —
точка пересечения диагоналей. Периметр ДAOD равен
25 см, АС — 16 см, BD = 14 см. Найдите величину ВС.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А из вер
шины 5 опущен перпендикуляр ВК к прямой A D, АК= ВК.
Найдите величины углов С, D.
3. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты
точки М и К соответственно, АВ = ВМ= KD, Z.4 МВ = 30°.
Найдите углы четырехугольника АМСК.
Самостоятельная работа № 3. Трапеция
Вариант 1
1. В трапеции ABCD ВС - меньшее основание. На
отрезке AD взята точка Е так, что BE || CD, ZABE = 70°,
ZBEA = 50°. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°.
Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны
10 см. Найдите большее основание.
3. В равнобедренной трапеции диагональ составля
ет с боковой стороной угол 120°. Боковая сторона равна
меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
Вариант 2
1. В трапеции МНРК МК — большее основание,
прямые МН и РК пересекаются в точке Е, ZMEK = 80°,
ZEHP = 40°. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°.
Большая боковая сторона и большее основание равны
20 см. Найдите меньшее основание.
3. В равнобедренной трапеции большее основание
в два раза превосходит меньшее. Середина большего осно
вания удалена от вершины тупого угла на расстояние, рав
ное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.
67
Самостоятельная работа № 4. Прямоугольник
Вариант 1
1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°.
Найдите углы между диагональю прямоугольника и его
сторонами.
2. В прямоугольнике ABCD О —точка пересечения
диагоналей, ВН и DE—высоты треугольников АВО и COD
соответственно, ZBOH = 60°, АН = 5 см. Найдите дли
ну ОЕ.
3. Через вершину С прямоугольника ABCD проведе
на прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая
прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая,
параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС
в точке N. Найдите периметр четырехугольника ACMN,
если диагональ BD = 8 см.
Вариант 2
1. Диагональ прямоугольника с его сторонами обра
зует углы, равные 55° и 35°. Найдите меньший угол между
диагоналями данного прямоугольника.
2. В прямоугольнике МРКН О —точка пересечения
диагоналей, РА и НВ —перпендикуляры, проведенные
из вершин Р и Н к прямой Л/К. Известно, что МА = ОВ.
Найдите величину угла РОМ.
3. Через вершину С прямоугольника ABCD проведе
на прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая
прямую AD в точке К. Через точку К проведена прямая,
параллельная диагонали АС и пересекающая прямую CD
в точке Е. Найдите диагональ прямоугольника, если пе
риметр четырехугольника АСКЕ равен 24 см.
Самостоятельная работа № 5. Ромб. Квадрат
Вариант 1
1. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О,
ZBAC = 32°. Найдите углы треугольника ВОС.
2. На сторонах ИД, ВС, CD, DA квадрата A BCD отмече
ны точки М, К, Е й Р так, что AM = ВК — СЕ = DP. ZAPM
равен 30°, AM = 4 см. Найдите периметр четырехуголь
ника МКЕР.
68
3. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О.
ОМ и ОЕ —перпендикуляры, опущенные на стороны АВ
и CD соответственно. Найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
Вариант 2
1. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке Е.
Один из углов треугольника РКЕ равен 54°. Найдите углы
ромба.
2. На продолжениях сторон АВ, ВС, CD, DA квадра
та ABCD отмечены точки М, К, Е и Р так, что А—В—М,
В -С -К , C -D -E , D -A—P яВМ =СК= DE=AP. Угол ВКМ
равен 30°, ВМ= 5 см. Найдите периметр четырехугольника
МКЕР.
3. В ромбе МРКН диагонали пересекаются в точке О.
На сторонах МР и КН взяты точки А и В соответственно
так, что AM = КВ. Найдите сумму углов МОА и ВОН.
Самостоятельная работа № 6. Площадь
многоугольника
Вариант 1
1. Периметр квадрата равен 28 см. Найдите его площадь.
2. В трапеции MNKPMP h NK —основания (МР > NK),
Е —середина КР, прямые NE и МР пересекаются в точке
S, площадь трапеции равна 45 дм2. Найдите площадь тре
угольника MNS.
3. Диагональ квадрата равна 8 см. Найдите его площадь.
Вариант 2
1. Площадь квадрата равна 25 дм2. Найдите его пери
метр.
2. В трапеции ABCD ВС и AD —основания (AD > ВС),
Е —середина CD, прямые BE и AD пересекаются в точке S,
площадь треугольника ABS равна 56 дм2. Найдите площадь
трапеции ABCD.
3. Диагональ квадрата равна 12 см. Найдите его площадь.
Самостоятельная работа № 7. Площадь
прямоугольника
Вариант 1
1. Найдите площадь прямоугольника, если его пери
метр равен 80 см, а отношение сторон равно 2 : 3.
69
2. Площадь прямоугольника равна 56 см2. Расстояние
от точки пересечения диагоналей прямоугольника до од
ной из его сторон равно 4 см. Найдите периметр прямо
угольника.
3. ABCD - прямоугольник; М, К, Р , Т -середи ны его
сторон, АВ = 6 см, AD = 12 см. Найдите площадь четырех
угольника МКРТ.
Вариант 2
1. Найдите периметр прямоугольника, если его
площадь равна 98 см2, а одна из сторон вдвое больше
другой.
2. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см.
Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой сто
роны равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника.
3. М , К, Р, Т — середины сторон прямоугольни
ка ABCD, АВ = 16 см, AD = 10 см. Найдите площадь ше
стиугольника АМКСРТ.
Самостоятельная работа № 8. Площадь
параллелограмма
Вариант 1
1. В параллелограмме ABCD АА = 30°, AD — 8 см,
АВ = 6 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. Высоты параллелограмма равны 4 см и 6 см. Мень
шая из сторон параллелограмма равна 8 см. Найдите ве
личину другой стороны.
3. Высоты, проведенные из вершины тупого угла па
раллелограмма, составляют угол 45°. Одна из высот делит
сторону, на которую она опущена, на отрезки 2 см и 8 см,
считая от вершины острого угла. Найдите площадь парал
лелограмма.
Вариант 2
1. В параллелограмме ABCD АВ = 150°, AD = 10 см,
АВ = 8 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см.
Меньшая из его высот равна 4 см. Найдите вторую высоту.
3. Высоты, проведенные из вершины тупого угла па
раллелограмма, составляют угол 45°. Одна из высот делит
сторону, на которую она опущена, на отрезки 3 см и 5 см,
70
считая от вершины острого угла. Найдите площадь парал
лелограмма.
Самостоятельная работа № 9. Площадь
треугольника
Вариант 1
1. Стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол
между ними 30°. Найдите площадь треугольника.
2. В треугольнике ABC ZA = 45°, ВС = 10 см, а высо
та BD делит сторону АС на отрезки AD = 6 см, DC = 8 см.
Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
3. В треугольнике ABC ZA = 75°, ZZ?= 30°, АВ= 10 см.
Найдите площадь треугольника.
Вариант 2
1. Найдите площадь треугольника, две стороны кото
рого равны 6 см и 8 см, а угол между ними 30°.
2. В треугольнике ABC Z C = 45°, А В = 20 см, а высота
BD делит сторону АС на отрезки AD = 16 см, DC = 12 см.
Найдите высоту, проведенную к стороне АВ.
3. В треугольнике ABC ZA = Z B = 75°. Найдите длину
ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.
Самостоятельная работа № 10. Площадь
трапеции
Вариант 1
1. В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высо
та равна полусумме длин оснований. Найдитеплощадь
трапеции.
2. Площадь трапеции равна 96 см2, а высота трапеции
равна 8 см. Найдите основания трапеции, если длина од
ного из оснований составляет 60% длины другого.
3. В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание на два
отрезка, больший из которых равен 20 см. Найдите пло
щадь трапеции, если ее высота равна 12 см.
Вариант 2
1. В трапеции основания равны 4 см и 10 см, а высота
равна полуразности длин оснований. Найдите площадь
трапеции.
71
2. В равнобокой трапеции АВСМ большее основа
ние AM равно 20 см, высота ВН отсекает от AM отрезок АН,
равный 6 см, ZBAM = 45°. Найдите площадь трапеции.
3. В равнобедренной трапеции угол между диагоналя
ми равен 90°, высота трапеции равна 8 см. Найдите пло
щадь трапеции.
Самостоятельная работа №11. Теорема Пифагора
Вариант 1
1. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сто
рону ромба.
2. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см
и 17 см, а бблыная боковая сторона - 13 см. Найдите пло
щадь трапеции.
3. В треугольнике две стороны равны 10 см и 12 см,
а угол между ними 45°. Найдите площадь треугольника.
Вариант 2
1. Стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см. Най
дите его диагональ.
2. В прямоугольной трапеции боковые стороны рав
ны 15 см и 9 см, а большее основание —20 см. Найдите
площадь трапеции.
3. В треугольнике две стороны равны 12 см и 8 см,
а угол между ними 60°. Найдите площадь треугольника.
Самостоятельная работа № 12. Определение
подобных треугольников
Вариант 1
1. АВ и А [В] , ВС и ВХСХ— сходственные стороны по
добных треугольников АВС и A XB XCV ВС : ВХСХ= 2 : 3 ,
А ХСХ= 6 см. Найдите длину АС и отношение площадей
этих треугольников.
2. Площади двух подобных треугольников равны
16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника
равна 8 см. Найдите сходственную ей сторону другого
треугольника.
3. Периметр подобных треугольников относится как
2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь
каждого треугольника.
72
Вариант 2
1. Треугольники АВС и АХВХСХподобны. ВС и ВХСХ,
АС и Л,С, —сходственные стороны. Найдите величину
А В и отношение площадей этих треугольников, если
АС : /1,С, = 3 : 4, А ХВХ= 12 см.
2. Две сходственные стороны подобных треугольников
равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника равна
8 см2. Найдите площадь второго треугольника.
3. Площади двух подобных треугольников равны
50 дм2 и 32 дм2, сумма их периметров равна 117 дм. Най
дите периметр каждого треугольника.
Самостоятельная работа № 13. Признаки
подобия треугольников
Вариант 1
1. В прямоугольных треугольниках АВС и А 1В1С1
углы В и Вх прямые, АВ = 3, ВС = 4, А ХВХ= 6, ВХСХ= 8.
Докажите, что ДАВС~ ДА{ВХСУ
2. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции
ABCD пересекаются в точке О. Найдите длину ВО и от
ношение площадей треугольников ВОС и AOD, если
AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см.
3. Прямая, параллельная стороне АС треугольника
АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и Н соот
ветственно. Найдите величину стороны АС и отношение
площадей треугольников А ВС и ВМН, если МВ = 14 см,
AM = 2 см, МН ~ 28 см.
Вариант 2
1. В треугольниках АВС и АХВХС, ZA = 50°, ZC = 60°,
ZC, = 60°, Z B { = 70°. Докажите, что ДАВС~ &АХВХСХ.
2. АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см,
ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Найдите ZCAO, если
ZDBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольни
ков А ОС и BOD.
3. В треугольнике АВС сторона ВС = 30 см. На сторо
нах АВ и АС отмечены точки D и Е соответственно так, что
AD —9 см, DB = 6 см, АЕ= 12 см, ЕС = 8 см. Найдите дли
ну DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE,
73
Самостоятельная работа № 14. Средняя линия
треугольника
Вариант 1
1. Е и F — середины сторон АВ и ВС треугольника
АВС. Найдите величину EF и ZBEF, если АС — 14 см,
ZA = 72°.
2 .0 —точка пересечения диагоналей параллелограм
ма ABCD, Е и F — середины сторон АВ и ВС, ОЕ = 4 см,
OF = 5 см. Найдите периметр ABCD.
3. В равнобедренном треугольнике АВС медианы пе
ресекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до
вершины В данного треугольника, если АВ = АС — 13 см,
ВС= 10 см.
Вариант 2
1. М и N —середины сторон АС и СВ треугольни
ка АВС. Найдите величину АВ и ZB, если MN = 8 см,
ZCNM = 46°.
2. ABCD - параллелограмм с периметром 28 см, О —
точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от
точки О до середины CD, если расстояние от точки О до
середины ВС равно 3 см.
3. В равнобедренном треугольнике АВС О —точка
пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до
вершины А данного треугольника, если АВ = ВС = 10 см,
АС= 16 см.
Самостоятельная работа № 15. Пропорциональные
отрезки в прямоугольном треугольнике
Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, CD —
высота треугольника, АС = 8 см, СВ = 6 см. Найдите дли
ну CD.
2. В прямоугольном треугольнике АВС высота СН,
проведенная из вершины прямого угла С, делит гипоте
нузу на два отрезка АН = 16 см и ВН = 25 см. Найдите:
а) СН, АС, ВС;
б ) $ А С Н ' $ВСН-
3. Высота, проведенная из вершины прямого угла пря
моугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотену74
зу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см.
Найдите:
а) стороны треугольника;
б) отношение, в котором данная высота делит площадь
треугольника.
Вариант 2
1. В прямоугольном треугольнике ABC ZB = 90°, ВО
высота треугольника, АВ = 12 см, СВ = 16 см. Найдите
длину ВО.
2. В прямоугольном треугольнике АВС высота ВН,
проведенная из вершины прямого угла В, делит гипоте
нузу на два отрезка АН= 36 см и СН = 25 см. Найдите:
а) ВН,АВ, ВС;
-
б) $АВН ’ ^СВН-
3. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC - 90°)
проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см
больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите:
а) стороны ААВС;
б) отношение, в котором CD делит площадь треуголь
ника АВС.
Самостоятельная работа № 16. Соотношения
между сторонами и углами прямоугольного
треугольника
Вариант 1
1. В треугольнике А ВС ZC = 90°, ZA = 41°, £С = 5 см.
Найдите длину стороны АС.
2. В треугольнике ABC Z C ^ 90°, C D - высота, ZA = a,
АВ = к. Найдите величины сторон АС, ВС, AD.
3. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол
между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма.
Вариант 2
1. В треугольнике ABC ZC = 90°, ZB = 49°, ВС = 9 см.
Найдите длину стороны АС.
2. В треугольнике MNP ZP= 90°, Р К - высота, ZN = [3,
PN = b. Найдите величины сторон MN, МР, KN.
3. Стороны параллелограмма равны 6 см и 7 см, угол
между ними 60°. Найдите высоты параллелограмма.
75
Самостоятельная работа № 17. Касательная
к окружности
Вариант 1
1. Прямая КЕ касается окружности с центром
в точке О, К — точка касания. Найдите длину ОЕ, если
КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.
2. В треугольнике АВС отрезки АВ = 4 см, ВС= 3 см,
АС = 5 см. Докажите, что АВ —отрезок касательной, про
веденной из точки А к окружности с центром С радиу
са 3 см.
3. ЕК и ЕЕ —отрезки касательных, проведенных
к окружности с центром О радиуса 6 см, ZKOF= 120°,
А —точка пересечения KF и ОЕ. Найдите длины ОА
и АЕ.
Вариант 2
1. Прямая MN касается окружности с центром О, М —
точка касания, ZMNO = 30°, а радиус окружности равен
6 см. Найдите величину N0.
2. Втреугольнике MNKотрезки MN = 6 см, МК= 8 см,
NK = 10 см. Докажите, что МК —отрезок касательной,
проведенной из точки К к окружности с центром N ра
диуса 6 см.
3. РМ и PN —отрезки касательных, проведенных
к окружности с центром О и радиуса 10 см, ZM ON— 120°,
Е —точка пересечения MN и ОР. Найдите длины ОЕ
и РЕ.
Самостоятельная работа № 18. Центральные
и вписанные углы
Вариант 1
1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности
с центром О, ZAOC—80°, Z C : ZA = 3 :4. Найдите градус
ные меры дуг АВ, АС, ВС.
2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите
величину CD, если АЕ = 4 см, BE—9 см, а длина СЕ в че
тыре раза больше длины DE.
3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. АЕ = 8 см,
ВЕ= 6 см, CD = 16 см. В каком отношении точка £ делит
отрезок CD!
76
Вариант 2
1. Вершины треугольника ЛВС лежат на окружности
с центром О, ZA = 60°, ZAO B: ZAOC = 3 : 5 . Найдите не
известные углы треугольника.
2. Хорды MN и КР пересекаются в точке Т. Найдите
MN, если К Т= 6 см, РТ = 8 см, а длина МТ в три раза
меньше длины NT.
3. Хорды M N и РТпересекаются в точке Е. ME = 8 см,
NE= 9 см, РТ= 18 см. В каком отношении точка £делит
отрезок РТ?
Самостоятельная работа № 19. Четыре
замечательные точки окружности
Вариант 1
1. В треугольнике АВС высоты АК и BE пересекаются
в точке О, ZCAB = 42°. Найдите величину ZACO.
2. В треугольнике MNK биссектрисы пересекаются
в точке О. Расстояние от точки О до стороны MN равно
6 см, NK= 10 см. Найдите площадь треугольника NOK.
3. В треугольнике АВС медианы ВВХи СС, пересекают
ся в точке О и равны 15 см и 18 см соответственно. Най
дите периметр треугольника АВС, если угол БОС = 90°.
Вариант 2
1. В треугольнике АВС высоты АК и BE пересекаются
в точке О, ZACO = 46°. Найдите величину ZABO.
2. В треугольнике MNKмедианы МР и NE пересекают
ся в точке О и равны 12 см и 15 см соответственно. Най
дите площадь треугольника МОЕ, если MPL NE.
3. В треугольнике АВС биссектрисы АА{ и ВВ{ пересе
каются в точке О. Найдите отношение площадей треугольников АОС и ВОС, если АС = 8 см, ВС —6 см.
Самостоятельная работа № 20. Вписанные
и описанные окружности
Вариант 1
1. Равносторонний треугольник АВС вписан в окруж
ность радиуса 6 см. Найдите его сторону.
2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см
вписан в окружность. Найдите ее радиус.
77
3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаме
тра АС. Найдите углы четырехугольника, если kjBC— 100°,
kjCD = 60°.
Вариант 2
1. Равносторонний треугольник MNK со стороной
8 см вписан в окружность. Найдите ее радиус.
2. Прямоугольный треугольник вписан в окружность
радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один
из его катетов равен 5 см.
3. Четырехугольник MNKP вписан в окружность
диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если
yjNK= т °,и р к=
юо°.
К о н тр о л ь н ы е работы
Контрольная работа № 1. Четырехугольники
Вариант 1
1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сто
рон на 5 см больше другой. Найдите стороны параллело
грамма.
2. Найдите меньший угол между диагоналями прямо
угольника, если каждая из них делит угол прямоугольника
в отношении 4 : 5.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его
диагоналей является высотой и равна одной из сторон.
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна
боковой стороне АВ, углы ADB и ВDC равны 30°. Найдите
длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.
5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС
и BCD пересекаются в точке М. На прямых АВ и CD взяты
точки Л"и .Ртак, что А—В—К, D—C—P. Биссектрисы уг лов
КВС и ВСР пересекаются в точке N, MN= 8 см. Найдите
длину AD.
Вариант 2
1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сто
рон на 6 см меньше другой. Найдите стороны параллело
грамма.
Звездочкой отмечены задания повышенного уровня сложности, кото
рые оцениваются дополнительно.
78
2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°.
Найдите угол между диагональю и меньшей стороной пря
моугольника.
3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его
диагоналей является высотой и равна половине неперпен
дикулярной к ней стороны параллелограмма.
4. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикуляр
на боковой стороне CD и является биссектрисой угла А.
Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см,
а угол D равен 60°.
5*. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы
углов А ВС и BCD пересекаются в точке М. На прямых АВ
и CD взяты точки К и Ртак, что А—В—К, D—C—P. Биссек
трисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке N. Найдите
длину MN.
Контрольная работа № 2. Площадь
Вариант 1
1. Смежные стороны параллелограмма равны 52 см
и 30 см, а острый угол равен 30°. Найдите площадь па
раллелограмма.
2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями
AD и ВС, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ZA = 45°, ZD = 90°.
3. На стороне ЛСтреугольникаЛРС отмечена точка К
так, что АК= 5 см, КС= 15 см. Найдите площади треуголь
ников АВК и СВК, если АВ = 12 см, ВС = 16 см.
4*. Высота равностороннего треугольника равна 6 см.
Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взя
той внутри этого треугольника, до его сторон.
Вариант 2
1. Высота ВК, проведенная к стороне AD параллело
грамма ЛЯС/Л делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см,
KD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если
угол А = 45°.
2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основания
ми AD и ВС, если AD = 27 см, ВС = 13 см, CD — 10 см,
ZD = 30°.
3. На стороне МК треугольника МКР отмечена точ
ка Т так, что М Т= 5 см, КТ= 10 см. Найдите площади
треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.
79
4*. В равнобедренном треугольнике основание со
ставляет 75% суммы двух других. Точка М, принадле
жащая большей стороне, является концом биссектрисы
треугольника. Найдите расстояние отточки М до меньшей
стороны треугольника, если меньшая высота треугольни
ка равна 4 см.
Контрольная работа № 3. Признаки подобия
треугольников
Вариант 1
1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О,
АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см. Дока
жите, что ДС|| ЯД. Найдите:
а) DB .AC;
б) отношение периметров и площадей треугольников
AOC h DBO.
2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О,
АС = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что пря
мая ОК перпендикулярна АВ и ОК= 4л/з см. Найдите сто
рону ромба и вторую диагональ.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = 9 см,
ВС = 8 см, CD - 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите,
что A BCD —трапеция.
4*. В равнобедренном треугольнике MNKc основани
ем МК, равным 10 см, MN = NK= 20 см. На стороне NK
лежит точка А так, что А К :AN = 1 : 3 . Найдите длину AM.
Вариант 2
1. На одной стороне угла В отмечены точки А и D. на
другой —Е и С так, что B—D—A и В -Е —С, BD — 3,1 см,
BE - 4,2 см, ВА = 9,3 см, ВС = 12,6 см. Докажите, что
AC\\ED.
Найдите:
а) DE -.AC,
б) отношение периметров и площадей треугольников
АВС и DBE.
2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На
стороне АВ взята точка К так, что прямая ОК перпенди
кулярна АВ и АК = 2 см, ВК - 8 см. Найдите диагонали
ромба.
80
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = 6 см,
ВС = 9 см, CD = 10 см, AD = 25 см, АС =15 см. Докажите,
что ABCD —трапеция.
4*. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС =
= 40 см, АС= 20 см. На стороне ВС лежит точка Н так, что
ВН : НС = 3 : 1 . Найдите длину АН.
Контрольная работа № 4. Применение подобия
треугольников
Вариант 1
1. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка D
так, что BD : DC = 3 : 2 , точка К —середина отрезка АВ,
точка Е —середина отрезка AD, КЕ = 6 см, ZADC = 100°.
Найдите длину стороны ВС и величину угла АЕК.
2. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой,
АС = 4 см, СВ = 4л/з см, СМ —медиана. Найдите величину
угла ВСМ.
3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см
и 12 см, меньший угол равен а. Найдите площадь и пери
метр трапеции.
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основани
ем АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь
треугольника АВС, если ОА = 13 см, ОВ = 10 см.
5*. В трапеции ABCD (ВС 11AD) сторона А В перпенди
кулярна диагонали BD, BD = 2-Js , AD = 2л/То, СЕ —высо
та треугольника BCD, а тангенс угла ECD равен 3. Найди
те величину BE.
Вариант 2
1. На стороне ДМ треугольника АВМ выбрана точка Я
так, что А Н : НМ = 4 : 7 , точка С - середина отрезка АВ,
точка О —середина отрезка ВН, АМ= 22 см, ZBOC = 105°.
Найдите длину СО и величину угла ВНМ.
2. В прямоугольном треугольнике MNK угол К пря
мой, КМ = 6 см, АГА'= 6V3 см, KD — медиана. Найдите
величину угла KDN.
3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна
6 см, меньшее основание —10 см, а меньший угол равен а.
Найдите периметр и площадь трапеции.
81
4. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым уг
лом С медианы пересекаются в точке О. Найдите гипоте
нузу треугольника АВС, если ВС = 12 см, ОВ = 10 см.
5*. В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна диа
гонали АС, АС = 6^2, ВС = 12, DE —высота треугольника
ACD, а тангенс угла ACD равен 2. Найдите величину СЕ.
Контрольная работа № 5. Окружность
Вариант 1
1. В треугольник вписана окружность так, что три из
шести получившихся отрезков касательных равны 3 см,
4 см и 5 см. Найдите периметр треугольника.
2. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги
АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ,
AM — диаметр окружности. Найдите величины углов А МВ,
АВМ,АСВ.
3. Хорды ME и РК пересекаются в точке А так, что
МА = 3 см, ЕА = 16 см, РА : КА — 1 : 3. Найдите величину
хорды РК и наименьшее значение радиуса этой окруж
ности.
4*. В равнобедренном треугольнике боковая сторона
равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот тре
угольник, и радиус окружности, описанной около этого
треугольника.
Вариант 2
1. В прямоугольный треугольник вписана окружность
радиуса 2 см так, что один из получившихся отрезков ка
сательных равен 4 см. Найдите стороны треугольника,
если его периметр равен 24 см.
2. Точки Е н Н делят окружность с центром О на дуги
ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на. 100° меньше дуги ЕАН,
АЕ - диаметр окружности. Найдите величины углов ЕКА,
ЕАН, ЕКН.
3. Хорды А В и CD пересекаются в точке Е так, что
АЕ = 3 см, BE — 36 см, СЕ : DE = 3 : 4 . Найдите величину
хорды CD и наименьшее значение радиуса этой окруж
ности.
4*. В равнобедренном треугольнике основание равно
10 см, а высота, проведенная к нему, —12 см. Найдите ра82
диус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
Итоговая контрольная работа
Вариант 1
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 10 см, а его основание —12 см. Найдите его площадь.
2. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите пери
метр и площадь ромба.
3. В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ
АС — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь
трапеции, если Z.CDA = 60°.
4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пере
секающиеся в точке К , КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK =
= 21 см. Найдите длины ВК и DK
5*. Квадрат со стороной 8 см описан около окруж
ности. Найдите площадь прямоугольного треугольника
с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
Вариант 2
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 13 см, а его медиана, проведенная к основанию, —
5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.
2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит
сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно
8 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
3. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС
перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь
трапеции, если ZCAD = 30°, AD = 12 см.
4. В окружности проведены две хорды АВ и С/),
пересекающиеся в точке А/, МВ = 10 см, AM = 12 см,
DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.
5*. Равнобедренный прямоугольный треугольник с
катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь ква
драта, описанного около этой окружности.
